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浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C A C D C C
二、填空题
11﹒6+6﹒ 12﹒ ﹒ 13﹒．
14﹒（1，3）﹒ 15﹒ ． 16﹒①③④⑤﹒
三、解答题
17.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
18.解：连接BD交AC于点O，连结OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
又∵EF⊥AC，
∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB＝ED＝．
∵AC⊥BD，E是AD的中点．
∴AD＝2ED＝2，OE＝AE＝AD＝，
又∵∠AEM＝30°，
∴∠OAE＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴OA＝OE＝，∴AC＝2，
由勾股定理，得OD＝＝，
∴BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8，
菱形ABCD的面积＝×2×2＝4．
19.（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD，
∴D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AF＝BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．
20.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠BFD，
∵E为BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴DC＝BF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CF＝DB；
（2）∠F＝∠H，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADH＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝AB，∠A＝∠C，
∵E、G分别是CB、AB的中点，
∴AG＝CE，
在△ADG和△CDE中，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠CDE＝∠ADG，
∴∠H＝∠F．
21.（1）证明：如图1，当四边形ABCD为正方形时，AC＝BD，∠ACD＝45°，
∵CE＝BD，
∴AC＝EC，
∴等腰三角形ACE中，∠EAC＝(180°－45°)÷2＝67.5°，
∵BG平分∠ABD，∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴∠ABG＝22.5°，
∴∠AGF＝∠ABG+∠BAG＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠EAC＝∠AGF，
∴AF＝FG；
（2）线段AF与EF相等．
如图2，延长BF、CE交于点G，
当四边形ABCD为平行四边形时，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠G，
∵BG平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBG，
∴∠G＝∠DBG，
∴BD＝GD，
又∵CE＝BD，
∴CE＝GD，
∴CD＝GE，
又∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴AB＝EG，
由∠ABF＝∠DBG，∠AFB＝∠EFG，AB＝EG，可得△ABF≌△EGF（AAS），
∴AF＝EF．
22.（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，
设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，
∴QB＝x，PQ＝x－2，
在Rt△BPQ中，QB2＝PQ2+PB2，
∴x2＝(x－2)2+42，
解得：x＝5，
即QF＝5．
23.（1）证明：过点E作EP⊥DC于点P，EK⊥BC于点K，
则∠EPC＝∠EKC＝∠DPE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCK＝90°，
∴∠EPC＝∠EKC＝∠PCK＝90°，
∴四边形EPCK是矩形，
又∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC是∠BCD的平分线，
∴EP＝EK，
∴矩形EPCK是正方形，
∴EP＝EK，
∵∠FEK+∠PEF＝∠DEP+∠PEF＝90°，
∴∠FEK＝∠DEP，
在△EKF和△EPD中，，
∴△EKF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）由（1）知：矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠CDG+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴CG＝AE，
∵AE+CE＝AC，
∴CE+CG＝AC，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴CE+CG＝4﹒
Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒下列语句错误的是（ ）
A﹒菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B﹒矩形的对角线互相平分且相等
C﹒菱形的每一条对角线平分一组对角
D﹒有一个角是直角的平行四边形是正方形
解答：A﹒菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B﹒矩形的对角线互相平分且相等，故此选项正确；
C﹒菱形的每一条对角线平分一组对角，故此选项正确；
D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误，
故选：D﹒
2﹒如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A﹒△AFD≌△DCE B﹒AF＝AD C﹒AB＝AF D﹒BE＝AD－DF
解答：由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC．
又∵DE＝AD，
∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，
由矩形ABCD，可得AB＝CD，
∴AB＝AF，故C正确；
∵AD＞AB，
∴AB不一定等于AD的一半，即AF不一定等于AD的一半，故B错误；
由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，
由矩形ABCD，可得BC＝AD，
又∵BE＝BC－EC，
∴BE＝AD－DF，故D正确；
故选：B．
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连结CF，则CF的长为（ ）21教育网
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解答：连结BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由对称性可知：AE垂直平分BF，
∴S△ABE＝BE·AB＝AE·BH，即3×4＝5·BH，
∴BH＝，则BF＝，
∵FE＝BE＝EC＝BC，
∴∠EBF＝∠EFB，∠ECF＝∠EFC，
∵∠EBF+∠EFB+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠EFB+∠EFC＝90°，即∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
4﹒如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（ ）21·cn·jy·com
A﹒55° B﹒65° C﹒75° D﹒85°
解答：连结BF，
在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，
∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝110°－35°＝75°，
∵在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
故选：C．
5﹒如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使平行四边形ABCD成为菱形，下列给出的条件中不正确的是（ ）
A﹒AB＝AD B﹒AC⊥BD C﹒AC＝BD D﹒∠BAC＝∠DAC
解答：A﹒根据菱形的定义可得，当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形；
B﹒根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，平行四边形ABCD是菱形；
C﹒对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
D﹒当∠BAC＝∠DAC时，
∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC．故命题正确．
故选：C．
6﹒如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，连结AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴交于点D，则点D的坐标为（ ）
A﹒（0，） B﹒（0，2） C﹒（0，3） D﹒（0，4）
解答：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4，∠COA＝90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD＝DE，
由勾股定理得：OA2＝AD2－OD2，AE2＝AD2－DE2，
∴OA＝AE＝4，
由勾股定理得：AC＝＝5，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝CD2，
即OD2+(5－4)2＝(3－OD)2，
解得：OD＝，
所以点D的坐标为（0，），
故答案为：A．
7﹒如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连结EF，则EF的长为（ ）www.21-cn-jy.com
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解答：∵AB2+AC2＝100，BC2＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵DE⊥AB，，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD，
又∵AD是BC边上的高，
∴BC·AD＝AB·AC，即10·AD＝6×8，
∴AD＝，∴EF＝，
故选：C﹒
8﹒如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）2·1·c·n·j·y
A﹒1或9 B﹒3或5 C﹒4或6 D﹒3或6
解答：如图，∵直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴x(9－x)＝6(9－6)，
整理，得x2－9x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
故选：D﹒
9﹒如图，已知菱形ABCD的周长为12，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）21·世纪*教育网
A﹒1 B﹒2 C﹒3 D﹒4
解答：作点F关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连结EF′交BD于点P，
∴EP+FP＝EP+F′P，
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在同一条直线上时，EP+FP的值最小，
此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′，
∵菱形ABCD的周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3，
即EP+FP的最小值为3，
故选：C﹒
10.如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别是AO、CO的中点，连结BE、BF、DE、DF，则下列结论：①BF＝DE；②∠ABO＝2∠ABE；③S△AED＝S△ACD；④四边形BFDE是菱形，其中正确的结论有（ ）www-2-1-cnjy-com
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
解答：∵点E、F分别是AO、CO的中点，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OB，AC⊥BD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，故选项①正确；
∵四边形BEDF是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，故选项④正确；
∵△AED的一边AE是△ACD的边AC的 ，且此边的高相等，
∴S△AED＝S△ACD；故选项③正确，
∵AB＞BO，BE不垂直于AO，
∴BE不是∠ABO的角平分线，
∴∠ABO≠2∠ABE；故选项②没有足够的条件证明成立，
故答案为：C．
二、填空题
11.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则矩形ABCD的周长为__________﹒2-1-c-n-j-y
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ADC＝90°，
∴OC＝OD＝3，
∵∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝3，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝3，
∴矩形ABCD的周长＝2(CD+AD)＝2(3+3)＝6+6，
故答案为：6+6﹒
12.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC的中点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，则EF＝_______﹒21cnjy.com
解答：连结AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵P为BC的中点，
∴AP＝BC＝，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP＝，
故答案为：﹒
13.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝________﹒
解答：设菱形ABCD的两条对角线相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×6＝3，
∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝AB·DH，
即×6×8＝5·DH，
解得DH＝，
故答案为：．
14.已知边长为5的菱形ABCD在平面直角坐标系中，如图所示，若B（3，0），D（5，0），则点A的坐标为__________﹒21*cnjy*com
解答：连结AC，交x轴于点E，
∵B（3，0），D（5，0），
∴OB＝3，OD＝5，BD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BE＝DE＝BD＝4，
∴OE＝BE－OB＝4－3＝1，
由勾股定理，得AE＝＝＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
故答案为：（1，3）﹒
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点﹒若△CEF的周长为18，则OF的长为__________﹒
解答：∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF＝18－5＝13，
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF，
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝DE，
∴EF＝CF＝DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝＝＝12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝( BC－CE)＝(12－5)＝．
故答案为：．
16.将正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，使点B、C、E在同一条直线上，点G在CD边上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连结AF交CD于点M﹒下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的结论有_____________﹒（只填写正确结论的序号）
解答：①∵∠EPF+∠APB＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠EPF＝∠BAP，
在△EPF和△BAP中，，
∴△EPF≌BAP（AAS），
∴EF＝BP，
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF＝BP，故①正确，
②∵在△ABP和△ADM中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BP不一定等于DM，
∴△ABP和△ADM不一定全等，
∴AP不一定等于DM，故②错误，
③∵FG∥EC，
∴∠GFP＝∠EPF，
又∵∠EPF＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠GFP，故③正确，
④由①可知：EC＝BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2＝AP2，
∵PA＝PF，且∠APF＝90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2＝AP2+EP2＝2AP2，
∴AB2+BP2＝AB2+CE2＝AP2＝AF2，故④正确，
⑤由④知：AB2+CE2＝AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，故⑤正确，
故答案为：①③④⑤﹒
三、解答题
17.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连结DE，交边BC于F.
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连结BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形﹒
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
18.如图，已知菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F，如果FB的长是，∠AEM＝30°，求菱形ABCD的周长和面积﹒
解答：解：连接BD交AC于点O，连结OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
又∵EF⊥AC，
∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB＝ED＝．
∵AC⊥BD，E是AD的中点．
∴AD＝2ED＝2，OE＝AE＝AD＝，
又∵∠AEM＝30°，
∴∠OAE＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴OA＝OE＝，∴AC＝2，
由勾股定理，得OD＝＝，
∴BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8，
菱形ABCD的面积＝×2×2＝4．
19.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF﹒【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论﹒
解答：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD，
∴D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AF＝BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．
20.已知菱形ABCD中，E为BC边的中点，连结DE并延长，交AB边的延长线于点F﹒
（1）如图1，连结CF，求证：CF＝DB；
（2）如图2，若G是AB边的中点，连结DG并延长，交CB边的延长线于点H，试判断∠H与∠F的大小，并证明你的结论﹒【来源：21cnj*y.co*m】
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠BFD，
∵E为BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴DC＝BF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CF＝DB；
（2）∠F＝∠H，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADH＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝AB，∠A＝∠C，
∵E、G分别是CB、AB的中点，
∴AG＝CE，
在△ADG和△CDE中，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠CDE＝∠ADG，
∴∠H＝∠F．
21.在四边形ABCD中，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE，∠ABD的平分线交AE于点F﹒
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连结AC交BF于G，求证：AF＝FG；
（2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，判断线段AF与EF的数量关系，并证明你的判断﹒
解答：（1）证明：如图1，当四边形ABCD为正方形时，AC＝BD，∠ACD＝45°，
∵CE＝BD，
∴AC＝EC，
∴等腰三角形ACE中，∠EAC＝(180°－45°)÷2＝67.5°，
∵BG平分∠ABD，∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴∠ABG＝22.5°，
∴∠AGF＝∠ABG+∠BAG＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠EAC＝∠AGF，
∴AF＝FG；
（2）线段AF与EF相等．
如图2，延长BF、CE交于点G，
当四边形ABCD为平行四边形时，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠G，
∵BG平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBG，
∴∠G＝∠DBG，
∴BD＝GD，
又∵CE＝BD，
∴CE＝GD，
∴CD＝GE，
又∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴AB＝EG，
由∠ABF＝∠DBG，∠AFB＝∠EFG，AB＝EG，可得△ABF≌△EGF（AAS），
∴AF＝EF．
22.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G﹒
（1）如图1，求证：AE⊥BF；
（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若
AB＝4，求QF的值﹒
解答：（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，
设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，
∴QB＝x，PQ＝x－2，
在Rt△BPQ中，QB2＝PQ2+PB2，
∴x2＝(x－2)2+42，
解得：x＝5，
即QF＝5．
23.如图，已知四边形ABCD是正方形，点E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线上于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG﹒
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，试求CE+CG的值﹒
解答：（1）证明：过点E作EP⊥DC于点P，EK⊥BC于点K，
则∠EPC＝∠EKC＝∠DPE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCK＝90°，
∴∠EPC＝∠EKC＝∠PCK＝90°，
∴四边形EPCK是矩形，
又∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC是∠BCD的平分线，
∴EP＝EK，
∴矩形EPCK是正方形，
∴EP＝EK，
∵∠FEK+∠PEF＝∠DEP+∠PEF＝90°，
∴∠FEK＝∠DEP，
在△EKF和△EPD中，，
∴△EKF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）由（1）知：矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠CDG+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴CG＝AE，
∵AE+CE＝AC，
∴CE+CG＝AC，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴CE+CG＝4﹒
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浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元培优测试题
班级_________ 姓名_____________ 得分_____________
注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒下列语句错误的是（ ）
A﹒菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B﹒矩形的对角线互相平分且相等
C﹒菱形的每一条对角线平分一组对角
D﹒有一个角是直角的平行四边形是正方形
2﹒如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A﹒△AFD≌△DCE B﹒AF＝AD C﹒AB＝AF D﹒BE＝AD－DF
第2题图 第3题图 第4题图
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连结CF，则CF的长为（ ）21cnjy.com
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
4﹒如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（ ）21·cn·jy·com
A﹒55° B﹒65° C﹒75° D﹒85°
5﹒如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使平行四边形ABCD成为菱形，下列给出的条件中不正确的是（ ）
A﹒AB＝AD B﹒AC⊥BD C﹒AC＝BD D﹒∠BAC＝∠DAC
第5题图 第6题图 第7题图
6﹒如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，连结AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴交于点D，则点D的坐标为（ ）
A﹒（0，） B﹒（0，2） C﹒（0，3） D﹒（0，4）
7﹒如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连结EF，则EF的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
8﹒如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A﹒1或9 B﹒3或5 C﹒4或6 D﹒3或6
第8题图 第9题图 第10题图
9﹒如图，已知菱形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A﹒1 B﹒2 C﹒3 D﹒4
10.如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别是AO、CO的中点，连结BE、BF、DE、DF，则下列结论：①BF＝DE；②∠ABO＝2∠ABE；③S△AED＝S△ACD；④四边形BFDE是菱形，其中正确的结论有（ ）2-1-c-n-j-y
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则矩形ABCD的周长为__________﹒21*cnjy*com
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC的中点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，则EF＝_________﹒21教育网
13.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝________﹒
14.已知边长为5的菱形ABCD在平面直角坐标系中，如图所示，若B（3，0），D（5，0），则点A的坐标为______________﹒【来源：21cnj*y.co*m】
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点﹒若△CEF的周长为18，则OF的长为__________﹒
16.将正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，使点B、C、E在同一条直线上，点G在CD边上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连结AF交CD于点M﹒下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的结论有_____________﹒（只填写正确结论的序号）
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连结DE，交边BC于F.
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连结BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形﹒
18.如图，已知菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F，如果FB的长是，∠AEM＝30°，求菱形ABCD的周长和面积﹒
19.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF﹒21·世纪*教育网
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论﹒
20.已知菱形形ABCD中，E为BC边的中点，连结DE并延长，交AB边的延长线于点F﹒
（1）如图1，连结CF，求证：CF＝DB；
（2）如图2，若G是AB边的中点，连结DG并延长，交CB边的延长线于点H，试判断∠H与∠F的大小，并证明你的结论﹒www.21-cn-jy.com
21.在四边形ABCD中，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE，∠ABD的平分线交AE于点F﹒
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连结AC交BF于G，求证：AF＝FG；
（2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，判断线段AF与EF的数量关系，并证明你的判断﹒
22.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G﹒
（1）如图1，求证：AE⊥BF；
（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若
AB＝4，求QF的值﹒
23.如图，已知四边形ABCD是正方形，点E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线上于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG﹒
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，试求CE+CG的值﹒
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