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浙教版数学八年级下4.5三角形的中位线 教学设计
课题 平行四边形的判定定理（2） 单元 第四章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。
能力目标 经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力
知识目标 理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容；
重点 重点：探索并证明三角形中位线定理
难点 难点：能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘BC的长。
你知道这是为什么吗？我们一起来探究一下吧！
( http: / / www.21cnjy.com ) 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
之前我们讲到：平行四边形是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
那我们能不能用平行四边形的知识来解决三角形的问题呢？
（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？
中点
（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？
D、E两点在AB与AC的哪个位置？中点 ( http: / / www.21cnjy.com )
中点
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
∵D、 E分别为AB、AC的中点
同理DF、EF也为△ ABC的中位线
三角形有三条中位线
( http: / / www.21cnjy.com )三角形的中位线与中线有不同 区别：中位线是连接三角形两边中点的线段；中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。
三角形的中位线与第三边有什么关系
猜测：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE
得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE.
∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
同一条件下有2个结论
因为DE为ΔABC的中位线
所以①DE∥BC，②DE= BC
↓ ↓
位置关系 数量关系
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
1.如图：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线
同理得：
∴四边形EFGH是平行四边形
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线 与老师一起一步步探究新知，得出结论 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
1.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=_ 12_
cm
2、若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是__ 9cm____图中有__ 3___个平行四边形
3.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F
（1）四边形AFDE是平行四边形吗 为什么？
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
(1) 四边形AFDE是平行四边形
∵ DE和DF是△ABC的中位线
∴ DE∥AB DF∥AC
∴四边形AFDE是平行四边形
(2) AFDE的周长等于AB+AC
四边形AFDE的周长
4、如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点，
EF与AD﹑BC的关系如何？
解：AD∥EF∥BC
连接DF并延长DF交BC于G
因为AD∥BC ，则∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
又AF＝FC
所以△ADF≌△CFG(AAS)
所以DF=FG
而DE=EB
所以EF∥ BC
又AD∥BC
所以AD∥EF∥BC
( http: / / www.21cnjy.com ) 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……，
则（１）第３次连接所得
△A3B3C3的周长＝＿ ＿,面积＝＿ ＿
（２）第n次连接所得
△AnBnCn的周长＝＿ ＿，面积＝＿ ＿＿ ( http: / / www.21cnjy.com ) 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
本节课你学到什么？
１．理解三角形中位线的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题。 回顾本节课所学知识 师生一起简单回顾新知
课后作业 课本p102第2、3题 练习 练习巩固
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三角形的中位线
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1、三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为( )
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
2．如图是某城市部分街道的示意图，AF∥BC，EC⊥BC，AB∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假定两车的速度相同，那么( )先到达F站．21教育网
A. 两人同时到达F站 B. 甲 C. 乙 D. 无法判断
3、如图，在四边形ABCD中，R，P分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
填空题
1、如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BC＝3，EF∥BC，EF的长为_______-
2、如图，已知△ABC的周 ( http: / / www.21cnjy.com )长为a，A1B1，B1C1，A1C1是△ABC的三条中位线，它们构成了△A1B1C1，△A2B2C2是由△A1B1C1的三条中位线A2B2，B2C2，A2C2构成的……如此进行下去，得到△AnBnCn，则△A1B1C1的周长为____，△A2B2C2的周长为____，△A3B3C3的周长为____，△AnBnCn的周长为___．21世纪教育网版权所有
3、如图，在 ABCD中，AD＝8 c ( http: / / www.21cnjy.com )m，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于____cm.21cnjy.com
三、解答题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB.求CD的长．
2、如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E.求证：AE＝CE.21·cn·jy·com
3、如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长． www.21-cn-jy.com
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4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，
求四边形DEFG的周长.
5．证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：
（用至少两种方法求解）
6、已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． 2·1·c·n·j·y
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
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参考答案
一、选择题
1、B
【解析】2×（3+4+5）=24
2、A
【解析】两人同时到达F站．理由如下：21世纪教育网
连结BE，交AF于点G.
∵AB∥DE，BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴EG＝BG，AB＝DE，BD＝AE.①
又∵GF∥BC，∴EF＝CF.②
又∵BC⊥EC，∴GF⊥EC，
∴CD＝DE.
∵AB＝DE，∴AB＝CD.③
由①②③可知，
AB＋AE＋EF＝BD＋CD＋CF，
∴两人同时到达F站．
3、C
【解析】连结AR，可证EF＝AR.
二、填空题
1、15
【解析】延长CE交AB于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠GBE＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.21世纪教育网
∴∠EBC＋∠ECB＝90°.
∴∠BEC＝∠BEG＝90°.
∵∠GBE＝∠EBC，BE＝BE，∠BEG＝∠BEC，
∴△BEG≌△BEC(ASA)．∴GE＝CE.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBC.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
∵∠FBE＋∠BGE＝90°，∠FEB＋∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠BGE，
∴FG＝FE.∴FG＝FB.
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BC＝1.5.
2、
【解析】 根据中位线定理可知，△A1B1C1的周长为，△A2B2C2的周长为·＝……△AnBnCn的周长为.【来源：21·世纪·教育·网】
3、 4
【解析】提示：连结EF，证AG＝FG，FH＝DH.
三、解答题
1、【解】 取AC的中点F，连结BF.
∵AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF.21世纪教育网
又∵∠A＝∠A，
∴△ABF≌△ACE(SAS)．21世纪教育网
∴BF＝CE.
∵BD＝AB，AF＝CF，
∴BF是△ACD的中位线，
∴CD＝2BF.∴CD＝2CE＝10.
2. 取BE的中点G，连结DG.
∵D，G分别是BC，BE的中点，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG∥AC，DG＝CE.
∴∠FAE＝∠FDG，∠AEF＝∠DGF.
∵F是AD的中点，∴AF＝DF.
∴△AEF≌△DGF(AAS)．∴AE＝DG.
∴AE＝CE.
3. 延长BD交AC于点F．
∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．
∴△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=6，BD=DF．
又∵E为BC中点，21世纪教育网
∴DE=FC=（AC-AF）=（10-6）=2．
4. ∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6.
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
5、证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF
∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
证法2：
延长DE到点F，使EF=DE， 连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
又D为AB中点，∴DB∥=FC
所以，四边形BCFD是平行四边形
证发3：
如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF
又∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
6、（1）证法一：
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
（2）∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，21世纪教育网
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=BE=a；
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三角形的中位线
新浙教版 八年级下
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
教学目标
情境导入
A
B
C
D
E
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘BC的长。
你知道这是为什么吗？我们一起来探究一下吧！
教学目标
新课讲解
那我们能不能用平行四边形的知识来解决三角形的问题呢？
之前我们讲到：平行四边形是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
教学目标
探究1
剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片.
（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？
A
B
C
D
E
中点
（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？
教学目标
探究1
D、E两点在AB与AC的哪个位置？
教学目标
探究1
A
B
C
D
E
中点
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
教学目标
总结
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有三条中位线
∵D、 E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
同理DF、EF也为△ ABC的中位线
E
D
F
A
C
B
E
D
F
A
C
B
教学目标
总结
注意：三角形的中位线与中线有不同
区别：
中位线是连接三角形两边中点的线段；
中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。
三角形的中位线与第三边有什么关系
猜测：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
教学目标
探究2
A
B
C
D
E
教学目标
证明
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
A
B
C
D
E
证法1：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE
A
B
C
D
E
F
得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE.
∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
教学目标
证明
证法2：
如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF
又∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
教学目标
证明
教学目标
总结
同一条件下有2个结论
因为DE为ΔABC的中位线
所以①DE∥BC，②DE= BC
↓ ↓
位置关系 数量关系
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
C
E
D
B
A
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
用途
教学目标
总结
教学目标
练习1
1.如图：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
60
4
A
B
C
D。
。E
教学目标
典例精讲
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线
同理得：
∴四边形EFGH是平行四边形
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
教学目标
证明
教学目标
达标测评
1.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=__
cm，面积=________cm.
12
图2
B
A
C
D 。
。E
。F
12
教学目标
结论
三角形的三条中位线围成的三角形的周长等于原三角形的周长的一半
三角形的三条中位线围成的三角形的面积等于原三角形的面积的一半
教学目标
达标测评
A
B
C
E
F
D
2、若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是______图中有_____个平行四边形
9cm
3
教学目标
达标测评
3.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F
（1）四边形AFDE是平行四边形吗 为什么？
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
A
B
C
E
F
D
教学目标
解答
(1) 四边形AFDE是平行四边形
∴ DE∥AB DF∥AC
∴四边形AFDE是平行四边形
(2) AFDE的周长等于AB+AC
四边形AFDE的周长
∵ DE和DF是△ABC的中位线
A
B
C
E
F
D
教学目标
解答
4、如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点，
EF与AD﹑BC的关系如何？
A
B
C
D
E
F
G
解：AD∥EF∥BC
因为AD∥BC ，则∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
连接DF并延长DF交BC于G
又AF＝FC
所以△ADF≌△CFG(AAS)
所以DF=FG
而DE=EB
所以EF∥ BC
又AD∥BC
所以AD∥EF∥BC
教学目标
应用提高
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……，
则（１）第３次连接所得
△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿
（２）第n次连接所得
△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿
教学目标
解答
A
B
C
次序
1
2
3
……
n
所得三角形周长
……
得三角形面积所
……
A１
B１
C１
A２
B２
C２
填表
教学目标
体验收获
本节课你学到什么？
１．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题。
教学目标
课后作业
课本P102页第2、3页
谢 谢！
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