4.6 反证法 同步练习

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反证法
班级：___________姓名：___________得分：__________
1、选择题
1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．①②③ D．①②④
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)
A．有一个解　　　　　　
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
3、命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)
A．aC．a＝b D．a≥b
4、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
2、填空题
1、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
2、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；21cnjy.com
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________
3、 “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应_____________
三、解答题
1、在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
2、已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证：，中至少有一个小于2.
3、求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
4. 若两条直线a、b相交则只有一个交点。
5．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
6、设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、选择题
1、C
【解析】考查反证法的基本思想
2、C
【解析】在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.21教育网
3、B
【解析】“a>b”的否定应为“a＝b或a4、B
【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下 ( http: / / www.21cnjy.com )几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
二、填空题
1、没有一个是三角形或四边形或五边形
【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．
2、③①②
【解析】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.www.21-cn-jy.com
3、 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
【解析】全称命题的否定形式为特称命题，而“ ( http: / / www.21cnjy.com )至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．21·cn·jy·com
三、解答题
1、证明：　假设A≥60°，
∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，
∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，
∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，
∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
2. 证明：　假设，都不小于2.
即≥2，≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
3. 已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.
求证：AC≠A′C′.
证明：假设AC＝A′C′.
∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，
∴假设不成立，
∴AC≠A′C′.
4.假设直线a、b不止有一个公共点，则至少 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
5、用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
6、【解】　假设x≤0，y≤0，z≤0，
则x＋y＋z≤0.
∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
＝，
又∵a，b，c是不全相等的任意整数，
∴x＋y＋z＝＞0，
这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．
∴x，y，z中至少有一个大于零．
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