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二次根式的运算
——第二课时
新浙教版 八年级下
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教学目标
课前回顾
二次根式与二次根式相乘，等于各被开数的积的算术平方根。
（a ≥0 ， b≥0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数
化简 (1) (2)
我们把 看作系数,每一项所含的二次根
式相同( ),化简过程就和合并同类项的方法一样.
教学目标
新课探究
教学目标
新课探究
所以，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
二次根式除了乘除运算，可不可以进行加减运算呢？
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
乘法交换律
乘法法则
完全平方公式
教学目标
新课探究
计算下列式子，看看它们都用了哪些运算法则？
（4） =4 ；
（5） =6－1=5 ；
（6） =2+3=5 ；
平方差公式
乘法分配律
分配律、除法法则
教学目标
典型例题
化简：
例1
解：
教学目标
典型例题
计算：
例2
解：
教学目标
典型例题
计算：
例3
解：
教学目标
牛刀小试
教学目标
牛刀小试
教学目标
典型例题
乘法公式在二次根式混合运算中的应用
如图,扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=
m，BC= CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经 过的总路程是多少米（要求先化简，再 取近似值.结果精确到0.01m)
例4
教学目标
典型例题
在Rt△AEB中，AE= m，BE= ÷0.8= （m），
∴AB= （m）.
在Rt△CFD中，DF= ×1.6=3（m）
∴CD= （m）.
解：
而BC= CD= m, ∴AB+BC+CD=
（m）.
答：这个男孩经过的总路程约为7.71m.
在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形的边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算。
教学目标
总结
例5：如左下图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40㎝。将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。
（1）分别求出3张长方形纸条的长度；
（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右下图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少㎝ ？
教学目标
典型例题
（1）解：在Rt△ABC，AC=BC=40（cm）
∴AB=
∵ AC=BC ，CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ）
∴AD=DB
∵ CO=
cm
∴EF=2CO=
cm
同理可得 GH=2CP=
cm
MN=2CQ=
cm
∴CD= AB=
cm
C
E
D
B
A
G
O
F
H
M
N
P
Q
教学目标
典型例题
解：由于三张纸条的连接在一起的总长度为：
∴给这幅作品所镶的边框，可以看作由4张宽为 cm，长为 cm 的彩色纸条围成。
答：这幅作品的面积最大不能超过200cm2
∴正方形的边长=
正方形的面积=
教学目标
典型例题
教学目标
牛刀小试
一名自行车极限运动爱好者准备从点A处骑到点B处。
若斜坡AB的坡比(即斜坡上A,B两点之间的垂直距离BE与水平距离AE的比值)为1:0.8，AE=1.5米，该爱好者从点A处骑到点B处后升高了多少米？他通过的路程是多少米？
B
A
E
1.5米
教学目标
解答
1、二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
教学目标
总结
2. 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，先
乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
在进行二次根式的混合运算时，实数的运算律和运算
顺序都适用，乘法公式也同样适用。
注意：①原来学习的运算律仍然适用； ②原来学习的乘
法公式仍然适用； ③运算的结果可能是二次根式，也可
能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式.
教学目标
总结
教学目标
达标测评
我们可以先把每一个二次根式化简：
于是我们得到：二次根式的加减运算:1.把算式中的每一个二次根式先化成最简二次根式；2.合并同类二次根式。
教学目标
达标测评
教学目标
达标测评
3.下列二次根式中，可与 合并的二次根式是（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
4.下列各式中，计算正确的是（ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
1
3
4
)
(
7
7
7
3
2
3
2
5
3
2
=
-
-
=
-
=
+
=
+
x
x
b
a
b
a
教学目标
应用提高
比较根式的大小.
解:
13
7
14
6
+
+
14
6
+
=
（ ）
2
6+2 +14=20+2
√
84
√
84
∵
（ ）
13
7
+
2
=
20+2
91
0
14
6
+
0
13
7
+
又
∵
教学目标
课后作业
课本P19页第2、3页
谢 谢！
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浙教版数学八年级下1.2二次根式的运算(2) 教学设计
课题 二次根式的运算 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心.
能力目标 经历探索二次根式加减法法则的过程，发展观察、归纳猜想、验证能力.
知识目标 理解，，并运用他们进行化简计算.
重点 重点：，
难点 难点：发现规律，推导，
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
所以，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
探究1
典题精讲 在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形的边长计算的问题时，经常用到二次根式及其运算。例5：如左下图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40㎝。将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度；（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右下图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少㎝ ？. 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，先 乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． 在进行二次根式的混合运算时，实数的运算律和运算 顺序都适用，乘法公式也同样适用。注意：①原来学习的运算律仍然适用； ②原来学习的乘法公式仍然适用； ③运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式. 与老师一起一步步探究新知，得出结论 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
达标测评 2.一名自行车极限运动爱好者准备从点A处骑到点B处。 若斜坡AB的坡比(即斜坡上A,B两点之间的垂直距离BE与水平距离AE的比值)为1:0.8，AE=1.5米，该爱好者从点A处骑到点B处后升高了多少米？他通过的路程是多少米？ 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
应用提高 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
课后作业 课本p19第2、3题 练习 练习巩固
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二次根式的运算——第二课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1、计算 的结果是 （ ）
A. 6 B. C. D.12
2、计算的结果是（ ）
A.＋1 B. C.1 D.-1
3. .若，0＜x＜1，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．±
4、如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积. 然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（ ）
A. B. C. D.
填空题
1、，其中a、b为实数，则 .
2、不等式的解是 .
3．如图，等腰直角△ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰，做第一个等腰直角△ADE；再以所做的第一个等腰直角△ADE的斜边上的高AF为腰，做第二个等腰直角△AFG；……以此类推，这样所做的第个等腰直角三角形的腰长为 ．
三、计算题
(1)×＋÷－.
(2)×－4××(1－)0.
(3)＋－－＋.
(4)(2－)2015(2＋)2016－2×－(－)0.
(5)(2－)－1－(＋1)＋(3＋)0.
(6)(－1－)(－＋1)．
(7)(2＋7)2－(2－7)2.
(8)÷(－2)．
四、应用题
1．如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
2、阅读下列解题过程
.
.
请回答下列问题
(1)观察上面解题过程，请直接写出的结果为______________________.
(2)利用上面所提供的解法,请化简：
的值.
(3)不计算近似值, 试比较与的大小, 并说明理由.
参考答案
一、选择题
1、D
【解析】解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝
2、A
【解析】解析：原式= .[]
3、A
【解析】，由于0＜x＜1，故，即
4.B
【解析】=4++
∵1.42=1.96,1.422=2.0164,2.32=5.29,2.222=4.9284，
∴1.4＜＜1.42 2.22＜＜2.3
∴4+1.4+2.22＜4++＜4+1.42+2.3
即7.62＜4++＜7.72
即结果在7至8之间
二、填空题
1、3
【解析】原式＝.
2、x<
【解析】不等式两边同除以得，x<.
3、 48 32
【解析】=8×6=48
=8×4=32
4、【解析】等腰直角三角形中直角边是斜边的 ，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的 倍，以此类推，便可求得第 个等腰直角三角形的腰长.
计算题
(1) 【解】 原式＝＋－4
＝2＋－4＝－2＋2.
(2) 【解】 原式＝－4××1
＝－4××＝－.
（3）【解】 原式＝3＋2－3－4＋－
＝－2.
（4）【解】 原式＝[(2－)(2＋)]2015(2＋)－ －1
＝2＋－－1＝1.
(5) 【解】 原式＝－(2＋1)＋1
＝－2－1＋1
＝2＋－2－1＋1＝2－.
(6) 【解】 原式＝(－－1)(－＋1)
＝(－)2－12＝5－1＝4.
(7) 【解】 原式＝(2＋7＋2－7)×(2＋7－2＋7)
＝4×14＝56.
(8) 【解】 原式＝÷(3－6)
＝
＝
＝
＝＝－.
四、应用题
1．【解】 设x(s)后△PBQ的面积为35cm2，则PB＝x，BQ＝2x.
由题意，得x·2x＝35，
解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)．
∴PQ＝＝＝＝＝5(cm)．
答： s后△PBQ的面积为35cm2，此时PQ的长为5 cm.
2、分析：对于(1)，注意到，因此；对于(2)，可依次取n=2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.
解：(1)；
(2)
(3)；
.
∵, ∴, ∴>.
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