(共15张PPT)
1.2
二次根式的性质(2)
二次根式有哪些性质
(
≥
0
)
(
<
0
)
复习
回顾
1.填空:
（2）(
)2=
；(-
)2=
；
（3）
=
10
10
10
做一做
填空:(可用计算器计算):
比较左右两边的等式,你发现了什么
4.472135955
6
6
4.472135955
1.224744871
0.75
0.75
1.224744871
合作探究：
———————
——————
———————
———————
——————————————
——————————————
——————————————
——————————————
一般地,二次根式有下面的性质:
1、积的算术平方根等于算术平方根的积
2、商的算术平方根等于算术平方根的商
文字表达：
辨一辨
试一试
（4）
5＜x≤8
例1、化简
（1）
（2）
（3）
解：
=
×
=
11
×
（1）
15
=
165
（3）
=
=
×
=
3
（2）
=
×
=
4
例2、化简
；
（1）
（2）
解：
（1）
=
=
（2）
=
=
=
二次根式化简的要求：
1.根号内不再含有开得尽方的因式
2.根号内不再含有分母．
合理应用二次根式的性质,可以简化实数的运算!
例3、化简
1、化简:
10
0.07
15
2、化简:
15
13
5
3、化简:
1.二次根式的性质:
2.运用性质化简:
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
(1)根号内不再含有分母．
化简下列两组式子:
你发现了什么规律 请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流.
(
为自然数,且
)
请再任意选几个数验证你发现的规律.
拓展训练(共10张PPT)
1.2二次根式性质（2）
探索发现：
于是我们得到：
特别提醒：
1，这个二次根式的存在条件；
2，性质的逆运用。
于是我们得到：
应用这个性质时特别注意：1，条件；2，逆运用。
尝试成功：
化简二次根式：
1.被开方数指数小于根指数2；
2.被开方数不含分母。
共同探索：
2.化简：
=______
=_____
≥0
＞0
5＜x≤8
巩固提高：
1．下列化简错误的是（
）
A．
=
=
B．
=
×
=0.1×0.7=0.07
C
=
=
D．
=
·
=1×
=
=________;
=_______．
3.化简下列各式（1）
=________
(2)
(3)
=________;
(4)
(5)-
=________．
=_____;
(6)
=_______．
(7)
4.已知等边三角形的边长为4
cm，则它的高为______cm．
5.已知△ABC中，∠C=Rt∠，若AC=5cm，BC=4cm，则
AB=__________．
6．已知等腰三角形的底边长为10cm，腰为13cm，则此等腰三角形的面积为________cm2．
7．在△ABC中，∠C=Rt∠，若AB=8，BC=1，则AC=_______．
8．在直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（5，-7），C（5，-2）是三角形的三个顶点，求AB的长．
2
1
2
3
4
5
-1
-2
-5
-3
-4
1
3
4
-3
-4
A
B
C
解：∵A（1，-2）C（5，-2）
∴AC∥x轴，∵C（5，-2）
B（5，-7）∴BC⊥x轴,
∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，∵AC=4，BC=5
9.在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，
三条边长分别为
，4，
寻找目标1.2
二次根式的性质（第2课时）
课堂笔记
1.
二次根式的性质：=
（a≥0，b≥0）；=
（a≥0，b＞0）.
2.
在根号内不含
，不含
.
这样的二次根式称为最简二次根式.
课时训练
A组
基础训练
1.
下列式子中，属于最简二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
下列化简错误的是（
）
A.
==
B.
=×=0.1×0.7=0.07
C.
=×=1×=
D.
==
3.
下列二次根式中，化简后能与进行合并的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
等式=成立的条件是（
）
A.
x≥-1
B.
x＜2
C.
x＞2
D.
x≥-1且x≠2
5.
设=a，=b，若用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（
）
A.
0.3ab
B.
3ab
C.
0.1ab2
D.
0.1a2b
6.
已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
2
7.
化简：（1）=
；
（2）=
；
（3）=
；
（4）=
.
8.
已知等边三角形的边长为4cm，则它的高为
cm.
9.
若=×，则x的取值范围是
.
10.
已知：=2；=3；=4；=5…如果n是大于1的正整数，那么请用含n的式子表示你发现的规律
．
11.
化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
12.
化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
13.
要制作一个如图所示的铝合金窗架（下面是正方形），大约需要多少米铝材料？（精确到0.1m）
B组
自主提高
14.
如图，15个外径为1m的钢管以如图方式堆放，为了防雨，需要搭建防雨棚的高度最低应为（
）
A．
（2+1）m
B．
（）m
C．
5m
D．
（2+2）m
15.
在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为，4，.
16.
仔细观察下列过程：化简.
解：
=
=
=
=+1，利用上述方法，
化简：（1）；（2）.
参考答案
1.2
二次根式的性质（第2课时）
【课堂笔记】
1.
×
2.
分母
开得尽方的因数或因式
【课时训练】
1—4.
BCDC
5.
A
【点拨】====0.3ab.
6.
C
7.
（1）4
（2）
（3）3
（4）5
8.
2
9.
x≥2
10.
=n
11.
（1）8
（2）15
（3）
（4）12
12.
（1）24
（2）
（3）60
（4）20000
13.
由图，得BC===（m），CD=DE=EB=BC=（m），AG=BC=（m），所需的铝材料的长度为AB+AC+BC+CD+DE+EB+AG=1.5×2+
×4+=3+×1.41≈12.5（m）.
答：要制作一个铝合金窗架需要铝材料约12.5m.
【点拨】铝材料总长度为AB+AC+BC+CD+DE+
EB+AG，其中AB，AC已知，BC=CD=DE=EB，只要求出BC，AG即可.
14.
A
15.
=，=
如图：
16.
（1）=-
（2）=
=
==2-(共14张PPT)
参考图1-2,完成以下填空:
2
7
一般地,二次根式有下面的性质:
快速判断
5
3
a
9
4
16
15
17
请比较左右两边的式子,议一议:
与
有什么关系 当
时,
;当
时,
一般地,二次根式有下面的性质:
2
2
5
5
0
0
(7)
数
在数轴上的位置如图,则
0
-2
-1
1
(8)如图,
是直角坐标系中一点,求点P到原点的距离.
0
2
做一做
1.计算下列各题:
(1)
(2)
2.若
,则x的取值范围为
(
)
A.
x≤1
B.
x≥1
C.
0≤x≤1
D.一切有理数
2.从取值范围来看,
a≥0
a取任何实数
(1):从运算顺序来看,
先开方,后平方
先平方,后开方
=a
a
(a≥
0)
3.从运算结果来看:
-a
(a＜0)
=
=∣a∣
计算:
计算:
练一练：
判断题
×
×
做一做
1、计算：
2、化简：
(1)
(2)
(3)
(a＜0,b＞0)
(a＞1
)
(5)
做一做
=|4x|
∵x<0
,
∴4x＜0,
∴原式
=
-
4x
解：原式=
=|x-3|+|x+1|
∵-1,
∴x-3＜0
,
x+1>0
∴原式
=
(3-x)
+
(x+1)
=
4
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
（2）
a
0
-a
(
a
>0
)
(
a
=0
)
(
a
<0
)
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当
_____时，
有意义。
2.
+
3.求下列二次根式中字母的取值范围
解得
-
5≤x＜3
解：
①
②
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
≤3
a=4
有意义的条件是
__
.
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
+
=0,求
x-y
的值.
5.已知x,y为实数,且
+3(y-2)2
=0,则x-y的值为(
)
A.3
B.-3
C.1
D.-1
解：由题意，得
x-4=0
且
2x+y=0
解得
x=4,y=-8
x-y=4-(-8)=
4+
8
=12
D(共13张PPT)
1.2二次根式的性质（1）
探索发现一：
3
于是我们得到,二次根式有下面的性质:
0.6
17.9
探索发现二：
2
2
5
5
0
0
从上面的探索二你发现了什么？
巩固概念：
3
7
1.7
2.计算：
3.化简：
(1)
(2)
(3)
(a＜0,b＞0)
(a＞1
)
(5)
共同探索：
1．计算：
+
+
+…+
2.如果
+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰
三角形的周长。
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
+
-
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。
4.化简：
-（
）2．
分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
5.设等式
在实数范围内成立，其中a,
x,
y
是两两不等的实数，求
的值。
解：∵
1.真正理解：
这两个性质的概念，
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
2.解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘隐条件。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围
（1）
（2）
（3）
2.当x_____时,
有意义.
=0
3.化简：
=______
2a-3b
4.要使式子
有意义，那么x的取值范围是（
）
A、x＞0
B、x＜0
C、x=0
D、x≠0
C
5.已知
,求
的值。
6.已知
，化简：
7.已知：
，求
的值。
目标1.2
二次根式的性质（第1课时）
课堂笔记
二次根式的性质：（）2=
（a≥0）；==
课时训练
A组
基础训练
1.
下列计算正确的是（
）
A.
=±2
B.
=-3
C.
（-）2=5
D.
（）2=-3
2.
化简的结果是
（
）
A.
3
B.
-3
C.
±3
D.
0.9
3.
下列各式中一定成立的是（
）
A.
=+=3+4=7
B.
=-
C.
（-）2=
D.
=1-=
4.
如果=x-2，那么x的取值范围是（
）
A.
x≤2
B.
x＜2
C.
x≥2
D.
x＞2
5.
下列说法错误的是（
）
A.
如果=5，则x=5
B.
若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根
C.
化简的结果是π-3
D.
在直角三角形中，若两条直角边长分别是，2，那么斜边长为5
6.
当x≤0时，化简1-x-的结果是
.
7.
已知P是直角坐标系内一点，若点P的坐标为（-，），则它到原点的距离是
.
8.
实数a在数轴上的位置如图所示：
化简：-=
.
9.
若a，b，c为△ABC三边长，且+=0，则△ABC是
三角形.
10.
化简：（）2-π=
.
11.
计算：
（1）（）2；
（2）（-）2；
（3）（-2）2；
（4）.
12.
计算下列各题：
（1）（-）2-+；
（2）；
（3）.
13.
化简（）2+.
14.
+…++.
B组
自主提高
15.
已知a=5，=3，且ab＞0，则a+b的值为（
）
A.
8
B.
-2
C.
8或-8
D.
2或-2
16.
（1）若为一个整数，求自然数n的值；
（2）求代数式2-的最大值.
17.
先阅读理解，再回答问题.
∵=，且1＜＜2，
∴的整数部分为1，小数部分为-1.
∵=，且2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为-2.
∵=，且3＜＜4，
∴的整数部分为3，小数部分为-3.
以此类推我们会发现（n为正整数）的整数部分为
，小数部分为
，请说明理由.
参考答案
1.2
二次根式的性质（第1课时）
【课堂笔记】
a
a
-a
【课时训练】
1—5.
CACCA
6.
1
7.
8.
-1
9.
等边
10.
-3.14
11.
（1）
（2）7
（3）2
（4）2-
12.
（1）4
（2）
（3）1
13.
2a-3
14.
-1
15.
C
【点拨】由a=5，知a=±5，=3，则b=±3，又ab＞0，所以a，b同号，故a+b=-8或a+b=8.
16.
（1）根据题意，有12-n≥0且n≥0，∴-12≤-n≤0，即0≤12-n≤12.
又∵为一个整数，∴12-n是一个完全平方数，∴12-n只能是9，4，1或0.
当12-n=9时，n=3；当12-n=4时，n=8；当12-n=1时，n=11；当12-n=0时，n=12.
综上所述，n为3，8，11或12.
（2）∵≥0，∴-≤0，∴2-≤2.
∴当x=5时，2-有最大值，最大值是2.
【点拨】（1）利用n为自然数及12-n≥0，可以先确定n的取值范围.
另外，如果为一个整数，那么12-n一定是一个整数的平方；（2）这里2是一个常数，2-的值随x的变化可以取不同的值.
由是一个非负数来确定代数式的最值.
17.
n
-n
【理由】∵=，∴＜＜.
∴n＜＜n+1.
∴的整数部分为n，小数部分为-n.
