5.1.1 矩形性质 同步练习

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5.1矩形
一．选择题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交与点O，以下说法错误的是（　　）
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A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
2．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4，设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为（　　）
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A．4 B．8 C．12 D．16
3．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）21世纪教育网版权所有
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A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
4．如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有（　　）www.21-cn-jy.com
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，AC=10，则△DOE的周长是（　　）2·1·c·n·j·y
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A．12 B．13 C．14 D．15
6．如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB=3，AD=8，则FD的长为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
1．如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有　 　条．（填具体数字）www-2-1-cnjy-com
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2．如图，矩形ABCD对角线AC=10，BC=6，则图中四个小矩形的周长和为　　．
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3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点 ( http: / / www.21cnjy.com )，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（5，2），（﹣1，2），点E（3，0）在x轴上，点P在CD边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的P点有　　个．21·cn·jy·com
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4．如图，AB∥CD，将矩形EFGH的顶点E和F分别放在直线AB与CD上，若∠1=40°，则∠CFG的度数等于　 　．2-1-c-n-j-y
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三．解答题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
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2．如图，E、F分别是矩形ABCD对角线上的两点，且BE=DF，求证：AE=CF．
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3．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．21教育网
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参考答案
一．选择题
1．D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴A、B、C各项结论都正确，
而OA=AD不一定成立，
故选D．
2．D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，
∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4，
∴BF=DF=EF=4．
∴CF=4﹣BC=4﹣y．
∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，
∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．
故选：D．
3．D
【解析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．21·世纪*教育网
4．D
【解析】∵S△ABD与S△ADF，底边为AD，高为AB，
∴S△ABD=S△ADF
∴S△ABD﹣S△ADE=S△ABE，
∴S△ABE=S△DEF，
∵S△ABF与S△BDF，底边为BF，高为AB，
∴S△ABF=S△BDF，
S△ADF与S△BCD，等底，等高，
∴S△ADF=S△BDC，
∴图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，
故选：C．
5．A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD=10，
∴OB=OD=BD=5，
∵矩形ABCD的周长是28，
∴CD+BC=14，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CD，OE是△BCD的中位线，
∴OE=BC，
∴DE+OE=（CD+BC）=7，
∴△DOE的周长=OD+DE+OE=5+7=12；
故选：A．
6．C
【解析】根据矩形点的性质可得AD∥BC，A ( http: / / www.21cnjy.com )D=BC，再求出BE的长度，再根据勾股定理列式求出AE的长，然后根据角平分线的定义求出∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠CEF，再求出AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，然后根据FD=AD﹣AF代入数据计算即可得解．21cnjy.com
二．填空题
1．6
【解析】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，
∴BO=OD=AO=OC=8，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=8，
∴DC=8，
即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，
故答案为：6．
2．28．
【解析】由勾股定理，得AB===8，
将五个小矩形的所有上边平移至AB，所有下边平移至CD，所有左边平移至AD，所有右边平移至BC，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．
故答案为：28．
3．3．
【解析】如图，满足条件的P点有3个．
故答案为：3．
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4．130°．
【解析】延长HG交CD于M，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠1=40°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FGH=90°，
∴∠FGM=90°，
∴∠CFG=∠FGM+∠2=90°+∠40°=130°；
故答案为：130°．
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三．解答题
1．60°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
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2．答案见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
3．答案见解析
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB=AC=3，
由勾股定理得：BC=3，
∴AB=DC=3，AD=BC=3，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3=9．
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