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课题： 反比例函数的应用
教学目标：
1、知识与技能目标：
1. 根据实际问题中的条件，确定反比例函数的解析式；
2. 能根据图像指出函数值随自变量变化情况；
3. 会综合运用反比例函数的表达式。
二、过程与方法目标：
1. 能通过探索实际问题列出函数关系式；
2. 利用反比例函数的性质解释实际问题。
三、情感态度与价值观目标：
1. 在探索交流中，发展从图中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法；
2. 通过对实际问题的分析解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。
重点：
1. 反比例函数的应用；
2. 数形结合思想在函数中的应用。
难点：反比例函数与其它知识点的综合题，体会建模思想。
教学流程：
1、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了反比例函数的概念和相关性质，现在我们一起回忆一下相关概念。
反比例函数：其图像是双曲线，且既是轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形也是中心对称图形。当k>0时,双曲线分别位于第一三象限内；在每一象限内,y随x的增大而减小；当k<0时, 双曲线分别位于第二四象限内；在每一象限内,y随x的增大而增大. 双曲线无限趋近于x、y轴,但永远不会与坐标轴(x轴、y轴)相交.任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k，长方形面积=|m n|＝|K|，三角形面积=|mn|=|K|.21教育网
那么，对于反比例函数而言，它具有这么多的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，在生活中有些什么应用呢？而我们又该怎么用反比例函数的性质来解决生活中的问题呢？今天我们将进一步的走进反比例函数，一起探索反比例函数在生活中的具体应用。21·世纪*教育网
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
2、 活动探究
同学们，我们首先探究一下以下情况：
探究 设一根火柴的长度为1，能否用若干根火柴收尾顺次连接摆出一个面积为12的矩形？面积为12的正方形呢？2-1-c-n-j-y
设:摆的长为x,摆的宽为y(x、y为正整数).则
y为大于0的整数)
∵存在x和y都为正整数、且x和y的积为12
∴能摆出矩形.
若要摆出正方形，那么x和y的值就相等.
∵此时x=y=正整数
∴不能摆出正方形.
结论：我们可以发现，在现实世界里，成反比例的量广泛存在着。
3、 导入新课
在现实世界里，成反比例的量广泛存在着，用反 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数的表达式和图像表示问题情境中成反比例的量之间的关系，能帮助我们分析和判断问题情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围下，了解变量的变化规律.2·1·c·n·j·y
4、 例题讲解
例1：设 ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高AD为y(cm). ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点(3,4).21*cnjy*com
(1) 求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
解：设: ABC的面积为S(s为常数),则 x y=S
∴y=
∵函数图象过点(3，4)
∴4= 解得s=6
∴所求函数的解析式为y=
ABC的面积为6cm .
(2)画出函数的图象.并利用图象求当2解：∵k=12＞0, x＞0
∴图形在第一象限
用描点法画出函数y= 的图象如图
当x=2时，y=6；
当x=8时，y=
∴ < y < 6
例2：如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强.21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
1 请根据表中的数据求出压强p(kPa)关于体积v(ml)的函数关系式；
解：设它的函数解析式为p= (k≠0)
选点(60,100),带入得100= ，∴k=6000
∴p=
将点(70,86).(80,75).(90,67).(100,60)的坐标一一验证:
≈86，67，60【出处：21教育名师】
可见P=(v>0)相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强的关系，也就是所求的函数关系式.21*cnjy*com
2 当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少ml？
解：∵解析式为：p=
∴当压强P=72时，则
72=
解得v= 83（mL）
答：当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到约83ml.
(3)若压强80＜P＜90,请估计汽缸内气体体积的取值范围.
解：根据表格画出函数图像如图：
由图像可得:当80＜P＜90，y随x的增大而减小.
当P=80时,v最大=
当P=90时,v最小=
∴此时:
【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。
5、 讲授新课
建立数学模型的过程：
由实验获得数据——用描点法画出图象——根据图象和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出函数关系式——应用函数关系式解决问题.
【设计意图】帮助学生记忆和理解新的知识。
6、 小试牛刀
某一农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙,围成一个面积为12m2的园子现有可用的篱笆总长为11m.
(1)你能给出一种围法吗
解：设：平行于墙方向的一边的长度为x(m),与之相邻的另一边为y(m).
∵园子面积预定为12m
∴xy=12
∵墙为7.9 ∴xy=12(0∵篱笆总长为11m ∴x+2y≤11
其中一种围法：x=4,y=3.
(2)若取园子的长,宽都是整数,共有几种围法
解：∵xy=12(0∴(0且x+2y≤11
∵长宽都必须是整数
∴当长x取整数时，有1、2、3、4、5、6、7七种情况：
对应的y分别为：12、6、4、3、2、
又∵x+2y≤11
∴满足条件的只有：x=3,y=4;x=4,y=3;x=6,y=2三种情况.
(3)若要使11m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
解：∵xy=12(0∴(0∵11m的篱笆要恰好用完
∴
∴得到方程组：(0解得x=3；y=4.或x=8,y=1.5（舍去）
∴长3m、宽4m的时候，11m的篱笆要恰好用完.
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
7、 知识扩展
反比例函数的应用：
1.在面积中的应用
2.在速度和工程中的应用
3.在电学中的应用
4.在光学中的应用
5.在排水中的应用
6.在经济预算中的应用
1.在面积中的应用：
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，已知，A,B是双曲线(x>0)上的两点.
（1）若A(2,3)，求K的值
（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连OA,OB,AB，求△OAB的面积。
解：(1)∵ A(2,3) ∴
(2)过A.B作y.X的垂线,垂足为D和C,两线交于E.
∵ A纵坐标=3,B横坐标=3
∴E(3,3) ∴SOCED=3×3=9
又∵S△OAD=S△OCB=k|=3
∴S△OAB= SOCED-S△OAD-S△OCB=9-3-3=3.
如图：
1 直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．
∵A、B为对称点
∴B（-2,-2）
2 △BDA的面积是多少？
S矩形=2|k|=2×4=8
2.在速度和工程中的应用
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)这批货物的总量是多少吨？轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系 21cnjy.com
（2）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？
(3)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物 21·cn·jy·com
（4）若工人每天卸货在40—48吨之间，那么卸货时间范围是多少？
解：（1）∵ 总量=时间×工作效率
∴总量=30×8=240（吨）
∵ 总量=卸货时间×工作效率
∴
（2），且v=40
=6
（3），且t<5
<5
（4），当40=40时,t最大=6；=48时,t最小=5；
3.在电学中的应用
在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
解：(1)设I＝
∵R＝5，I＝2
∴U =2×5＝10 ∴I＝．
(2)当I＝0.5时，可得0.5＝
∴R＝＝20(欧姆)．
4.在光学中的应用
近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
解：（1）设y=
把x=0.25，y=400代入，得400=
解得k=400×0.25=100
∴所求的函数关系式为y=．
（2）当y=1000时，1000=，解得x=0.1m．
∴此时的焦距为0.1m.
5.在排水中的应用
某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
答:此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式; Q=
解:t与Q之间的函数关系式为:
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
解:当t=5h时,Q==9.6m3.
∴每时的排水量至少为9.6m3.
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
解:当Q=12(m3)时,t===4(h).
∴最少需5h可将满池水全部排空.
6.在经济预算中的应用
某地上年度电价为0.8 ( http: / / www.21cnjy.com )元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8www-2-1-cnjy-com
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少
解：(1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y= (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入方程得
0.8＝，得k＝0.8×0.25， 解得k＝0.2，∴y＝
∴y与x之间的函数关系为y＝
（2）∵新增电y与成本x的关系式为：y＝
当x=0.6时，新增度数y＝
又∵年用电量为1亿度
∴本年度电力部门的纯收入为： (0.6－0.3)(1＋)＝0.3×＝0.4(亿元)
答：本年度的纯收人为0.4亿元.
用反比例函数解应用问题要明确三点：
(1)弄清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题 (包括已学过的基本公式，尤其是物理公式)．21世纪教育网版权所有
(2)分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围．
(3)熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．www.21-cn-jy.com
【设计意图】帮助学生记忆和理解新的知识,使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。
8、 巩固提升
1. 已知：如图,反比例函数 与一次函数，y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.【来源：21·世纪·教育·网】
（1） 求这个一次函数的解析式;
（2） 求△AOB的面积.
解：(1)点A在反比例上，且纵坐标为3
∴3=- ，解得x=-2,即A(-2,3)
将A(-2,3)带入y=kx+1，即3=-2k+1
解得k=-1
所以解析式为： y=-x+1
（2）根据反比例函数的面积不变性：
S△ANO=S△BOM=k|
∴S△AOB= S△ANO+S△BOM k|=6
2. 一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.【版权所有：21教育】
(1)甲乙两地相距 300 千米;
(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将 变小 ;
(3)t与v之间的函数关系 t.
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至少应是60千米/小时.
3. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（ ( http: / / www.21cnjy.com )h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：=，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(0,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：（1）将(40,1)代入t=
即=解得k=40.
∴关系式=
∵B(m,0.5)
∴=m=8.
（2）解:∵t≤60且t=
∴=≤60
解得v≥
∴汽车通过该路段最少需要.
4. 某同学要用一根撬棒撬动一块大石头， ( http: / / www.21cnjy.com )已知阻力f和阻力臂l′不变，分别为1 000 N和0.4 m，当动力臂l为2 m时，撬动这块大石头需用多大的力？
解：根据杠杆平衡条件有Fl＝f l′
又f l′＝1 000×0.4＝400，所以 F
当l＝2 m时， F =200(N)
答：撬动这块大石头需用200 N的力．
5. 在某一电路中，保持电压U不变，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)成反比例,当电阻R＝5 Ω时，电流I＝2 A.
(1)写出I关于R的函数表达式；
(2)当电流为0.5 A时，求电阻R的值．
解：(1)设I关于R的函数表达式为I(R>0)．
将R＝5，I＝2代入，得2解得U＝5×2＝10.
故I关于R的函数表达式为I (R＞0)．
(2)当I＝0.5 A时，0.5解得R＝20 Ω.
即当电流为0.5时，电阻R为20.
【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
9、 小结
本节课我们学习了反比例函数的相关应用，应用反比例函数解决问题时:
1 要注意自变量取值范围符合实际意义;
2 确定反比例函数之前，一定要考察两个变量与定值之间的关系；若k未知时应首先由已知条件求出k值；
3 求“至少,最多”时可根据函数性质得到.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
10、 布置作业
教材155页习题第1、3、5题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。
P(m,n)
A
o
y
x
B
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反比例函数的应用
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题4分，共20分)
1．已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图像大致是（ ）21世纪教育网版权所有
2．某闭合电路中，电源电压不变，电流与电阻R()成反比例，图2表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）21教育网
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图像是（ ）21cnjy.com
4．反比例函数y=(m－1)x，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）．
A．－1 B．3 C．－1或3 D．2
5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图4所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸．
为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 B．小于
C．不小于 D．小于
二、填空题(每题4分，共20分)
6．已知反比例函数y=的图象经过点(3，－2)，则函数解析式为_________，x＞0时，y随x的增大而_________．21·cn·jy·com
7．反比例函数y=的图象在第_________象限．
8．矩形面积为，长为，那么这个矩形的宽与长的函数关系为 ．
9．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图5所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为 ．www.21-cn-jy.com
10．已知y与 2x成反比例，且当x=3时，y=，那么当x=2时，y=_________，当y=2时，x=_________.2·1·c·n·j·y
三、简答题（每题20分，共60分）
11.如图点A、B分别在x，y轴上,点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD，AB=DA= INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\lijiaqin\\Desktop\\课件\\八下第六单元6.3 反比例函数的应用\\网站\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-12787.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../网站/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12787.png" \* MERGEFORMAT ，反比例函数y= INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\lijiaqin\\Desktop\\课件\\八下第六单元6.3 反比例函数的应用\\网站\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-31854.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../网站/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31854.png" \* MERGEFORMAT （k＞0）的图象过CD的中点E．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．21·世纪*教育网
12．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图7所示．www-2-1-cnjy-com
（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；
（2）当木板面积为时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？
13．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为（℃），从加热开始计算的时间为（分钟）．据了解，该材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度与时间成反比例关系（如图8所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．2-1-c-n-j-y
（1） 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，与的函数关系式；
（2） 根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停
止操作，共经历了多少时间？
参考答案
1、 选择题
1. C
【解析】根据路程=速度×时间，得s=t*v，即t和v成反比例关系。
∵速度v≥0，距离s≥0
∴t≥0
∵t和v成反比例关系
∴当v增大时，t减小
∴选C.
2. A
【解析】∵电流与电阻R()成反比例
∴有方程：
又∵点M（4,2）在图像上
∴，解得方程k=8
∴电阻R表示电流I的函数表达式:.选A.
3. A
【解析】∵减去部分的面积为20，且面积=长×宽
∴20=2xy，即.
∴当x=2时，带入解析式可得；
当x=10时，带入解析式可得.选A.
4. A
【解析】∵该函数为反比例函数
∴m -2m-4=-1且 m-1≠0；
解得m=3或m=-1;
又∵当x＜0时，y随x的增大而增大
∴m-1<0，即m<1;
∴m=-1,选A.
5. D
【解析】∵由图可知，p与v成该反比例关系
∴可得；
∵（1.6,60）在图象上
∴可得解得，解得k=96.
∴可得解析式：；
当p＜160时，可得方程,解得v>,也就是v不小于选D.
2、 填空题
6. ；增大.
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点(3，－2)
∴可得,解得k=-6.
∴解析式为：
∵k=-6<0
∴x＞0时，y随x的增大而增大.
7.
【解析】∵k=6>0
∴图象在第一三象限.
8. .
【解析】∵面积=6=长×宽
∴6=xy
∴函数关系为：.
9. .
【解析】∵由图可知I和R成反比例关系，且P（9,4）在图象上
∴I=,可得,解得k=36
∴
∴当I=10时，带入解析式可得：R=Ω.
10. ；.
【解析】∵y与 2x成反比例
∴设：y=
∵当x=3时，y=
∴可得,解得k=. ∴解析式为：y=
当x=2时，带入方程可得：y=；当y=2时，带入方程可得：2=，解得x=
3、 简答题
11、（1）证明： ∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，
∴∠AOB=∠DCA=90°，
在Rt△AOB和Rt△DCA中，
∴Rt△AOB≌Rt△DCA；21世纪教育网
（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，∴AC= =1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∴D点坐标为（3，2），
∵点E为CD的中点，
∴点E的坐标为（3，1），k=3×1=3；
（3）解：点G在反比 例函数的图象上．理由如下：
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，
∴△BFG≌△DCA，∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，
而OB=AC=1，∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G点坐标为（1，3），
∵1×3=3，
∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上．
12．解：（1）
（2）当时，．即压强是．
（3）由题意知，，．即木板面积至少要有．
13．（１）材料加热时，设，
由题意，有，解得．
材料加热时，与的函数关系式为：.
停止加热时，设，由题意，有，解得．
停止加热进行操作时与的函数关系式为：．
（２）把代入，得．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
t/h
v/(km/h)
O
t/h
v/(km/h)
O
t/h
v/(km/h)
O
t/h
v/(km/h)
O
A．
B．
C．
D．
M(4，2)
I(A)
R()
O
x
y
12
12
5
1
O
x
y
2
10
A．
5
1
O
x
y
2
10
B．
2
O
x
y
2
10
C．
10
2
O
x
y
2
10
D．
10
O
1.6
60
9
O
4
0
200
400
600
4
3
2.5
2
1.5
1
Ｏ
5
10
15
20
25
30
10
15
20
30
40
50
60
(分钟)
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反比例函数的应用
数学zj版 八年级下
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反比例函数的图象性质特征
双曲线.
当k>0时,双曲线分别位于第 象限内；
当k<0时, 双曲线分别位于第 象限内.
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而 ；
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而 .
1.形状：
2.位置：
3.增减性：
教学目标
课前回顾
一、三
二、四
减小
增大
双曲线 于x、y轴,但 与坐标轴(x轴、y轴)相交.
双曲线既是 又是 .
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k
4.变化趋势：
5.对称性：
P(m,n)
A
o
y
x
B
6.不变性：
长方形面积=
△POA面积=
不会
无限接近
轴对称图形
中心对称图形
|mn|=|K|
|m n|＝|K|
教学目标
问题探究
∵存在x和y都为正整数、且x和y的积为12
设一根火柴的长度为1，能否用若干根火柴收尾顺次连接摆出一个面积为12的矩形？面积为12的正方形呢？
设:摆的长为x,摆的宽为y(x、y为正整数).则
y为大于0的整数)
∴能摆出矩形.
若要摆出正方形，那么x和y的值就相等.
∵此时x=y=正整数
∴不能摆出正方形.
反比例函数.
x=1,y=12；
x=3,y=4.
在现实世界里，成反比例的量广泛存在着.用反比例函数的表达式和图像表示问题情境中成反比例的量之间的关系，能帮助我们分析和判断问题情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围下，解变量的变化规律.
教学目标
导入新课
例1：设 ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高AD为y(cm). ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点(3,4).
(1) 求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
设: ABC的面积为S(s为常数),
∴y=
∵函数图象过点(3，4)
∴所求函数的解析式为y=
ABC的面积为6cm .
解:
则 x y=S
教学目标
例题讲解
∴4= 解得s=6
(2)画出函数的图象.并利用图象求当2当x=2时，y=6；
当x=8时，y=
∴ < y < 6
２
４
６
８
.
.
.
.
.
.
.
.
２
４
６
８
y
x
∵k=12＞0, x＞0
∴图形在第一象限
用描点法画出函数y= 的图象如图
解:
y=
例2：如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强.
教学目标
例题讲解
⑴请根据表中的数据求出压强p(kPa)关于体积v(ml)的函数关系式；
将点(70,86).(80,75).(90,67).(100,60)的坐标一一验证:
选点(60,100),带入得100=
∴k=6000
∴p=
设它的函数解析式为p= (k≠0)
解:
≈86，67，60
可见P=(v>0)相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强的关系，也就是所求的函数关系式.
⑵当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少ml？
∴当压强P=72时，则
答：当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到约83ml.
∵解析式为：p=
解:
72=
解得v= 83（mL）
(3)若压强80＜P＜90,请估计汽缸内气体体积的取值范围,并说明理由.
体积p （ml） 压强V
（kPa）
100 60
90 67
80 75
70 86
60 100
V（ml）
p（kPa）
100
100
90
80
70
60
90
80
70
60
根据表格画出函数图像如图：
p=
由图像可得:当80＜P＜90，y随x的增大而减小.
当P=80时,v最大=
当P=90时,v最小=
∴此时:
建立数学模型的过程：
教学目标
新课讲解
由实验获得数据——用描点法画出图象——根据图象和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出函数关系式——应用函数关系式解决问题.
某一农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙,围成一个面积为12m2的园子现有可用的篱笆总长为11m.
(1)你能给出一种围法吗
教学目标
小试牛刀
解:
y
x
设：平行于墙方向的一边的长度为x(m),与之相邻的另一边为y(m).
∴xy=12
∵墙为7.9
∴xy=12(0∵园子面积预定为12m
其中一种围法：x=3,y=4.
∵篱笆总长为11m
∴x+2y≤11
(2)若取园子的长,宽都是整数,共有几种围法
∵xy=12(0∴(0∵长宽都必须是整数
∴当长x取整数时，有1、2、3、4、5、6、7七种情况：
对应的y分别为：12、6、4、3、2、
∴满足条件的只有：x=3,y=4;x=4,y=3;x=6,y=2三种情况.
解：
且x+2y≤11
又∵x+2y≤11
(3)若要使11m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
∵xy=12(0∴(0解：
∵11m的篱笆要恰好用完
∴
∴得到方程组：
(0解得：
或
（舍去）
∴长3m、宽4m的时候，11m的篱笆要恰好用完.
教学目标
综合扩展
反比例函数在生活中的具体应用
1.在面积中的应用
2.在速度和工程中的应用
3.在电学中的应用
4.在光学中的应用
5.在排水中的应用
6.在经济预算中的应用
教学目标
综合扩展
1.在面积中的应用
S△ABC=︱K︱
SABCD=2︱K︱
B
D
S= ︱ k︱
o
y
P(m,n)
x
A
B
C
D
C
o
x
y
A
y
B
A
x
o
1.如图，已知，A,B是双曲线(x>0)上的两点.
（1）若A(2,3)，求K的值
（2）在(1)的条件下,若点B的横坐标为3，连OA,OB,AB，求△OAB的面积。
C
D
E
(1)∵ A(2,3)
∴
解：
∵ A纵坐标=3,B横坐标=3
∴E(3,3)
(2)过A.B作y.X的垂线,垂足为D和C,两线交于E.
∴SOCED=3×3=9
又∵S△OAD=S△OCB=k|=3
∴S△OAB= SOCED-S△OAD-S△OCB=9-3-3=3.
曲直结合
A(2, 2)
O
y
x
2.⑴直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．
B
D
C
⑵△BDA的面积是多少？
∴B（-2,-2）
S矩形=2|k|=2×4=8
∵A、B为对称点
2.在速度和工程中的应用
3.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)这批货物的总量是多少吨？轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系
∵ 总量=时间×工作效率
∴
解：
∴总量=30×8=240（吨）
∵ 总量=卸货时间×工作效率
（2）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？
(3)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物
，且v=40
解：
=6
答：需要6天卸完.
（4）若工人每天卸货在40到48吨之间，那么卸货时间范围是多少？
解：
，且t<5
<5
答：每天至少要卸48吨货物.
解：
，当40=40时,t最大=6；
=48时,t最小=5；
答：卸货时间范围是5到6.
3.在电学中的应用
4.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
解：(1)设I＝
∵R＝5，I＝2
∴U =2×5＝10 ∴I＝．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
(2)当I＝0.5时，可得0.5＝
∴R＝＝20(欧姆)．
4.在光学中的应用
5.近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
解：（1）设y=
把x=0.25，y=400代入，得400=
解得k=400×0.25=100
∴所求的函数关系式为y=．
（2）当y=1000时，1000=，解得x=0.1m．
∴此时的焦距为0.1m.
5.在排水中的应用
6.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
答:此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
解:t与Q之间的函数关系式为:
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
解:当t=5h时,Q==9.6m3.
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
解:当Q=12(m3)时,t===4(h).
∴每时的排水量至少为9.6m3.
∴最少需5h可将满池水全部排空.
6.在经济预算中的应用
7.某地去年电价为0.8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：∵y与x－0.4成反比例
∴设y= (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入方程得0.8＝
解得k＝0.8×0.25=0.2，∴y＝
∴y与x之间的函数关系为y＝
解：∵新增电y与成本x的关系式为：y＝
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下今年电力部门的纯收人多少
当x=0.6时，新增度数y＝
又∵年用电量为1亿度
∴本年度电力部门的纯收入为：
(0.6－0.3)(1＋)＝0.3×＝0.4(亿元)
答：今年的纯收人为0.4亿元.
(1)弄清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题 (包括已学过的基本公式，尤其是物理公式)．
(2)分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围．
(3)熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．
用反比例函数解应用问题要明确三点：
A
y
O
B
x
M
N
1.已知：如图,反比例函数 与一次函数，y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.
（1）求这个一次函数的解析式
教学目标
巩固提升
解：(1)点A在反比例上，且纵坐标为3
∴3=- ，解得x=-2,即A(-2,3)
将A(-2,3)带入y=kx+1，即
3=-2k+1，解得k=-1
∴解析式为： y=-x+1
A
y
O
B
x
M
N
（2）求△AOB的面积.
教学目标
巩固提升
解：根据反比例函数的面积不变性：
S△ANO=S△BOM=k|
∴S△AOB= S△ANO+S△BOM k|=6
A1
B1
2.一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.
300
变小
教学目标
巩固提升
(3)t与v之间的函数关系 ;
(1)甲乙两地相距 千米;
(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将 ;
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至少应是 .
路程=时间×速度.
t=v成反比例关系.
t=.
t.
t≤5,解得v≥60.
60千米/小时
3．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：=，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(0,1)和B(m,0.5)．
教学目标
巩固提升
（1）求k和m的值；
解:(1)将(40,1)代入t=
即=解得k=40.
∴关系式=
∵B(m,0.5)
∴=m=8.
教学目标
巩固提升
解:∵t≤60且t=
∴=≤60
解得v≥
∴汽车通过该路段最少需要.
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
4.某同学要用一根撬棒撬动一块大石头，已知阻力f和阻力臂l′不变，分别为1 000 N和0.4 m，当动力臂l为2 m时，撬动这块大石头需用多大的力？
根据杠杆平衡条件有Fl＝f l′
又f l′＝1 000×0.4＝400，所以 F
当l＝2 m时， F =200(N)
答：撬动这块大石头需用200 N的力．
解：
教学目标
巩固提升
5.在某一电路中，保持电压U不变，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)成反比例,当电阻R＝5 Ω时，电流I＝2 A.
(1)写出I关于R的函数表达式；
(2)当电流为0.5 A时，求电阻R的值．
(1)设I关于R的函数表达式为I(R>0)．
将R＝5，I＝2代入，得2解得U＝5×2＝10.
故I关于R的函数表达式为I (R＞0)．
解：
(2)当I＝0.5 A时，0.5解得R＝20 Ω.
即当电流为0.5时，电阻R为20.
教学目标
巩固提升
应用反比例函数解决问题时:
教学目标
课堂小结
反比例函数的应用
①要注意自变量取值范围符合实际意义;
②确定反比例函数之前，一定要考察两个变量与定值之间的关系；若k未知时应首先由已知条件求出k值；
③求“至少,最多”时可根据函数性质得到.
教学目标
课后练习
教材155页习题第1、3、5题。
谢 谢！
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