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版本科目年级课时教学设计
课题 菱形（1） 单元 五单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观．并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点．
能力目标 经历探索菱形的性质的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．
知识目标 1、理解并掌握菱形的性质定理．2、掌握菱形的面积公式的推导过程，并能应用公式进行简单的计算．3、会用这些定理进行有关的论证和计算．
重点 菱形的性质
难点 菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点
学法 研讨式学习方法 教法 引导发现法、讲练结合法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 图片欣赏： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )请同学们观察它们由什么图形组成？菱形具有工整，匀称，美观等许多优点，常被人们用在图案设计上. 对图片欣赏观察出菱形 通过学生图片欣赏，让学生了解菱形在生活中无处不在，让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.为菱形性质的探究做铺垫。
讲授新课 一组邻边相等 平行四边形 菱形 菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 画出菱形的两条折痕,并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论： 1、对称性2、是否有特殊的三角形3、边4、角5、对角线菱形性质定理的探究：通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？你的猜想是什么？你能证明这个猜想的正确性吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形.求证：AB=BC=CD=DA.证明:∵ 四边形ABCD是菱形,∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，AD=BC.∴ AB=BC=CD=AD.菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∵四边形ABCD是菱形,通过上面的折叠猜想菱形的对角线有什么关系？你的发现是什么？你能证明你的猜想的正确性吗？已知:如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.求证: （1）AC⊥BD;（2）AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形,∴AD=CD，AO=CO.∵DO=DO，∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.∴AC⊥BD.（2）∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC.菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴有两条．几何语言：∵菱形ABCD， ∴ AC⊥BD，BD平分∠ADC和∠ABC，BD平分∠ADC和∠ABC．例1.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长. ( http: / / www.21cnjy.com )解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义)AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)由勾股定理,得AO= AC=2AO= 典例解析：如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE=AF． ( http: / / www.21cnjy.com )证明：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∵点E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE=BC，DF= CD，∴BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF．思考：利用菱形的对角线能计算菱形的面积吗？如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O．求该菱形的面积．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD结论：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．针对练习：如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠BAD=120°．对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积． ( http: / / www.21cnjy.com )解：∵菱形ABCD中∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AO=×4=2，BO==，∴AC=2AO=2×2=4，BD=2BO=2×=，∴菱形的面积= AC BD=×4× =． 学生小组合作，明确图一为平行四边形，找出图二学生动手操作得出结论。学生小组合作讨论教师画出图形，写出已知、求证，让学生独立完成性质的证明。让学生独立完成例题的证明。推导菱形的面积公式。 运用推导的公式进行计算。 让学生经历菱形的概念,性质的发现过程。让学生总结归纳这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.按照命题的证明步骤让学生证明性质定理。通过例题的证明进一步规范解题步骤。通过推导公式掌菱形的面积=对角线乘积的一半．使学生能运用公式进行计算。
巩固提升 1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3） ( http: / / www.21cnjy.com )3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长． ( http: / / www.21cnjy.com )解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是×AC DB=×6×8=24，∴BC AE=24，AE=．拓展提升：已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长． ( http: / / www.21cnjy.com )解：连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2．∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16． ( http: / / www.21cnjy.com ) 让学生根据所学知识解答问题。 通过练习让学生巩固本节知识。
课堂小结 1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.2.特殊的性质:(1) 性质定理1 菱形的四条边都相等.(2) 性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角.(3) 菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线. 学生对所学知识归纳 对本节课所学知识总结归纳。
板书 5.2菱形1.菱形的定义 2.菱形的性质定理13.菱形的性质定理2例1
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5.2菱形
一．选择题
1．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）21·cn·jy·com
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A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
2．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
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A．18 B．16 C．15 D．14
3．某校的校园内有一个由两个相同的正六边 ( http: / / www.21cnjy.com )形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．20m B．25m C．30m D．35m
4．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．3 D．4
5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
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A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
二．填空题
1．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 ．21世纪教育网版权所有
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2．在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为 ．
3．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为 ．
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4．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形O ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为 ．www-2-1-cnjy-com
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三．解答题
1．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE=AF．
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2．已知菱形的边长是5cm，一条对角线的一半长是方程x2﹣3x﹣4=0的根，你能求出这个菱形的面积吗？21教育网
3．如图，用3个全等的菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？www.21-cn-jy.com
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参考答案
一．选择题
1．A
【解析】∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
故选A．
2．B
【解析】菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB=5，
∴△ABD的周长等于5+5+6=16，
故选B．
3．C
【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），
故选：C．
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4．C
【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．21·世纪*教育网
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
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5．B
【解析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．2-1-c-n-j-y
6．B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，故选项A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故选项B错误，符合题意；
AC⊥BD，故选项C正确，不合题意；
OA=OC，故选项D正确，不合题意；
故选：B．
二．填空题
1．30°或60°．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故答案为30°或60°．
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2．2或8．
【解析】当点E在CB的延长线上时，如图1所示．
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∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC+BE=8；
当点E在BC边上时，如图2所示．
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，CE=BC﹣BE=2．
综上可知：CE的长是2或8．
故答案为：2或8．
3．15．
【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为6和10，
∴菱形的面积=×10×6=30，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×30=15．
故答案为：15．
4．（，）．
【解析】由菱形的性质可知：点A的对称点是点C，所以连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可．21cnjy.com
三．解答题
1．60°
【解析】证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=BC，DF=CD，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
2．24cm2．
【解析】∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x=4或x=﹣1（舍），
∵菱形的边长是5cm，
∴菱形的另外一条对角线=2=6cm，
∴菱形的面积为=×6×8=24cm2．
3．30厘米．
【解析】连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO===5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
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菱形
数学浙教版 八年级下
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教学目标
导入新课
图
片
欣
赏
菱形具有工整，匀称，美观等许多优点，常被人们用在图案设计上.
窗花
中国古代墙面装饰
比利时地毯
彩纹陶罐
教学目标
新课讲解
平行四边形
菱形
菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一组邻边相等
教学目标
新课讲解
画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：
1、对称性
2、是否有特殊的三角形
3、边
4、角
5、对角线
教学目标
新课讲解
通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？
菱形的四条边都相等．
你的猜想是：
你能证明这个猜想的正确性吗？
已知：如图，四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD，AD=BC.
求证：AB=BC=CD=DA.
∴ AB=BC=CD=AD.
C
B
D
A
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形,
∵四边形ABCD是菱形,
C
B
D
A
几何语言：
通过上面的折叠猜想菱形的对角线有什么关系？
教学目标
新课讲解
菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
你的发现是：
你能证明这个命题的正确性吗？
已知:如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.
求证: （1）AC⊥BD;（2）AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD，AO=CO.
∵DO=DO，
∴△AOD≌△COD(SSS).
∴∠AOD=∠COD=900.
O
D
B
C
A
∴AC⊥BD.
（2）∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD;
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC.
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
∵菱形ABCD，
∴ AC⊥BD，BD平分∠ADC和∠ABC，
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角．
A
B
C
D
O
BD平分∠ADC和∠ABC．
几何语言：
菱形是轴对称图形，对称轴有两条．
教学目标
新课讲解
例1．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6．求菱形的边长和对角线AC的长.
教学目标
新课讲解
解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60°
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
AC=2AO=
∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6，
如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．
求证：AE=AF．
典例解析
证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE= BC，DF= CD，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
教学目标
新课讲解
思考：利用菱形的对角线能计算菱形的面积吗？
如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O．求该菱形的面积．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD
O
D
B
C
A
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．
如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠BAD=120°．对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积．
x学以致用
解：∵菱形ABCD中∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AO= ×4=2，BO= = ，
∴AC=2AO=2×2=4，
BD=2BO=2× = ，
∴菱形的面积= AC BD= ×4× = ．
教学目标
巩固提升
1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
D
教学目标
巩固提升
2、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，
点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B
的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（1，﹣3） D．（1，3）
B
3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO= AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是
×AC DB= ×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE= ．
教学目标
巩固提升
已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．
拓展提升
解：连接BD．∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC，AC⊥BD．
又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB=ED=2．
∵E是AD的中点．
∴AD=2ED=4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
拓展提升
教学目标
课堂小结
1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.
2.特殊的性质:
(2) 性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每条
对角线平分一组对角.
(3) 菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的
直线.
(1) 性质定理1 菱形的四条边都相等.
谢 谢！
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