21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版数学八年级下5.3正方形 教学设计
课题 平行四边形及其性质（1） 单元 第四章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 在探索正方形性质过程中，获取成功的体验，增强学习数学的兴趣.
能力目标 利用正方形的定义，探索正方形的性质，进一步增强学生的逻辑推理能力，锻炼分析问题
知识目标 了解正方形的性质，能利用正方形的性质解决实际问题.
重点 正方形的性质.
难点 运用正方形解决实际问题.
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
由正方形的定义可知：
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质.
所以，正方形的性质应该有些什么？
正方形性质:
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线： 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
1.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为 4
2、正方形对角线长6 ，则它的面积为36 ，周长为 24。
已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF
求证：AG=EF
提示：连接CG，下面怎么证明呢？试着证明一下.
证明：如图，连结CG
在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG
（正方形的对角线平分一组对角）
DG=DG, AD=CD
（正方形的四条边相等）
∴△AGD≌△CGD
∴ AG=CG
∵ GE⊥CD, GF⊥BC
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
又∵ ∠BCD =90°
∴ 四边形FCEG是矩形
（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴ EF=CG
（矩形的两条对角线相等）
∴ AG=EF例2：在正方形ABCD中，M是正方形内的一点，且MC=MD=AD,求∠BAM的度数？例3：已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点，求证：四边形EFGH是正方形。证明：连接AC、BD，∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，在△ABC中，F. G分别是AB、BC的中点，故可得：FG=12AC,同理EH=12AC,GH=12BD,EF=12BD，在四边形ABCD中，AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。在△ABD中，E. H分别是AD、CD的中点，则EH∥AC，同理GH∥BD，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH是正方形。
1. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ C ）
A．10° B．12.5°
C．15° D．20°
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3、如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 AE=BF．求证：CE=DF．
分析：根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出 BE=CF，再利用“SAS”证明△BCE≌△CDF，从而 CF=DF．
证明：在正方形 ABCD 中，
AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°.
∵AE=BF，
∴AB-AE=BC-BF，即 BE=CF.
在△BCE 和△CDF 中，BC=CD，
∠B=∠BCD=90°，BE=CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS）.
∴CE=DF． 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想。
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴OC＝OD , ∠COD=∠COB=90°
∠1＝∠BCO＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠BCO＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON
∴△COM≌△DON(SAS)
（2）由△COM≌△DON得∠2=∠3
又∠3+∠CMO=90°
∴∠2+∠CMO=90°
∴∠DHM=90°
中点四边形
顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形会是什么呢？
顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是__平行四边形？_
连接AC,∵E 、F、 G、 H是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF、GH是中位线，
∴EF AC 、GH AC
∴EF GH
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是__菱形____
顺次连结菱形各边中点构成的四边形是__矩形____
这是因为正方形兼具矩形和菱形的特点,顺次连接正方形四边的中点,得到的平行四边形既是菱形又是矩形,所以得到的是正方形.
(1) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是___菱形_______
(2) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是___矩形____
(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是___正方形____ 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
定理1:
正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
定理2:
正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
课后作业 课本p129第2、3题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
正方形——第二课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1、下列命题中，真命题是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2、如图，矩形ABCD中，AB>AD，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝a，AN平分∠DAB.DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，则DM＋CN的值为(用含有a的代数式表示)( )21·世纪*教育网
A．a B.a C.a D.a
3、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )【出处：21教育名师】
A．30 B．34 C．36 D．40
填空题
1、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与 ( http: / / www.21cnjy.com )点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为________度．21教育名师原创作品
2、正方形OA1B1C1、 ( http: / / www.21cnjy.com )A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为______________．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
3、 如图，正方形ABCD的边长为1， ( http: / / www.21cnjy.com )以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． 2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21世纪教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
2、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点. 21*cnjy*com
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
3、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
4、如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
5、如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.21世纪教育网版权所有
(1)求证：AF＝CE；
(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
6、如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1、C
【解析】
注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，B错在等腰梯形不是中心对称图形，D错在结论应是互相平行．21教育网
2、C
【解析】 设AN与DC交于点P，可证DM＝PM，CN＝PN.设DM＝x，则CN＝PN＝a－x，∴DM＋CN＝a.21·cn·jy·com
3、B
【解析】
与∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3个．
4.B
【解析】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4××5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2，选B．【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
1、125．
【解析】
∵在矩形ABCD中，∠ABE＝20 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∴∠AEB＝70°.∵点D与点B重合，∴∠BEF＝∠DEF＝＝55°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝55°.∴∠EFC＝180°－55°＝125°.∵点C的对应点是C′，∴∠EFC′＝125°.【版权所有：21教育】
2、7.Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的坐标是（0，1），A ( http: / / www.21cnjy.com )2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
由图知，An的纵坐标与Bn的纵坐标相等，
B3的横坐标为1+2+4=7
∴Bn的横坐标为2n-1
则Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)21*cnjy*com
3、
【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
三、解答题
1、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
2、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.
3、解：(1)四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
又在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
(2)连结OE.由菱形OCED得CD⊥OE，
∴OE∥BC，又CE∥BD，
∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8，
∴S四边形OCED＝OE·CD＝×8×6＝24.
4、解：(1)在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.
(2)由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
5、证明：(1)在△ADF和△CDE中，∵A ( http: / / www.21cnjy.com )F∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.21cnjy.com
(2)若AC＝EF，则四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形．2·1·c·n·j·y
6、解：(1)在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA＝∠CAB.∵∠EDC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠EDC，∴AC∥DE.www-2-1-cnjy-com
(2)四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC＝90°，BF⊥AC，可得∠AFB＝∠DEC＝90°，
又∠EDC＝∠CAB，AB＝CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE＝AF，由(1)得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD＝EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共33张PPT)
正方形
——第二课时
新浙教版 八年级下
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
教学目标
课前回顾
正方形的判定方法
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
教学目标
新课讲授
由正方形的定义可知：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
正方形的性质=
菱形的性质+矩形的性质.
正方形性质:
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
教学目标
总结
对角线： 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角。
A
B
D
C
O
所以，正方形的性质应该有些什么？
教学目标
探究1
怎么样判断一个图形是正方形呢？
通过上面的探究活动，我们可以发现：
要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。
教学目标
练一练
1.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为
4
2、正方形对角线长6 ，则它的面积为 ，周长为 。
36
24
教学目标
典例精讲
例1：已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF
求证：AG=EF
提示：连接CG，下面怎么证明呢？试着证明一下.
教学目标
典例精讲
∵ GE⊥CD, GF⊥BC
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
（有三个角是直角的四边形是矩形）
又∵ ∠BCD =90°
∴ AG=CG
∴ 四边形FCEG是矩形
证明：如图，连结CG
在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG
（正方形的对角线平分一组对角）
DG=DG, AD=CD
（正方形的四条边相等）
∴△AGD≌△CGD
∴ AG=EF
∴ EF=CG
（矩形的两条对角线相等）
教学目标
典例精讲
例2：在正方形ABCD中，M是正方形内的一点，且MC=MD=AD,求∠BAM的度数？
教学目标
典例精讲
教学目标
典例精讲
例3：已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点，求证：四边形EFGH是正方形。
教学目标
典例精讲
证明：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD，AC⊥BD，
在△ABC中，F. G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG= AC,同理
EH= AC,GH= BD,EF= BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形。
在△ABD中，E. H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形。
教学目标
典例精讲
性 质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行 四边形
矩 形
菱 形
正方形
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
1. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5°
C．15° D．20°
C
教学目标
达标测评
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
教学目标
达标测评
3、如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且 AE=BF．求证：CE=DF．
分析：根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出 BE=CF，再利用“SAS”证明△BCE≌△CDF，从而 CF=DF．
教学目标
达标测评
证明：在正方形 ABCD 中，
AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°.
∵AE=BF，
∴AB-AE=BC-BF，即 BE=CF.
在△BCE 和△CDF 中，BC=CD，
∠B=∠BCD=90°，BE=CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS）.
∴CE=DF．
教学目标
达标测评
教学目标
应用提高
已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想。
N
M
O
D
C
B
A
⌒
1
⌒
2
H
⌒
3
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠BCO＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴OC＝OD , ∠COD=∠COB=90°
∠1＝∠BCO＝45°
∴△COM≌△DON(SAS)
∴DN＝MC
答：DN＝MC DN⊥MC
教学目标
应用提高
（2）由△COM≌△DON得∠2=∠3
又∠3+∠CMO=90°
∴∠2+∠CMO=90°
∴∠DHM=90°
∴DN⊥MC
教学目标
应用提高
N
M
O
D
C
B
A
⌒
1
⌒
2
H
⌒
3
教学目标
拓展提高
中点四边形
顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形会是什么呢？
我们来一起画几个四边形探究一下
E
F
G
H
A
C
D
顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________
教学目标
探究2
平行四边形？
拓展提高
连接AC,∵E 、F、 G、 H是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF、GH是中位线，
∴EF AC 、GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形
教学目标
证明
教学目标
探究2
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是______
菱形
A
B
C
H
D
E
F
G
菱形
拓展提高
教学目标
探究2
顺次连结菱形各边中点构成的四边形是______
矩形
D
B
C
A
D
E
F
G
矩形
拓展提高
教学目标
探究2
顺次连结正方形各边中点构成的四边形是______
正方形
这是因为正方形兼具矩形和菱形的特点,顺次连接正方形四边的中点,得到的平行四边形既是菱形又是矩形,所以得到的是正方形.
拓展提高
(1) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________
(2) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______
(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______
通过上边的探究，我们可以发现中点四边形的形状都与什么线段有关？
教学目标
总结
菱形
矩形
正方形
教学目标
体验收获
定理1:
正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
定理2:
正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
教学目标
课后作业
课本P129页第2、3页
谢 谢！
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
有大把优质资料？一线名师？一线教研员？赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/
