浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练
选择题：
如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则四边形ABCD的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A．4 B．5 C．6 D．7
2.如图，矩形纸片ABCD，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为（ ）21教育网
A． 1 B． 2 C． 4 D． 5
3.我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被 这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已 知菱形的边长为 4，且有一个内角为 60°，设它的等积线段长为 m，则 m 的取值范围是（ ） 21·cn·jy·com
A．m=4 或 m=4 B．4≤m≤4 C．2 D．2 ≤m≤4
4．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
A． B． C． D．
5．已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）
6.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 2 B. C. 4 D.
7．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD
8.下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…则第⑥个矩形的周长为（ ）
A．42 B．46 C．68 D．72【版权所有：21教育】
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）21教育名师原创作品
正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC=BP；②AP=AM：③∠BAP=∠GFP；④AB2+CE2=AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
填空题：
11．如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG，若AB=6，则FG的长度为 【出处：21教育名师】
12．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA= 度．21*cnjy*com
13．如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为
14．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，BD=6，E，F 分别是 AB，AD 的中点，连接 EO 并延长交 CD 于 G 点，连接 FO 并延长交 CB 于 H 点，△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形，则蝶 形的周长为 21·世纪*教育网
15．如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 AA′为
如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2015B2015C2015D2015的周长 21cnjy.com
三．解答题：
17.如图，线段 AC 是菱形 ABCD 的一条对角线，过顶点 A、C 分别作对角线 AC 的垂线，交 CB、 AD 的延长线于点 E、F．（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2） 若 AD=5，AE=8，求四边形 AECF 的周长．
18.已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．
19.如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
20．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；2·1·c·n·j·y
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
21．某工厂沿路护栏纹饰部分是由若干个和菱形ABCD（图1）全等的图案组成的，每增加一个菱形，纹饰长度就增加dcm，如图2所示．已知菱形ABCD的边长6cm，∠BAD=60°．
（1）求AC长；
（2）若d=15，纹饰总长度L为3918cm，则需要多少个这样的菱形图案？
22．在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 ACS 行的两个动点，分别从 A，C 同时出发 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．21世纪教育网版权所有
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何 值时，四边形 EGFH 为菱形．2-1-c-n-j-y
23．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．21*cnjy*com
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC=90°，如图2所示：
①求证：∠ADO=∠BCO；
②若∠EOD=15°，求∠OCD的度数．
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练答案
1.答案：C
解析：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD?AB=2×3=6，
故选C．
2.答案：B
解析：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
ED=AD=5，
在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，
即52=（5﹣EB）2+32，
解得EB=1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，
∵3﹣1=2，
∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．
故选B．
3.答案：C
解析：由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边平行时最小， 此时直线 l⊥DC，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，21世纪教育网版权所有
则∠DAB=60°，AD=4，
故 DN=AD?=2， 当“等积线段”为菱形的对角线时最大， 则 DO=2，故 AO=2，即 AC=4 则 m 的取值范围是：， 故选：C．21教育网
4.答案：D
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°， ∴∠BAM=∠AMD，
∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，∴BM=AB=2，
∴CM=，
∴DM=CD﹣CM=2﹣，故选：D．
5.答案：A
解析：在RT△AOD中，∵∠AOD=90°，∠DAO=30°，OD=2，
∴AD=2OD=4，OA=
∵点P的运动速度为1米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵，
∴移动到第2016秒和第16秒的位置相同，当P运动到第16秒时点P在点A处，
∴移动到第2016秒时，点P的坐标为（﹣2，0）．
故选A．
6.答案：B
解析：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4×=2，
∴PK+QK的最小值为2，
故选：B．
7.答案：C
解析：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，AC⊥EH，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形，
故选：C．
8.答案：C
解析：观察图形得：
第①个矩形的周长为：2×（1+2）=2×3=6；
第②个矩形的周长为：2×（2+3）=2×5=10；
第③个矩形的周长为：2×（3+5）=2×8=16；
第④个矩形的周长为：2×（5+8）=2×13=26；
第⑤个矩形的周长为：2×（8+13）=2×21=42；
第⑥个矩形的周长为：2×（13+21）=2×34=68；
故选C．
9.答案：B
解析：由题意可得，
点P到A→B的过程中，y=0（0≤x≤2），故选项C错误；
点P到B→C的过程中，（2＜x≤6），故选项A错误；
点P到C→D的过程中，（6＜x≤8），故选项D错误；
点P到D→A的过程中，，
由以上各段函数解析式可知，选项B正确，
故选B．
10.答案：D
解析：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有，
∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立；
②无法证出AP=AM；
③∵FG∥EC，∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，
∵PA=PF，且∠APF=90°，∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2=AP2+EP2=2AP2，
∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．故成立的结论有①③④⑤．
故选D．
填空题：
答案：3
解析：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵F、G分别为BE，CE的中点，
∴FG=3，
故答案为：3
12.答案：25
解析：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180°
∴∠ABC=100°，
∵菱形对角线即角平分线
∴∠ABO=50°，
∵BE=BO
∴∠BEO=∠BOE，
∵菱形对角线互相垂直
∴∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°﹣65°=25°，
故答案为 25．
13.答案：10
解析：∵四边形ABCD、EFGH均为正方形，
∴∠A=∠B=90°，∠EFG=90°，EF=FG．
∵∠AFE+∠BFG=90°，∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE=∠BGF．
在△AFE和△BGF中，，
∴△AFE≌△BGF（AAS），∴BF=AE=1．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，AF=AB﹣BF=3．
同理可证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．
∴S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE=16﹣4××1×3=10．
故答案为：10．
14.答案：16
解析：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，BD=6，
∴BO=DO=3，CO=AO=4，BD⊥AC，
∴BC=CD=AD=AB=5，
∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，∴EF= BD=3，
∵E 是 AB 的中点，O 是 AC 的中点，
∴EO∥BC，∴GO∥BC，
则 EG=BC=5，
同理可得：HF=5，HG=3，
故蝶形的周长为：
5+5+3+3=16． 故答案为：16．
15.答案：
解析：如图所示：∵四边形 A′ECF 是菱形，
∴A′E=EC=FC=A′F，
∵边长为 6 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，
∴∠A=∠ACD=45°，
∴AD=DC，则 A′D=DF，AA′=AE，
∴设 A′E=x，则 A′D=DF=6-x
A′F=x， 故在 Rt△A′DF 中 ，
解得，
（不合题意舍去）， 故 AA′
故答案为：
16.答案：20，
解析：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5×，C3D3=C1D1=×5，
A5D5=5×（）2，C5D5=C3D3=（）2×5，
…
∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：
故答案为：20；．
三．解答题：
17.解析：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，∴∠BAC=∠BCA
∵AE⊥AC，∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，∴AB=EB，
∵AD=5，∴AB=EB=BC=5，
∵AE=8，∴AE+EC=18，
∵四边形 AECF 是平行四边形，
（2）∴四边形 AECF 的周长是 36．
18.解析：（1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，
理由是：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．
∵AF=DC，∴BD=DC．
∵AB=AC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形，
即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．
19.解析：（1）连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
20.解析：（1）△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；
（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8﹣3=5．
在△ADE中，AD=，
延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．
21解析：（1）连接AC，BD，设交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=30°，
∴OD=AD=3，
∴OA=，
则AC=2OA=18；
（2）当d=15时，设需x个菱形图案，则有：18+15×（x﹣1）=3918，
解得x=261，
即需要261个这样的菱形图案．
22.解析：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC= ，∠GAF=∠HCE，
∵G，H 分别是 AB，DC 中点，
∴AG=BG，CH=DH，∴AG=CH，
∵AE=CF，∴AF=CE，
在△AFG 和△CEH 中， ，
∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF=HE，
同理：GE=HF，∴四边形 EGFH 是平行四边形． 解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形 BCHG 是平行四边形，
∴GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；
综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）解：连接 AG、CH，如图所示：
∵四边形 EGFH 为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形 AGCH 是菱形，
∴AG=CG，设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x， 由勾股定理得：， 即 ，
解得：，∴BG=4﹣ = ，∴AB+BG=3+ = ，
即 t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形．
23.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）①过O作ON∥BC交DC于N，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O为BE的中点，
∴N为DC的中点，ON⊥DC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADO=∠BCO；
②解：∵四边形ABFE是平行四边形，AB=AE，∠ABC=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴∠AEB=∠AEF=×90°=45°，
∵∠EOD=15°，
