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浙教版数学八年级下4.6反证法 教学设计
课题 反证法 单元 第四章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 锻炼学生反向思维的能力。
能力目标 了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两 ( http: / / www.21cnjy.com )条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
知识目标 1、了解反证法的含义。2、了解反证法的基本步骤。3、会利用反证法证明简单命题。
重点 重点：反证法的含义和步骤。
难点 难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法
( http: / / www.21cnjy.com ) 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
在证明一个命题时，人们有时
先假设命题不成立，
从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理、定理等矛盾.
从而得出假设命题不成立是错误的，
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
( http: / / www.21cnjy.com )（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立.
假设结论反面成立
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
正确推理导出矛盾
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
否定假设肯定结论
1、“a＜b”的反面应是（ D ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？
___假设三角形中有两个或三个角是直角
求证:四边形ABCD中至少有一个角是钝角或 ( http: / / www.21cnjy.com )直角.
假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，
即
∠Ａ＿＜＿9０°， ∠Ｂ＿＜＿9０°，∠Ｃ＿＜＿9０°，∠D ＿＜＿9０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ+∠D ＜ 36０度
这于＿四边形的内角和等于36０°＿矛盾
所以假设命题＿不成立＿，
所以，四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
与老师一起一步步探究新知，得出结论 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你会选择哪一种证明方法
反证法
2)如果你选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.
∵l1∥l2 ,l 2∥l ( http: / / www.21cnjy.com ) 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
常见的关键词的否定形式. ( http: / / www.21cnjy.com )
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
2．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为___x＝a或x＝b________．
解析：否定结论时，一定要全面否定x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
( http: / / www.21cnjy.com ) 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
不正确，我们一起来分析一下为什么不正确 ( http: / / www.21cnjy.com )
结论中的三个数可能有一个数或两个数大于，或者三个数都大于三种情况，而其对立面只有一种情形，即三个数同时大于，采用反证法证明只需解决这一种情形即可．假设三个数的积大于，事实上不大于，出现矛盾，从而否定假设，此外，本题中错把(1－a)·a≤()2＝，(1－b)b≤，(1－c)c≤写成(1－a)a＜()2＝，(1－b)b＜，(1－c)c＜. ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
课后作业 课本p104第2、3题 练习 练习巩固
l２
l１
l３
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反证法
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
3、命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
4、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
填空题
1、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
2、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；21世纪教育网版权所有
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________
“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应_____________
三、解答题
1、在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
2、已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证：，中至少有一个小于2.
3、求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
4. 若两条直线a、b相交则只有一个交点。
5．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
6、设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．21教育网
参考答案
一、选择题
1、C
【解析】考查反证法的基本思想
2、C
【解析】在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.21·cn·jy·com
3、B
【解析】“a>b”的否定应为“a＝b或a4、B
【解析】a，b，c三个数的奇、偶性 ( http: / / www.21cnjy.com )有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
二、填空题
1、没有一个是三角形或四边形或五边形
【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．
2、③①②
【解析】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.21cnjy.com
3、 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
【解析】全称命题的否定形式为特称命 ( http: / / www.21cnjy.com )题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．www.21-cn-jy.com
三、解答题
1、证明： 假设A≥60°，
∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，
∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，
∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，
∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
2. 证明： 假设，都不小于2.
即≥2，≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
3. 已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.
求证：AC≠A′C′.
证明：假设AC＝A′C′.
∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，
∴假设不成立，
∴AC≠A′C′.
4.假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
5、用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
6、【解】 假设x≤0，y≤0，z≤0，
则x＋y＋z≤0.
∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
＝，
又∵a，b，c是不全相等的任意整数，
∴x＋y＋z＝＞0，
这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．
∴x，y，z中至少有一个大于零．
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反证法
新浙教版 八年级下
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教学目标
情境导入
王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
教学目标
新课讲解
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确
王戎推理过程
教学目标
总结
先假设命题不成立，
从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理、定理等矛盾.
从而得出假设命题不成立是错误的，
即所求证的命题正确.
在证明一个命题时，人们有时
反证法定义:
这种证明方法叫做反证法.
教学目标
新课讲解
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确
王戎推理步骤
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
教学目标
练习1
1、“a＜b”的反面应是（ ）
（A）a≠＞b （B）a ＞b
（C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？
___________________________________
D
假设三角形中有两个或三个角是直角
教学目标
典例精讲
求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知:四边形ABCD
求证:四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角.
教学目标
证明
证明
假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，
即
∠Ａ＿＿9０°， ∠Ｂ＿＿9０°，∠Ｃ＿＿9０°，∠D ＿＿9０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ+∠D ＜ 36０度
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿＿＿＿＿，
所以，四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
＜
＜
＜
四边形的内角和等于36０°
不成立
Ｂ
Ｃ
＜
Ａ
D
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立.
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
假设结论反面成立
正确推理导出矛盾
否定假设肯定结论
教学目标
总结
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你会选择哪一种证明方法
教学目标
合作学习
l２
l１
l３
反证法
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
l２
l１
l３
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.
p
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３
(2)如果你选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
教学目标
合作学习
(3)能不用反证法证明吗 你是怎样证明的
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证: l1∥l3
l1
l2
l3
l
p
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
证明:作直线l交直线l2于点p，
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
2
1
3
教学目标
合作学习
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成立 对任何x 不成立
常见的关键词的否定形式.
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某个x不成立
存在某个x,成立
不等于
某个
教学目标
总结
教学目标
达标测评
1、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
教学目标
达标测评
2．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为___________．
x＝a或x＝b
解析：否定结论时，一定要全面否定x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
教学目标
达标测评
3、用反证法证明（填空）：
在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿＿＿＿＿，
所以，所求证的结论成立．
＜
＜
＜
三角形的内角和等于１８０°
不成立
Ａ
Ｂ
Ｃ
教学目标
应用提高
教学目标
应用提高
不正确，我们一起来分析一下为什么不正确
教学目标
应用提高
教学目标
应用提高
教学目标
应用提高
教学目标
课后作业
课本P104页第2、3页
谢 谢！
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