4.5三角形的中位线 同步练习

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三角形的中位线
班级：___________姓名：___________得分：__________
1、选择题
1、三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为( )
A．6.5 cm　 B．24 cm C．26 cm　 D．52 cm
2．如图是某城市部分街道的示意图，AF∥BC，EC⊥BC，AB∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假定两车的速度相同，那么( )先到达F站．21世纪教育网版权所有
A. 两人同时到达F站 B. 甲 C. 乙 D. 无法判断
3、如图，在四边形ABCD中，R，P ( http: / / www.21cnjy.com )分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
2、填空题
1、如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BC＝3，EF∥BC，EF的长为_______-
2、如图，已知△ABC的周长为a，A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )，B1C1，A1C1是△ABC的三条中位线，它们构成了△A1B1C1，△A2B2C2是由△A1B1C1的三条中位线A2B2，B2C2，A2C2构成的……如此进行下去，得到△AnBnCn，则△A1B1C1的周长为____，△A2B2C2的周长为____，△A3B3C3的周长为____，△AnBnCn的周长为___．21教育网
3、如图，在 ABCD中，AD＝8 cm， ( http: / / www.21cnjy.com )点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于____cm.21cnjy.com
三、解答题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB.求CD的长．
2、如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E.求证：AE＝CE.21·cn·jy·com
3、如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长． www.21-cn-jy.com
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4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，
求四边形DEFG的周长.
5．证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：
（用至少两种方法求解）
6、已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． 2·1·c·n·j·y
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
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参考答案
一、选择题
1、B
【解析】2×（3+4+5）=24
2、A
【解析】两人同时到达F站．理由如下：21世纪教育网
连结BE，交AF于点G.
∵AB∥DE，BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴EG＝BG，AB＝DE，BD＝AE.①
又∵GF∥BC，∴EF＝CF.②
又∵BC⊥EC，∴GF⊥EC，
∴CD＝DE.
∵AB＝DE，∴AB＝CD.③
由①②③可知，
AB＋AE＋EF＝BD＋CD＋CF，
∴两人同时到达F站．
3、C
【解析】连结AR，可证EF＝AR.
二、填空题
1、15
【解析】延长CE交AB于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠GBE＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.21世纪教育网
∴∠EBC＋∠ECB＝90°.
∴∠BEC＝∠BEG＝90°.
∵∠GBE＝∠EBC，BE＝BE，∠BEG＝∠BEC，
∴△BEG≌△BEC(ASA)．∴GE＝CE.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBC.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
∵∠FBE＋∠BGE＝90°，∠FEB＋∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠BGE，
∴FG＝FE.∴FG＝FB.
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BC＝1.5.
2、
【解析】　根据中位线定理可知，△A1B1C1的周长为，△A2B2C2的周长为·＝……△AnBnCn的周长为.【来源：21·世纪·教育·网】
3、 4
【解析】提示：连结EF，证AG＝FG，FH＝DH.
三、解答题
1、【解】　　取AC的中点F，连结BF.
∵AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF.21世纪教育网
又∵∠A＝∠A，
∴△ABF≌△ACE(SAS)．21世纪教育网
∴BF＝CE.
∵BD＝AB，AF＝CF，
∴BF是△ACD的中位线，
∴CD＝2BF.∴CD＝2CE＝10.
2. 取BE的中点G，连结DG.
∵D，G分别是BC，BE的中点，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG∥AC，DG＝CE.
∴∠FAE＝∠FDG，∠AEF＝∠DGF.
∵F是AD的中点，∴AF＝DF.
∴△AEF≌△DGF(AAS)．∴AE＝DG.
∴AE＝CE.
3. 　延长BD交AC于点F．
∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．
∴△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=6，BD=DF．
又∵E为BC中点，21世纪教育网
∴DE=FC=（AC-AF）=（10-6）=2．
4. 　∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6.
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
5、证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF
∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
证法2：
延长DE到点F，使EF=DE， 连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
又D为AB中点，∴DB∥=FC
所以，四边形BCFD是平行四边形
证发3：
如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF
又∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
6、（1）证法一：
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如图，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
（2）∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，21世纪教育网
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=BE=a；
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