(共14张PPT)
2.1一元二次方程
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x，可列出方程
x
x
x
3
X2+3x=4
活动一
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽
度为
尺,长为
尺,依题意得方程：
（2）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋
(x－2)2＝
x2
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
(x－2)
(x－4)
活动二
观察上面所列的方程,说出这些方程与
一元一次方程的相同和不同之处.
未知数的最高次数是2次
方程两边都是
，只含有
，并且
的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的定义:
整式
一个未知数
X2
+
3x
=4
(x－4)2＋(x－2)2=x2
你能找到使X2+3x=4两边相等的x的值吗？
开启智慧
x=1
把x=1代入方程：
左边=12+3×1=4，
右边=4
∴左边=右边
x=-4
把x=-4代入方程：
左边=(-4)2+3×(-4)=4，
右边=4
∴左边=右边
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
判断下列方程是一元二次方程吗
√
√
√
√
√
×
×
×
×
“行家”看“门道”
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为
的形式
为什么要限制a≠0？
想一想
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(a
≠
0)
a
a
b
b
c
c
二次项系数
一次项系数
常数项
我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
b,c可以为零吗
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意点：
1.要先化成
ax +bx+c=0
的形式
2.写系数时，要连同前面的符号
知识的升华
独立
作业
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项
系 数
一次项
系 数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x
-1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
x2
＋
x－8＝0
或－7x2
＋0
x＋4＝0
3
－5
＋1
1
＋1
－8
－7
0
4
3
－5
1
1
1
－8
－7
0
4
或7x2
－
4＝0
7
0
－
4
－7x2
＋4＝0
常数项是
。
一次项系数是
，
探索与交流
已知关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0
⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？
⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时
它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？
解：
⑴当m-2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程。
⑵当m-2≠0,
即m≠2时，这个方程是一元二次方程，
它的二次项系数是
,
m-2
m
-1
⑶若关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0的一个根是
2，
你能求出m的值吗？
一定是一元二次方程吗？
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0
(a≠0)
会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常
数项.
你准备如何去求方程中的未知数呢
知识的升华
独立
作业
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5)
m,宽为(x＋2)
m，依题意得方程：
(x＋5)
(x＋2)
＝54
即
x2
＋
7x－44
＝0
2
5
x
x
X＋5
X＋2
54m2
培养能力之阵地
（1）已知关于x的一元二次方程
的一个根是3，求a的值。
（2）已知关于x的一元二次方程
的一个根是1，
求a+b+c的值。若a-b+c=0，你能通过观察，
求出方程
的一个根吗？
知识的升华
独立
作业
2，若
是关于的一元二次方程，
试求整数a,b的值。
1,构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2。
结束寄语
运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想.
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.(共13张PPT)
2.1
一元二次方程
笔记本的宽为x厘米，长比宽多5厘米，周长为70厘米，则可列方程为______
问题1：
x
X+5
情景引入
若笔记本的面积为300厘米，又可列方程为______
问题2：若每本笔记本的单价是y元，共奖出了100y本，
所需费用是900元。可列方程为______
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。
探究新知
上述两个方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
（一元一次方程）
相同点：
不同点：
x2+5x=300
x+x+5=35
100y2=900
判断下列方程是否为一元二次方程：
①
10x2=9
(
)
②2(x-1)=3x
(
)
③2x2-3x-1=0
(
)
④
(
)
⑤2a+7b2=0
(
)
⑥4x3=5x
(
)
1
x2
-
2
x
=0
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）
一元二次方程的一般形式：
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
为什么a≠0
b,c可以为零吗
思考：下列两个方程还可以怎么表示呢？
10x2=9
2x2-3x-1=0
例:
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2x2-x-4=0
(2x)2=(x+1)2
2x2-x-4=0
3x2-2x-1=0
2
-1
-4
-4
3
-2
-1
1、填表:
0
-4y2+
y+0=0
y-4y2=0
我当小老师
一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边
都相等的未知数的值
一元二次方程的解（或根）：能使一元二次方程
左右两边都相等的未知数的值
X+x+5=35
x=15
100y2=900
y=3或y=-3
X=-1,x=2是原方程的解
X=0不是原方程的解
1.已知关于x的一元二次方程
的一个解是x=0，则m的值是多少？
挑战一下
2、方程
（１）m=
时，是一元二次方程．
（２）当m＝
时，是一元一次方程．
-2
2或1或0或-1
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）的概念
课堂小结
一元一次方
程的概念
一元一次方程
的解的概念
类比
类比2.1
一元二次方程
课堂笔记
1.
方程的两边都是
，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
次，这样的方程叫做一元二次方程.
2.
一元二次方程的一般形式是
；其中a，b，c是已知数，且a≠
.
课时训练
A组
基础训练
1.
在下列方程中，一定是一元二次方程的是（
）
A.
x2+=0
B.
（x+3）（x-5）=4
C.
ax2+bx+c=0
D.
x2-2xy-3y2=0
2.
关于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
任意实数
B.
m≠-1
C.
m>1
D.
m>0
3.
关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（
）
A．
2
B．
－2
C．
±2
D．
0
4.
方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
m≠1
B.
m≠0
C.
m≥0且m≠1
D.
m为任意实数
5.
若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（
）
A.
1
B.
2
C.
-1
D.
-2
6.
若方程（m-1）xm2+m-2x=3是关于x的一元二次方程，则m=
.
7.
已知关于x的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是
.
8.
关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，当m
时，是一元一次方程；当m
时，是一元二次方程.
9.
若关于x的一元二次方程2x2+（k+9）x-（2k-3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和是0，则k=
.
10.
填表：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
8x2=5x
（t+）（t-）+（t-2）2=7-5t
（5x-1）2=4（x-3）2
11.
（1）判断下列未知数的值是不是方程2x2+x-1=0的根.
x1=-1，x2=1，x =.
（2）已知m是方程x2-x-2=0的一个根，求代数式m2-m的值.
12.
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=3，x2=-，求这个方程.
B组
自主提高
13．
若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为－1，则（
）
A．
a+b+c=0
B．
a-b+c=0
C．
a+b+c=1
D．
a-b+c=1
14．
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=3，x2=-，则a（x-7）2+b（x-7）+c=0的两个根为
.
15.
如图，在长为32m，宽为20m的矩形场地内，修三条同样宽的道路，将场地分为大小不等的六块，余下部分作为花园.
如果要求花园的面积是570m2，问道路应多宽？（只列方程，不求解）
参考答案
2.1
一元二次方程
【课堂笔记】
1.
整式
2
2.
ax2+bx+c=0
0
【课时训练】
1—5.
BBACB
6.
-2
7.
x2-x=0（答案不唯一）
8.
=1
≠1
9.
14
10.
（1）8x2-5x=0
a=8，b=-5，c=0
（2）2t2-3=0
a=2，b=0，c=-3
（3）21x2+14x-35=0
a=21，b=14，c=-35
11.
（1）x1=-1和x3=是方程的根
（2）2
12.
这个方程是2x2-5x-3=0
13.
B
14.
x2-36x+35=0
【点拨】方法一：设道路宽为xm，直接列方程：32×20-（32x+2×20x-2x2）=570，整理，得x2-36x+35=0.
方法二：将三条道路平移成如图的形状.
设道路宽为xm，列方程得（32-2x）（20-x）=570，整理，得x2-36x+35=0.
