浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册第1章二次根式复习教案（新版）浙教版

二次根式
知识一
二次根式的定义：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
【例1】下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
1、下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A、
B、
C、
D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子有意义，则x的取值范围是
．
1、使代数式有意义的x的取值范围是（
）
A、x>3
B、x≥3
C、
x>4
D
、x≥3且x≠4
2、使代数式有意义的x的取值范围是
3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限
【例3】若y=++2009，则x+y=
解题思路：式子（a≥0），
，y=2009，则x+y=2014
1、若，则x－y的值为（
）
A．－1
B．1
C．2
D．3
2、若x、y都是实数，且y=，求xy的值
3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
例题4已知a是整数部分，b是
的小数部分，求的值。
若的整数部分是a，小数部分是b，则
。
若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.
知识点二
1.
非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2.
．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4.
公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数
（3）和的运算结果都是非负的．
【例4】若则
．
1、若，则的值为
。
2、已知为实数，且，则的值为（
）
A．3
B．–
3
C．1
D．–
1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若与互为相反数，则。
（公式的运用）
【例5】
化简：的结果为（
）
A、4—2a
B、0
C、2a—4
D、4
在实数范围内分解因式:
=
；=
化简：
已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为
（公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、
B、
C、
D、
1、根式的值是(
)
A．-3
B．3或-3
C．3　
D．9
2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（
）
A．－a
B．a
C．－3a
D．3a
3、若，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
4、若a－3＜0，则化简的结果是（
）
(A)
－1
(B)
1
(C)
2a－7
(D)
7－2a
5、化简得（
）
（A）　2　（B）　（C）－2　　（D）
6、当a＜l且a≠0时，化简＝
．
7、已知，化简求值：
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+
的结果等于（
）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
实数在数轴上的位置如图所示：化简：．
【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（
）
（A）x为任意实数
（B）≤x≤4
（C）
x≥1
（D）x≤1
若代数式的值是常数，则的取值范围是（　
　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
【例9】如果，那么a的取值范围是（
）
A.
a=0
B.
a=1
C.
a=0或a=1
D.
a≤1
1、如果成立，那么实数a的取值范围是（
）
2、若，则的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【例10】化简二次根式的结果是
（A）
(B)
(C)
(D)
1、把二次根式化简，正确的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝
；＝
。
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式1)
，最简二次根式是（
）
A．1)
2)
B．3)
4)
C．1)
3)
D．1)
4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
1、中的最简二次根式是
。
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3、下列根式不是最简二次根式的是(　)
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
(1)
(2)
(3)
【例12】下列根式中能与是合并的是(
)
A.
B.
C.2
D.
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（
）
A、
B、
C、
D、
2、在二次根式：①；②
；③
；④中，能与合并的二次根式是
。
3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,
则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【例13】
把下列各式分母有理化
（1）
（2）
（3）
（4）
【例14】把下列各式分母有理化
（1）
（2）
（3）
（4）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1）
（2）
（3）
1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）
2、把下列各式分母有理化：
（1）
（2）
（3）
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；
②与；
③与；
④与．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例16】化简
(1)
(2)
(3)
(4)()
(5)
×
【例17】计算（1）
（2）
（3）
（4）

（5）
（6）
（7）
（8）
【例18】化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
【例19】计算：(1)
(2)
(3)
（4）
【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【例20】计算（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【例21】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序；
　　2、灵活运用运算定律；
　　3、正确使用乘法公式；
　　4、大多数分母有理化要及时；
　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
1、
2、
EQ
\F(2,)
(2+4
EQ
\R(,)
－3)
·（-4）÷
4、
知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法
当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①；
②
【例22】
比较与的大小。（用两种方法解答）
【例23】比较与的大小。
【例24】比较与的大小。
【例25】比较与的大小。
【例26】比较与的大小