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课题： 反比例函数
教学目标：
1、知识与技能目标：
1. 理解反比例函数的定义；
2. 能准确的判断一个函数是否为反比例函数；
3. 能够准确的求出反比例函数的表达式；
4. 能运用反比例函数解决实际问题。
二、过程与方法目标：
经历探索求解反比例函数表达式的过程，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
三、情感态度与价值观目标：
体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点：
1. 理解反比例函数的定义；
2. 能准确的判断一个函数是否为反比例函数；
3. 实际问题求反比例函数的解析式利。
难点：实际问题求反比例函数的解析式。
教学流程：
1、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了函数的概念，现在我们一起回忆一下相关概念。
函数是指：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x是自变量。21·cn·jy·com
那么我们一起再来回忆一下反比例关系？什么是反比例关系呢？反比例关系是指：两个变量的积是一个不为零的常数，则称这两个变量成反比例.www-2-1-cnjy-com
那么如果函数跟反比例关系结合起来，这会成什么函数关系呢？今天我们就一起来探索，当函数和反比例关系都满足时候，成了什么函数。2-1-c-n-j-y
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
2、 活动探究
同学们，我们首先探究一下以下几种情况：
探究①小明同学家离学校 2km.小明每天 ( http: / / www.21cnjy.com )骑自行车上学， 问：他骑车的速度V(km/h)和他骑车所需的时间t(h)有怎样的数量关系？（列算式）21*cnjy*com
大家先看下这个例子，例子里有多少个未知数，我们应该如何列方程的呢？
学生活动：看例子并思考问题。
发现这里有一个未知数，于是我们根据“∵速度=路程÷时间”，可得： ，V和t的积为2，V和t成反比例。【来源：21·世纪·教育·网】
探究② 北京到杭州铁路线长为1161 km.一列从北京开往杭州火车，全程行驶时间为x(h)，行驶平均速度为：y(km/h). 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）完成下表；
（2）在表格最后写出x和y的关系式.
大家继续看这个例子，思考这里未知数的关系，而又该列怎样的方程？
学生活动：看例子思考回答问题。
同学们，根据“速度=路程÷时间”，我们可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得到“ ”，我们将表里的数据带入之后，可以依次得到值： ， ， ， ， .
探究③ 下表是测量质量都是100g的金 ( http: / / www.21cnjy.com )、铜、铁、铝四种金属块的体积v(cm )的结果，ρ(g/cm3)表示金属块的密度. 已知锌的密度是7.14g/cm3,金的密度是19.30g/cm3.完成下表.
我们根据“密度=质量÷体积 ( http: / / www.21cnjy.com )”，可以得到 ，这里ρ和v的积为100，ρ和V成反比例。我们将表里的数据带入之后，可以依次得到值： ， ， ， .
探究结果：
根据我们刚刚的探究过程，大家观察 ，想一想它们有什么共同点？【版权所有：21教育】
观察后，我们发现，这些方程都有一个共同点，他们都有两个变量；变量成函数关系；两变量之积≠0，成反比例.21教育名师原创作品
【设计意图】通过探究问题，让学生探索反比例函数的定义，让学生自己总结出来新的知识点，培养学生的归纳和总结的能力。21*cnjy*com
3、 讲授新知
像刚刚的式子，把函数 （k为常数，k≠0)叫做反比例函数.
x:自变量，y:是x的函数（因变量），k:比例系数。
【设计意图】讲授新课，让学生更好的接受和理解这节课的内容。
4、 例题讲解
例1：下列y关于x函数中，哪些是反比例函数？若是，指出它的比例系数和自变量的取值范围.
1 ② ③ ④
对于①，x和y不为反比例关系，不为反比例函数；
对于②，是；
对于③，是；
对于④，不是反比例关系，不是反比例函数。
对于反比例函数而言，自变量的取值范围为：x≠0.
例2：如图，阻力为1 000 ( http: / / www.21cnjy.com ) N，阻力臂长为5cm. 设动力为 y(N)，动力臂长x(cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计. 杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂).
(1)求y关于x的函数表达式. 这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数.
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义.
(3)利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n (n>1)倍时，所需动力将怎样变化？
解：(1)根据题意，得：y × x=1 000×5， 所以所求函
数的表达式为 y= .
这个函数是反比例函数，比例系数是5 000.
(2)当 x=50 时，
这个函数值的实际意义是，当动力臂长为50cm 时，所需动力为100N.
(3)设原来的动力臂长为d(cm)，动力为y1(N)；扩大
后的动力臂长为 nd (cm)(n>1)，动力为 y2(N).
将x=d，x=nd分别代入
得
∴
所以当动力臂扩大到原来的n倍是，所需动力缩小到原来的
【小结】
1. 判断一个函数为反比例函数的条件：
1 数表达式形如y＝ 或y＝kx－1或xy＝k的等式.
2 比例系数k是常数，且k≠0
2. 反比例函数y＝ 的取值范围：
3 比例系数：k≠0；
4 自变量：x≠0.
【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。
5、 导入新课
求一次函数的表达式时，我们一般常用的方法：待定系数法.，那么对于反比例函数呢？我们怎么求它的表达式呢？21·世纪*教育网
6、 讲授新课
求反比例函数的表达式：
确定反比例函数表达式y＝ (k≠0)中比例系数k的值. 如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以求出比例系数k，然后写出所求的反比例函数.【出处：21教育名师】
【设计意图】讲授新课，让学生更好的接受和理解这节课的内容。
7、 例题讲解
例3：已知：y 是关于 x 的反比例函数，当 x =0.3时，y = －6. 求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.21教育网
解：∵ y 是关于 x 的反比例函数，
∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).
将 x =0.3，y = －6代入 y = ，得
解得 k =－1.8.
所以所求的函数表达式为 y = ，自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.
例4：一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮.设选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过的电流强度为I(A).www.21-cn-jy.com
(1)若电阻为30 Ω，通过的电流强度为0.40 A，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义.
(2)如果电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
解：(1)在题设条件下，电压U是不为零的常数. 由欧姆定律知，I与R成反比例，设I=
由题意知，当R=30 Ω时，I=0.40 A，
∴0.40=
∴U=0.40 ×30=12(V).
所以所求的函数表达式为I= .比例系数是12，在本题的实际意义是指汽车前灯的电压为12 V.
(2)设电阻 R' >30 Ω，此时通过电灯泡的电流强度I' =
∵ R' >30 ，
∴ ，即I' <0.40.
也就是说，当电阻大于30 Ω时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗.
例5：已知y＝(a 2)xa 5是反比例函数，则a的值为多少？
解：∵y＝(a 2)xa 5是反比例函数，
∴a2-5=-1，且a-2≠0，
解得，a=-2.
【小结】
用待定系数法确定反比例函数表达式的“四步骤”：
(1)设：设反比例函数的表达式为y＝ ；
(2)列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝ ，得到关于k的方程；
(3)解：解方程，求出k的值；
(4)代：将求出的k的值代入所设表达式中，即得到所求反比例函数的表达式．
【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。
8、 巩固提升
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( ).
①y＝2x－1； ② y＝－ ；
③y＝ ； ④ y＝
解：①为一次函数关系，不是反比例函数；②是；
③不是反比例关系，不是反比例函数；④是。
2.水池中蓄水90m2，现用放水管以x（m3/h）的速度排水，经过y（h）排空，求y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？21cnjy.com
解：由题意得：
∵x和y的积为90，x和y成反比例关系
∴y是x的反比例函数.
3.已知y=y1+y2,y1与x- ( http: / / www.21cnjy.com )1成正比例，y2与x成反比例，且 当x=2时y=4;x=3时y=6.求x=4时，y的值.已知反比例函数 ；2·1·c·n·j·y
解：∵ y1与x-1成正比例、y2与x成反比例
∴1=k1(x-1)、y2
∴y=k1(x-1)+
∵当x=2时y=4;x=3时y=6
得到：4k1(2-1)+
k1(3-1)+
解得k1=
∴y(x-1)+
当x=4时, y(4-1)+=
4.已知：y 是关于 x 的反比例函数，当 x =-0.75时，y = 2. 求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.21世纪教育网版权所有
解：∵ y 是关于 x 的反比例函数，
∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).
将 x =-0.75，y = 2代入 y = ，得
解得 .
∴所求的函数表达式为 ；自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.
5..如图:利用一面长为80m的砖 ( http: / / www.21cnjy.com )墙,用篱笆围成一个靠墙的矩形园子,园子的预定面积为180m ,设园子平行于墙方向的一边的长度为x(m),与之相邻的的另一边为y(m).
(1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)若要求围成的园子平行于墙面的一边长度不小于墙的 / ，求与之相邻的另一边长的取值范围.
解：（1）∵园子面积预定为180m
∴xy=180
∵砖墙为80
∴x不得大于80,且也不能小于0
∴xy=180(0(2)∵要求x不小于墙的 ，即x≥80×=
∴结合(1),可得:又∵xy=180
∴x=
∴<≤80
解得：1≤y≤
【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
9、 小结
本节课我们学习了反比例函数的相关知识，现在我们一起再来回忆一遍：
1. 定义：形如y= (k为常数，k≠0)，称y是x的反比例函数.
2. 求表达式方法：待定系数法
1 设：设表达式为y＝ ；
2 列：列关于k的方程；
3 解：解方程，求出k的值；
4 代：将求出的k的值代入所设表达式中.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
10、 布置作业
教材141页习题第4、5题。
教材143页习题第2、3、4题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。
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反比例函数
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数 （ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝+2 D．y＝
2．若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y与x之间的关系是( )
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．其他
3如果反比例函数 的图象经过点（-1，-2），则k的值是（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
4． 下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系
B．体积一定时，物体的质量与密度的关系
C．质量一定时，物体的体积与密度的关系
D．长方形的长一定时，它的周长与宽的关系
二、填空题(每题4分，共20分)
5．反比例函数y＝=中自变量x的取值范围为 .
6. 反比例函数y=x-1，当x=-10时y = .-2
7．计划修建铁路lkm，铺轨天数为t（d），每日铺轨量s（km/d），则在下列三个结论中，正确的是（ ）21教育网
①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当l一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
8．小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x成反反比例函数，表达式为 .21·cn·jy·com
3、简答题（每题20分，共60分）
9. 已知反比例函数.
（1）说出这个函数的比例系数；
（2）求当x=-10时函数y的值；
（3）求当y=6时自变量x的值．根据题意列出方程：
10. 若函数y=（m+1）xm +3m+1是反比例函数，求m的值．
11. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x -2 -1 -0.5 0.5 1 3
y 2 -1
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表．
参考答案
1、 选择题
1. D
【解析】根据反比例函数的定义，y＝，可以发现A选择是x ，不是x，错误；B选项x和y的形式不像定义式，错误；C选项多了常数项2，错误；D选项，比例系数为-1，正确.21cnjy.com
2. D
【解析】y与x－2成反比例
∴可得：y＝
∵当x＝－1时，y＝3
∴3＝，解得k=-9.所以解析式为：y＝.
可以看出x和y不成正比例函数，也不成反比例函数和一次函数。选D.
3. C
代入得
-2=
-2=-k+1
k=3故选D
【解析】A、匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系不是反比例函数，故错误；
B、体积一定时，物体的质量与密度的关系不是反比例函数，故错误；
C、质量一定时，物体的体积与密度的关系是反比例函数，故正确；
D、长方形的长一定时，它的周长与宽的关系不是反比例函数，故错误；
故选C.
二、填空题
5.x≠0
【解析】∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
6.
【解析】y=x-1
当x=-10时,带入方程得：y=(-10)-1 =
故答案为：
7.①
【解析】根据工作总量=工作效率×时间，整理为反比例函数的一般形式t=
∵l=ts
∴t=
∵反比例函数解析式的一般形式t=
∴当l一定时，t是s的反比例函数；
只有①正确.
8.
【解析】∵总页数300一定，
∴所需的天数y与平均每天看的页数x成反比例函数，
表达式为.
2、 简答题
9.解:（1）原式.，比例系数为；
（2）当x=-10时，原式；
（3）当y=6时，，解得x=．
10.解：由函数y=（m+3）x m ( http: / / www.21cnjy.com ) +3m+1为反比例函数可知m2+3m+1=-1，且m+1≠0
解得m=-1（舍去），m=-2，
m的值是-2．21世纪教育网版权所有
11.解：（1）设反比例函数的表达式为y=，把x=-1，y=2代入y=,
得k=-2，y=-．
（2）将y=代入得：x=-3；
将x=-2代入得：y=1；
将x=-0.5代入得：y=4；
将x=0.5代入得：y=-4，
将x=1代入得：y=-2；
将y=-1代入得：x=2，
将x=3代入得：y=-．
故答案为：-3；1；4；-4；-2；2；-．
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反比例函数
数学zj版 八年级下
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教学目标
课前回顾
函数
1.定义：
在一个变化过程中有（ ），如果对于x的每一个值，y都有（ ）的值与它对应，那么就说y是x的函数， x是（ ）.
2.反比例关系：
两个变量x和y
唯一
自变量
两个变量的（ ）是一个（ ）的常数，则称这两个变量成反比例.
积
不为零
教学目标
活动探究
解：
V和t的积为2，V和t成反比例
1.小明同学家离学校 2km.小明每天骑自行车上学， 问：他骑车的速度V(km/h)和他骑车所需的时间t(h)有怎样的数量关系？（列算式）
∵速度=路程÷时间
教学目标
活动探究
2.北京到杭州铁路线长为1161 km.一列从北京开往杭州火车，全程行驶时间为x(h)，行驶平均速度为：y(km/h).
（1）完成下表；
（2）在表格最后写出x和y的关系式.
x(h) 12 15 17 22 关系式
y(km/h) 87.4
速度=路程÷时间.
x和y的积为1661，x和y成反比例
教学目标
活动探究
金属 相关量 金 铜 铁 锌 铝 关系式
V(cm3) 5.18 11.21 12.82 35.84
ρ(g/cm3) 19.30 7.14 3.下表是测量质量都是100g的金、铜、铁、铝四种金属块的体积v(cm )的结果，ρ(g/cm3)表示金属块的密度. 已知锌的密度是7.14g/cm3,金的密度是19.30g/cm3.
完成下表.
密度=质量÷体积
ρ和v的积为100，ρ和V成反比例
观察 ,想一想它们有什么共同点？
共同点：
变量成函数关系；
都有两个变量；
两变量之积≠0，成反比例.
教学目标
探究结果
教学目标
新课讲解
反比例函数的定义：
把函数 （k为常数，k≠0)叫做反比例函数.
x:自变量
y:是x的函数（因变量）
k:比例系数
① ②
③ ④
不是
是.
是.
不是
例1：下列y关于x函数中，哪些是反比例函数？若是，指出它的比例系数和自变量的取值范围.
x≠0
对于函数， 自变量x的取值范围是 .
x和y不为反比例关系
x和y积为-5,为反比例关系
x和y不为反比例关系
x和y积为 ,为反比例关系
教学目标
例题讲解
例2：如图，阻力为1 000 N，阻力臂长为5cm. 设动力为 y(N)，动力臂长x(cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计. 杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂).
教学目标
例题讲解
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义.
∴实际意义是，当动力臂长为50cm时，所需动力为100N.
∵当 x=50 时，
(1)求y关于x的函数表达式. 这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数.
解：根据题意，得：y × x=1 000×5
∴这个函数是反比例函数，比例系数是5 000.
∴所求函数的表达式为 y= .
(3)利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n (n>1)倍时，所需动力将怎样变化？
解：设原来的动力臂长为d(cm)，动力为y1(N)；扩大n后的动力臂长为 nd (cm)(n>1)，动力为 y2(N).
将x=d，x=nd分别代入
∴当动力臂扩大到原来的n倍，所需动力缩小到原来的
得
∴
反比例函数
1.判断一个函数为反比例函数的条件：
②比例系数k是常数，且k≠0
①比例系数：k≠0；
①函数表达式形如y＝ 或y＝kx－1或xy＝k的等式.
2.反比例函数y＝ 的取值范围：
②自变量：x≠0.
教学目标
小 结
求一次函数的表达式时，我们一般常用的方法：待定系数法.
对于求反比例函数的表达式，又怎么求呢？
教学目标
导入新课
教学目标
新课讲解
确定反比例函数表达式y＝ (k≠0)中比例系数k的值.
求反比例函数的表达式：
如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以求出比例系数k，然后写出所求的反比例函数.
例3：已知：y 是关于 x 的反比例函数，当 x =0.3时，y = －6. 求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.
教学目标
例题讲解
解：
∵ y 是关于 x 的反比例函数，
解得 k =-1.8.
自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.
∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).
将 x =0.3，y = －6代入 y = ，得
∴所求的函数表达式为 y = ；
例4：一辆汽车前灯电路上的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，灯就越亮.设选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过的电流强度为I(A).
教学目标
例题讲解
(1)若电阻为30 Ω，通过的电流强度为0.40 A，求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义.
比例系数是12；实际意义：汽车前灯的电压为12 V.
解：
由欧姆定律知，I=
∴当R=30 Ω时，I=0.40 A，0.40=
∴U=0.40 ×30=12(V).
∴函数表达式为I= .
(2)如果电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
∴当电阻大于30 Ω时，电流强度I变小，汽车前灯将变暗.
解：
设电阻 R' >30 Ω
则，此时通过电灯泡的电流强度I' =
∵ R' >30
∴ ，即I' <0.40.
例5：已知y＝(a 2)xa 5是反比例函数，则a的值为多少？
教学目标
例题讲解
由反比例函数的定义可知： a2-5=-1，且a-2≠0.
解：
解得，a=-2，
∵y＝(a 2)xa 5是反比例函数，
∴a2-5=-1，且a-2≠0，
即a的值为-2．
求反比例函数表达式
1. 设：设反比例函数的表达式为y＝ ；
3. 解：解方程，求出k的值；
2. 列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝ ，得到关 于k的方程；
4. 代：将求出的k的值代入所设表达式中，即得 到所求反比例函数的表达式．
教学目标
小 结
X和y不成反比关系
x和y的积为5，成反比例
x、y不成反比例
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( ).
x和y的积为0.5，成反比例
×
√
×
√
① y＝2x－1； ② y＝－ ；
③ y＝ ； ④ y＝
②④
教学目标
巩固提升
∵x和y的积为90，x和y成反比例关系
∴y是x的反比例函数
2.水池中蓄水90m2，现用放水管以x（m3/h）的速度排水，经过y（h）排空，求y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
教学目标
巩固提升
解：
由题意得：
教学目标
巩固提升
3.已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例，y2与x成反比例，且 当x=2时y=4;x=3时y=6.求x=4时，y的值.
解：
∵ y1与x-1成正比例、y2与x成反比例
∴1=k1(x-1)、y2
∴y=k1(x-1)+
∵当x=2时y=4;x=3时y=6
∴
k1(3-1)+
解得k1=
∴y(x-1)+
当x=4时, y(4-1)+=
4k1(2-1)+
4.已知：y 是关于 x 的反比例函数，当 x =-0.75时，y = 2. 求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.
解：
∵ y 是关于 x 的反比例函数，
解得 .
自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.
∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).
将 x =-0.75，y = 2代入 y = ，得
∴所求的函数表达式为 ；
教学目标
巩固提升
解：
教学目标
巩固提升
5.如图:利用一面长为80m的砖墙,用篱笆围成一个靠墙的矩形园子,园子的预定面积为180m ,设园子平行于墙方向的一边的长度为x(m),与之相邻的的另一边为y(m).
∵园子面积预定为180m
(1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
∴xy=180
∵砖墙为80
∴x不得大于80,且也不能小于0
∴xy=180(0xy=180
(0(2)若要求围成的园子平行于墙面的一边长度不小于墙的，求与之相邻的另一边长的取值范围.
y
x
解：
∵要求x不小于墙的
∴结合(1),可得:即x≥80×
又∵xy=180
∴x
∴<80
解得：1≤
教学目标
课堂小结
1.定义：
反比例函数
形如y= (k为常数，k≠0)，称y是x的反比例函数.
2.求解析式方法：
①设：设表达式为y＝ ；
③ 解：解方程，求出k的值；
②列：列关于k的方程；
④ 代：将求出的k的值代入所设表达式中.
待定系数法
教学目标
课后练习
教材143页习题第2、3、4题。
教材141页习题第4、5题。
谢 谢！
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