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浙教版数学八年级下5.3正方形 教学设计
课题 平行四边形及其性质（1） 单元 第四章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 进一步加深对特殊与一般的认识，培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．
能力目标 经历探索正方形有关判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系
知识目标 掌握正方形的概念，正方形的判定
重点 正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
菱形的判定方法
如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（ A ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
我们来观察下面这个两个图形
有一个角是直角的菱形是什么图形？
我们来观察下面这个两个图形
有一对邻边相等的矩形是什么图形？
什么是正方形？
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．
我们可以得到哪些正方形的判定定理呢？
(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）
定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形。
菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形。
矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形。
练习1： 与老师一起一步步探究新知，得出结论 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
由此可见，正方形既是轴对称图形也是中心对称图形
且正方形有4条对称轴
例: 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：四边形CFDE是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°,而∠ACB=90°
∴ 四边形ABCD为矩形.
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF.
例2: 如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，求证：四边形EFGH是正方形。
1、判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（ √ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ × ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形 （ √ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形 （ √ ）
2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
3、正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为2 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE．
（1）求证：CE=AD.
（2）当 D 在 AB 中点时，四
边形 BECD 是什么特殊四边
形？说明你的理由.
（3）若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由．
分析：（1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB．∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形 ADEC 是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）解：四边形 BECD 是菱形.
理由如下：∵D 为 AB中点，∴AD=BD．
∵CE=AD，∴BD=CE．
∵BD∥CE，
∴四边形 BECD 是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D 为 AB中点，
∴CD=BD．∴四边形 BECD 是菱形．
（3）解：当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形.
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°．∴AC=BC．
∵D 为 BA 中点，∴CD⊥AB．∴∠CDB=90°．
又∵四边形 BECD 是菱形，∴菱形 BECD 是正方形.
∴当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形． 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形。
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形
课后作业 课本p127第2、3题
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正方形
——第一课时
新浙教版 八年级下
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教学目标
课前回顾
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法
教学目标
课前回顾
如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
A
B
C
D
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5
A
教学目标
探究1
我们来观察下面这个两个图形
有一个角是直角的菱形是什么图形？
教学目标
探究1
我们来观察下面这个两个图形
有一对邻边相等的矩形是什么图形？
A
B
C
D
A
B
教学目标
总结
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
什么是正方形？
教学目标
总结
(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）
有一组邻边相等且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形。
定义法
菱形法
矩形法
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
我们可以得到哪些正方形的判定定理呢？
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
总结
教学目标
练一练
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
完成下图：
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
有四条对称轴
教学目标
探究2
菱形和矩形都有对称性，我们来研究一下正方形的对称性吧！
且正方形有4条对称轴
总结
由此可见，正方形既是轴对称图形也是中心对称图形
教学目标
典例精讲
例1: 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：四边形CFDE是正方形。
教学目标
典例精讲
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°,而∠ACB=90°
∴ 四边形ABCD为矩形.
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF.
∴四边形ABCD是正方形.
教学目标
典例精讲
例2: 如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，求证：四边形EFGH是正方形。
教学目标
典例精讲
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形 （ ）
教学目标
达标测评
√
√
√
×
1、判断题:
教学目标
达标测评
2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
D
教学目标
达标测评
3、正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为
2
A
B
C
D
O
E
教学目标
应用提高
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE．
（1）求证：CE=AD.
（2）当 D 在 AB 中点时，四
边形 BECD 是什么特殊四边
形？说明你的理由.
（3）若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由．
教学目标
分析
分析：（1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB．∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形 ADEC 是平行四边形．
∴CE=AD．
教学目标
解答
教学目标
应用提高
（2）解：四边形 BECD 是菱形.
理由如下：∵D 为 AB中点，∴AD=BD．
∵CE=AD，∴BD=CE．
∵BD∥CE，
∴四边形 BECD 是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D 为 AB中点，
∴CD=BD．∴四边形 BECD 是菱形．
（3）解：当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形.
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°．∴AC=BC．
∵D 为 BA 中点， ∴CD⊥AB．∴∠CDB=90°．
又∵四边形 BECD 是菱形，∴菱形 BECD 是正方形.
∴当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形．
教学目标
应用提高
教学目标
体验收获
正方形常用的判定方法：
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形。
教学目标
课后作业
课本P127页第2、3页
谢 谢！
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5.3.1正方形的性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1、下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3、、如图，边长为(m＋3)的正方形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
4、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题
1、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，
则∠DEC=_______
( http: / / www.21cnjy.com )
2、(1)如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为________．21cnjy.com
3．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝________，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝_______________. www.21-cn-jy.com
三、解答题
1、在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
( http: / / www.21cnjy.com )
2、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明。 版权所有21·cn·jy·com
3、如图，四边形ABCD是正方形，G是B ( http: / / www.21cnjy.com )C上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．【来源：21·世纪·教育·网】
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4、已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形．
5.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE,EF垂直AC交BC 于F,求证EC=EF=FB21教育网
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6、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.21·世纪*教育网
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参考答案
一、选择题
1、D
【解析】
当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形
2、C
【解析】 连结AC，可证得△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC的度数为45°.
3、A
【解析】
设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3.
4．D
【解析】根据矩形的性质，△CDA、△BAD ( http: / / www.21cnjy.com )、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个，故选择D.2·1·c·n·j·y
二、填空题
1、30°．
【解析】△ABE为等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°2-1-c-n-j-y
答案：30°
2、55°
【解析】
本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝90－x＋20，∴x＝55°.21*cnjy*com
3、∠EDC=150 ∠BEG＝450
【解析】∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，
∴∠BCE=∠BEC=（180°-30°）=75°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；
由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，
∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°．
故答案为：15°；45°．
三、解答题
1、证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE，
∴△BCH≌△DCE，
∴BH＝DE
(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°，
∴BH⊥DE
2、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.
3、解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．
4、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形．
5、证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
AE＝AB
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC．
6、解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1） ∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M
∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90°
∴∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
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