八年级数学下册第5章特殊平行四边形 单元测试（解析版）

《第5章
特殊平行四边形》
　
一．选择题
1．若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm，则较长的对角线长为（　　）
A．
cm
B．
cm
C．6cm
D．12cm
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16a
B．12a
C．8a
D．4a
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（　　）
A．（2，﹣1）
B．（1，﹣2）
C．（1，2）
D．（2，1）
4．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，则∠ABC=（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
　
二．填空题
5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为　　．
6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是　　．
　
三．简答题
7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求∠AHC的度数．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．
9．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm，求菱形的面积和对角线BD的长．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为8和6，将△BCD平移到△EBA，则四边形AECD的面积为（　　）
A．36
B．48
C．72
D．96
11．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E是AD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PA+PE的最小值为　　．
12．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
13．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB，BC的中点，EP⊥CD于点P．求∠FPC的度数．
14．如图，在菱形ABCD中，∠A=72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数．
　
《第5章
特殊平行四边形》
参考答案与试题解析
　
一．选择题
1．若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm，则较长的对角线长为（　　）
A．
cm
B．
cm
C．6cm
D．12cm
【考点】菱形的性质．
【分析】作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB．
【解答】解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，
∴较小的内角∠ABC=180°×=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OB=×6=3cm，
∴较长的对角线BD=2OB=2×3=6cm．
故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16a
B．12a
C．8a
D．4a
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB=2OE，从而不难求得其周长．
【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及中位线的性质的理解及运用．
　
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A的坐标是（　　）
A．（2，﹣1）
B．（1，﹣2）
C．（1，2）
D．（2，1）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵点C的坐标为（4，0），
∴OC=4，
∴点B的纵坐标是﹣1，
∴A（2，1）．
故选D．
【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．
　
4．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，则∠ABC=（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题；几何图形问题．
【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，熟记性质并判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．
　
二．填空题
5．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为　（2+，）　．
【考点】坐标与图形性质；菱形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
在Rt△CDE中，CD=2
∴CE=DE=
∴OE=OC+CE=2+
∴点D坐标为（2，）．
故答案为：（2，）．
【点评】此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，同时考查等腰直角三角形知识．
　
6．如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是　5　．
【考点】菱形的性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．
【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故答案为：5．
【点评】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质，属于基础题．
　
三．简答题
7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求∠AHC的度数．
【考点】菱形的性质．
【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，从而得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB=AC，
又∵菱形的边AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=AB=×4=2，
∴菱形ABCD的面积=BC AE=4×2=8；
（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE=∠BAC=×60°=30°，
同理∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，
∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，
∴AE∥CG，
∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣60°=120°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．
　
8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接AC，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而判断出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠CEF=∠BAE．
【解答】解：如图，连接AC，
在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，
∠CAF+∠EAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠B=∠ACF=60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，
∴60°+∠CEF=60°+20°，
解得∠CEF=20°．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
　
9．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm，求菱形的面积和对角线BD的长．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式求解即可得到BD．
【解答】解：∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵菱形ABCD的边AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=AB=×4=2cm，
∴菱形的面积=4×2=8cm2；
又菱形的面积=AC BD=×4 BD=2BD，
∴2BD=8，
解得BD=4cm．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．
　
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为8和6，将△BCD平移到△EBA，则四边形AECD的面积为（　　）
A．36
B．48
C．72
D．96
【考点】菱形的性质；平移的性质．
【分析】根据平移的意义知四边形AEBD是平行四边形，S△ABE=S△ABD=S菱形ABCD．故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题．
【解答】解：依题意，AE∥DB，AE=DB．
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴S△ABE=S△ABD．
∵在菱形ABCD中，
S△ABD=S△BCD=S菱形ABCD=××6×8=12．
∴四边形AECD的面积等于12×3=36．
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．
　
11．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E是AD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PA+PE的最小值为　　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，此时PA+PE的值最小，再根据线段垂直平分线的性质，即可求解．
【解答】解：如图，连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE=CP+EP=CE，值最小．
∵∠ABC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵E是AD中点，
∴AE=1，CE⊥AD，
∴CE=，
∴AP+EP=CE=．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，难度适中，确定点P的位置是解题的关键．
　
12．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】根据菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，利用SAS判定△ABE≌△ADF；由△ABE≌△ADF可得∠BAE=∠DAF=25°，从而可推出∠EAF的度数，根据平行线的性质可得到∠AHC的度数．
【解答】（1）证明：菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF．
在△ABE和△ADF中AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．（6分）
（2）解：菱形ABCD中∠BAD=∠BCD=130°，
由（1）得△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=25°．
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF
=130°﹣25°﹣25°=80°．（9分）
又∵AE∥CG，
∴∠EAH+∠AHC=180°．
∴∠AHC=180°﹣∠EAH=180°﹣80°=100°．
∴∠AHC=100°．（12分）
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．
　
13．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB，BC的中点，EP⊥CD于点P．求∠FPC的度数．
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据菱形的邻角互补求出∠B，再求出BE=BF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BEF，再求出∠FEP，取AD的中点G，连接FG交EP于O，然后判断出FG垂直平分EP，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EF=FP，利用等边对等角求出∠FPE，再根据∠FPC=90°﹣∠FPE代入数据计算即可得解．
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠A=110°，
∴∠B=180°﹣110°=70°，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE=BF，
∴∠BEF=（180°﹣∠B）=（180°﹣70°）=55°，
∵EP⊥CD，AB∥CD，
∴∠BEP=∠CPE=90°，
∴∠FEP=90°﹣55°=35°，
取AD的中点G，连接FG交EP于O，
∵点F是BC的中点，
∴FG∥CD，
∵EP⊥CD，
∴EP⊥FG，
即FG垂直平分EP，
∴EF=PF，
∴∠FPE=∠FEP=35°，
∴∠FPC=90°﹣∠FPE=90°﹣35°=55°．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质并作出辅助线求出EF=PF是解题的关键，也是本题的难点．
　
14．如图，在菱形ABCD中，∠A=72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数．
【考点】作图—应用与设计作图；菱形的性质．
【分析】设计图案主要根据∠D=108°，由此得到∠A=72°，而108=3×36，72=2×36然后利用菱形的性质即可设计图案．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质，充分利用∠A=108°是36°的倍数解决问题．