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版本科目年级课时教学设计
课题 菱形(2) 单元 五单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；2．根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．
能力目标 通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
知识目标 1、探索菱形判定定理．2、掌握菱形的判定定理，会利用判定定理进行有关证明和计算．
重点 菱形的判定定理
难点 菱形判定方法的综合应用
学法 研讨式学习方法 教法 启发诱导、讨论、讲授相结合
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 回顾菱形的定义与性质．你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：1.具有平行四边形的所有性质．2.对角线互相垂直且平分每一组对角．3.菱形的四条边都相等． 回顾旧知识 通过对旧知识的回顾，引出课题．
讲授新课 菱形的判定：定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.探究菱形的判定方法：取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的①这部分展开,平铺在桌面上. ( http: / / www.21cnjy.com )探究一：根据折叠，剪裁的过程，这个四边形的边具有什么性质 剪出的这个图形是哪一种四边形 一个四边形四条边具备怎样的条件，就可以判定它是菱形 如何证明这一结论？已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.证明：在四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.定理1：四条边相等的四边形是菱形.几何语言：在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形.探究二：剪裁的四边形是平行四边形吗？根据 ( http: / / www.21cnjy.com )折叠， 剪裁的过程，这个四边形的对角线具有什么性质 一个平行四边形的对角线具备怎样的条件，就可以判定它是菱形 如何证明这一结论？已知：在□ABCD中，AC⊥BD．求证：□ABCD是菱形．证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，又∵ AC ⊥ BD，∴BA=BC ，∴ □ABCD是菱形．定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD．∴ □ABCD是菱形．例1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AE//FC(矩形的定义)∴∠EAC=∠ACF又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF, ∴EO=FO.∴四边形是平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形).∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).典例解析：如图，DF,EF是△ABC的两条中位线,我 ( http: / / www.21cnjy.com )们探究的问题是:这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索: ( http: / / www.21cnjy.com )(1)围成的四边形是否必定是平行四边形 必定是平行四边形(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形 当AB=BC时，围成的四边形是菱形(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形 当∠B=Rt∠时，围成的四边形是矩形(4)你还能发现其他什么结论吗 □BEFD的面积是△ABC面积的一半S△ADF=S△FEC 学生动手操作的方法，引出菱形的判断方法．通过小组讨论交流，得出猜想。小组合作得出菱形判断方法的猜想。让学生独立完成例1的证明。 让学生通过小组合作交流得出结论．让学生由定义得出菱形的判定方法。通过证明引导学生得出猜想的正确性。通过例题的证明进一步规范解题步骤。
巩固提升 1、平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形2、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（ ）A．BD=AE B．CB=BF C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF ( http: / / www.21cnjy.com )3、如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状． ( http: / / www.21cnjy.com )证明：四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．拓展提升：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.解：四边形AEDF是菱形理由：∵DE ∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵ DE ∥AC， ∴∠2= ∠3， ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1= ∠2， ∴AE=DE， ∴ □ AEDF是菱形． 学生按要求进行讨论，教师巡回检查指导，发现问题及时纠正。 本环节放手让学生之间合作学习，互相交流，交换观点，自主构建知识体系，给学生自主学习交流提供空间。
课堂小结 菱形的判定方法有哪些？1、一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、四条边都相等的四边形是菱形.3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形. 学生对所学知识归纳 梳理菱形的判定方法，让学生理解掌握它们逻辑严密的推理过程。并能灵活运用每一种判定方法，解决实际问题。
板书 5.2菱形菱形的定义1. 菱形的判定定理1 2. 菱形的判定定理2例1
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5.2菱形（2）
一．选择题
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（ ）
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A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC=BD
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．有三条边相等的四边形是菱形
3．如图，在由六个全等的正三角形拼成的图中，菱形的个数为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从① ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件后，使得四边形ABCD是菱形，现在下列四种选法，其中都正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
5．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：【来源：21·世纪·教育·网】
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对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二．填空题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为 ．21·cn·jy·com
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2．如图，矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4，BC=8，点E是边AD上一动点，点O是对角线BD的中点，连接EO并延长交于点F，当AE的长为 时，四边形BFDE是菱形．
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3．在四边形ABCD中，给出四个条件： ( http: / / www.21cnjy.com )①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ．（写四个条件的不给分，只填序号）21·世纪*教育网
4．如图，在给定的一张平行四边形纸 ( http: / / www.21cnjy.com )片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 ．www-2-1-cnjy-com
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三．解答题
1．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．2-1-c-n-j-y
求证：四边形BCFE是菱形．
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2．如图，在△ABC中，D、E分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．试问当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？21*cnjy*com
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3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．
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参考答案
一．选择题
1．A
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，
∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．
故选：A．
2．C
【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项正确；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误．
故选C．
3．D
【解析】如图，
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由题意可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥A ( http: / / www.21cnjy.com )B，CD∥BE∥AF，有ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD，21教育网
∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，
∵AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴平行四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB都是菱形，共6个．
故选D．
4．D
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确，
故选：D．
5．C
【解析】首先证明△AOE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△COF（ASA），可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．2·1·c·n·j·y
6．C
【解析】整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
二．填空题
1．2
【解析】过点E作EF∥AB，交AD于F
∵在平行四边形ABCD，EF∥AB
∴AB=EF，AF=BE
∵∠FAE=∠BAE
∴△AFE≌△ABE
∴AB=BE=EF=AF
∴ABEF为菱形
∴EC=AD﹣AB=2．
故答案为：2．
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2．3
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
当平行四边形BFDE是菱形时，ED=BE，
设AE=x，
则BE=DE=8﹣x，
在Rt△AEB中，
x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3
故当AE=3时， BEDF是菱形，
故答案为：3．
3．①③④或②③④．．
【解析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．21cnjy.com
4．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【解析】先根据MN垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分AC，推导出△AOM≌△CON，进而的而出AM=CN，再根据AM∥CN，判定四边形AMCN是平行四边形，最后根据MN⊥AC，得出四边形AMCN是菱形．www.21-cn-jy.com
三．解答题
1．答案见解析
【解析】∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．
∴EF=BC．
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．
2．答案见解析
【解析】当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
∵D是AB的中点，
∴BD=AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，
∴四边形DBFE是菱形．
3．答案见解析
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，…（1分）；
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB=90°，即∠ACB=90°；
∵点E是AB的中点，EC=2.5，
∴AB=2EC=5，
∴BC=3．
∴S△ABC=BC AC=6．
∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，
∴S△AEC=S△EBC=S△ACD=3．
∴四边形ABCD的面积=S△AEC+S△EBC+S△ACD=9．
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菱形
数学浙教版 八年级下
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教学目标
导入新课
回顾菱形的定义与性质．你认为可以从哪些角度
思考菱形的判定条件？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做
菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
怎样来判定菱形呢？
教学目标
新课讲解
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
教学目标
新课讲解
取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把 剪下的①这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
①
②
教学目标
新课讲解
根据折叠，剪裁的过程，这个四边形的边具有什么性质
四条边相等。
剪出的这个图形是哪一种四边形
一个四边形四条边具备怎样的条件，就可以判定它是菱形
菱形
四条边相等的四边形是菱形。
如何证明这一结论？
证明：在四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
定理1：四条边相等的四边形是菱形.
在四边形ABCD中,
∵AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言：
A
B
C
D
教学目标
新课讲解
根据折叠， 剪裁的过程，这个四边形的对角线具有什么性质
一个平行四边形的对角线具备怎样的条件，就可以判定它是菱形
对角线互相垂直
对角线互相垂直
剪裁的四边形是平行四边形吗？
是平行四边形
如何证明这一结论？
教学目标
新课讲解
已知：在□ABCD中，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
又∵ AC ⊥ BD，∴BA=BC ，
∴ □ABCD是菱形．
A
B
C
D
O
教学目标
新课讲解
定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵在□ABCD中，AC⊥BD．
几何语言：
∴ □ABCD是菱形．
A
B
C
D
O
教学目标
新课讲解
例1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于E，F ．
求证：四边形AFCE是菱形．
A
D
C
B
O
E
F
教学目标
新课讲解
A
D
C
B
O
E
F
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//FC(矩形的定义)．
∴∠EAC=∠ACF，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF， ∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形．
(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
教学目标
典例解析
如图，DF，EF是△ABC的两条中位线，我们探究的问题是:这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
A
B
C
D
F
E
必定是平行四边形
当AB=BC时，围成的四边形是菱形．
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗
当∠B=Rt∠时，围成的四边形是矩形．
□BEFD的面积是△ABC面积的一半．
S△ADF=S△FEC．
A
B
C
D
F
E
教学目标
探究活动
教学目标
巩固提升
1、平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分
别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、
D（0，﹣2），四边形ABCD是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
B
教学目标
巩固提升
2、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上
滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，
下列选项中错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF
C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF
A
教学目标
巩固提升
3、如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状．
证明：四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
教学目标
拓展提升
如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：四边形AEDF是菱形
理由：∵DE ∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵ DE ∥AC，
∴∠2= ∠3，
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1= ∠2，
∴AE=DE，
∴ □ AEDF是菱形．
教学目标
课堂小结
菱形的判定方法有哪些？
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、四条边都相等的四边形是菱形.
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.
谢 谢！
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