2.2
一元二次方程的解法（第3课时）
课堂笔记
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般式；
（2）方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
（3）移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
（5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
课时训练
A组
基础训练
1.
一元二次方程x2-2x=-3通过配方可化为（
）
A.
（x-2）2=9
B.
（x-）2=9
C.
（x-2）2=0
D.
（x-）2=0
2.
用配方法解方程2x2-7x+5=0时，下列配方结果正确的是（
）
A.
（x-）2=
B.
（x-）2=
C.
（x-）2=
D.
（x-）2=
3.
用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A.
x2-2x-99=0化为（x-1）2=100
B.
x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C.
2t2-7t-4=0化为（t-）2=
D.
3x2-4x-2=0化为（x-）2=
4.
若x2-6x+11=（x-m）2+n，则m，n的值分别是（
）
A.
m=3，n=-2
B.
m=3，n=2
C.
m=-3，n=-2
D.
m=-3，n=2
5．
无论m，n为何实数，代数式m2-4n+n2+6m+19的值（
）
A．
总不小于6
B．
总不小于19
C．
为任何实数
D．
可能为负数
6.
用配方法解方程2x2+6x-5=0时，应变形为
.
7.
如果二次三项式x2-2（m+1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是
8.
代数式3x2-6x的值为-1，则x=
.
9．
若把y=2x2-4x-1化为y=2（x+h）2+k的形式，则h=
，k=
.
10.
关于x的方程a（x+h）2+k=0（a，h，k均为常数，a≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程a（x+h-1）2+k=0的解是
.
11.
用配方法解方程：
（1）2x2-4x-6=0；
（2）3x2-6x-1=0；
（3）x2-5x-=0.
12.
在实数范围内定义一种新运算“★”，其规则为a★b=ab+a+b.
根据这个规则，请你求方程x★（x+1）=11的解.
13.
先阅读后解题.
若m2+2m+n2-6n+10=0，求m和n的值.
解：m2+2m+1+n2-6n+9=0
即（m+1）2+（n-3）2=0
∵（m+1）2≥0，（n-3）2≥0
∴（m+1）2=0,（n-3）2=0
∴m+1=0，n-3=0
∴m=-1，n=3
利用以上解法，解下列问题：
已知x2+5y2-4xy+2y+1=0，求x和y的值.
B组
自主提高
14.
我们知道：对于任何实数x，
①∵x2≥0，∴x2+1＞0；
②∵（x-）2≥0，∴（x-）2+＞0.
模仿上述方法解答下列问题：
（1）求证：对于任意实数x，均有2x2+4x+3＞0；
（2）求证：不论x为何实数，多项式3x2-5x-1的值总大于2x2-4x-2的值.
15.
在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2-12x-1=0可化成（2x）2-6×2x-1=0，
移项，得（2x）2-6×2x=1.
配方，得（2x）2-6×2x+9=1+9，
即（2x-3）2=10.
由此可得2x-3=±.
∴x1=，x2=
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方.
你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
参考答案
2.2
一元二次方程的解法（第3课时）
【课时训练】
1—5.
DABBA
6.
（x+）2=
7.
3或-5
8.
或
9.
-1
-3
10.
x1=-2，x2=3
11.
（1）x1=3，x2=-1
（2）x=
（3）x=
12.
根据规则，由x★（x+1）=11，得x（x+1）+x+（x+1）=11，即x2+3x=10.
配方，得x2+3x+（）2=10+（）2，即（x+）2=.
∴x+=±=±，即x1=-+=2，x2=--=-5.
13.
∵x2+5y2-4xy+2y+1=0，∴（x-2y）2+（y+1）2=0，∴x-2y=0，y+1=0，x=-2，y=-1.
14.
（1）∵对于任意实数x，（x+1）2≥0，∴2x2+4x+3=2（x2+2x）+3=2（x2+2x+1）+1=2（x+1）2+1≥1＞0.
（2）∵3x2-5x-1-（2x2-4x-2）=3x2-5x-1-2x2+4x+2=x2-x+1=（x-）2+＞0，∴多项式3x2-5x-1的值总大于2x2-4x-2的值.
15.
不同意晓强说法.
当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方.(共17张PPT)
2.2
一元二次方程的解法(4)
★一除、二移、三配、四开、五解.
“配方法”解方程的基本步骤：
4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
5、解一元一次方程，求出方程的两个解。
用配方法解下列一元二次方程
你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
用配方法解一般形式的一元二次方程
把方程两边都除以
解:
移项，得
配方，得
即
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
即
一元二次方程的求根公式
(a≠0,
b2-4ac≥0)
当b2-4ac≥0时，
当b2-4ac＜0时，
方程ax2+bx+c=0无实数根。
一般地,对于一元二次方程
,
如果
,那么方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，我们可以
由一元二次方程的系数
的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列一元二次方程:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
4、写出方程的解x1与x2.
2、求出b2-4ac的值.
3、代入求根公式
:
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、用公式法解下列方程
做一做
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程有两个不相等的实数根；
当
时，方程有两个相等的实数根；
观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？
解方程:
这种解法是不是解这两个方程的最好方法
你是否还有其它方法来解
动手试一试吧！
你能编一个有解的一元二次
方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
鲜花为你盛开，你一定行！
2、m取什么值时，方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数根；
合作探索
3、关于x的一元二次方程x -mx-5=0。
当m满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
思考：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)。
当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？(共13张PPT)
（a≠0）
1、一元二次方程的定义
2、一元二次方程的一般式：
3、一元二次方程的根的含义
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
复习回顾一
复习回顾二
因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式
主要方法:
(1)提取公因式法:
(2)公式法:
a2－b2=(a+b)(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a2－ab=a(a－b)
请利用因式分解法解下列方程：
（1）x2－3x＝0;
(2)
25x2=16
解：（1）x（x-3）=0
∴
x=0或x-3=0
∴
x1=0，
x2=3
（2）移项，得
25x2-16=0
（5x+4）（5x-4）=0
∴x1=-0.8，
x2=0.8
∴
（5x+4）=0或（5x-4）=0
因式分解法的基本步骤：
3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、将方程的左边分解因式；
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
右化零 左分解
两因式 各求解
简记歌诀：
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
AB=0
A=0或B=0
小明
小亮
例2
用因式分解法解下列一元二次方程
(1)(x－5)(3x－2)＝10
(2)(3x－4)2=(4x－3)2
练习1：用因式分解的方法解下列方程：
解一元二次方程
解：移项，得
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
∴x1=x2=
∴(x
－
)2=0,
即
x2
－2
x+(
)2=0.
解
移项，得
x2
－2
x+2=0,
例3
解方程
练习2：用因式分解的方法解下列方程:
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
小
结(共11张PPT)
用配方法解一元二次方程:
2x2+6x+1=0
★配方法解一元二次方程：
一除、二移、三配、四化、五解.
用配方法解一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0
(a≠0)
x=
例1.用公式法解方程2x2-5x+3=0
解:
a=2
b=-5
c=
3
∴
b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
∴
x
=
=
=
即
x1=
-
3
用公式法的一般步骤：
求根公式
:
X=
4、写出方程的解：
x1= ,
x2=
3、代入求根公式
:
X=
(a≠0,
b2-4ac≥0)
①
②
③
④
x2=
1、方程3
x2
+1=2
x中，
b2-4ac=-----
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0
有两个相等的实数根，则n=------.
动手试一试吧！
0
-1或4
3、练习:用公式法解方程
（1）
x2
-
x
-1=
0
（2）
x2
-
2
x+2=
0
（3）X(
X-1)=(X-2)2
（x1
=
1x2
=-
--）
（x1
=
x2
=
）
2
3
（x1
=
4,x2
=2）
自编一个有解的一元二次方程，让你的同桌解一解吧！
再试一试吧！
求根公式
:
X=
解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
若
b2-4ac>0 则原方程有两个不相等的实数根；
理一理：
若
b2-4ac=0 则原方程有两个相等的实数根；
若
b2-4ac>0 则原方程没有实数根；
m取什么值时，方程
x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？2.2
一元二次方程的解法（第4课时）
课堂笔记
1.
当
≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是
.
利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根.
这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
2.
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2-4ac＞0
；b2-4ac
=
0方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；b2-4ac
0方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
课时训练
A组
基础训练
1.
方程x2-2x+3=0的根的情况是（
）
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
不能确定
2.
在解方程（2y-1）2=3（2y-1）时，最简便的方法是（
）
A.
开平方法
B.
配方法
C.
公式法
D.
因式分解法
3.
已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0，下列说法正确的是（
）
A.
①②都有实数解
B.
①无实数解，②有实数解
C.
①有实数解，②无实数解
D.
①②都无实数解
4．当4c>b2时，方程x2-bx+c=0的根的情况是（
）
A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
没有实数根
D．
无法确定
5.
若关于x的一元二次方程2x（kx－4）－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是（
）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
6.
已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1＋x2）＋2bx－c（1－x2）＝0的两根相等，则△ABC为
（
C
）
A．
等腰三角形
B．
等边三角形
C．
直角三角形
D．
任意三角形
7.
在方程2x2+1=5x中，a=
，b=
，c=
，b2-4ac=
.
8.
3x2-2x+1=0中，b2-4ac的值是
.
9．
（本溪中考）关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
.
10.
用公式法解下列方程：
（1）x2-9x+7=0；
（2）2x2-6x-1=0；
（3）25x2+10x+1=0.
11.
用适当的方法解方程：
（1）x2=1；
（2）x2+2x=99；
（3）3x2+1=4x.
（4）（x+1）（x-）=-x
12.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=0.
即ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），这样我们可以在实数范围内分解因式.
例：分解因式2x2+2x-1
解：∵2x2+2x-1的根为x=即x1=，x2=
∴2x2+2x-1=2（x-）（x-）
=2（x-）（x+）
试仿照上例在实数范围内分解因式：
3x2-5x+1.
B组
自主提高
13．
等腰△ABC的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（
）
A．
9
B．
10
C．
9或10
D．
8或10
14.
已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+2=0有解，则k的取值范围是
.
15.
已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.
参考答案
2.2
一元二次方程的解法（第4课时）
【课堂笔记】
1.
b2-4ac
x=
2.
b2-4ac
方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根
=
＜
【课时训练】
1—5.
BDBCB
6.
C
7.
2
-5
1
42
8.
-8
9.
k<2且k≠1
10.
（1）x=
（2）x=
（3）x1=x2=-
11.
（1）x=±
（2）x1=-11，x2=9
（3）x1=1，x2=
（4）x1=-2，x2=
12.
∵3x2-5x+1=0的根为x=
∴3x2-5x+1=3（x-）（x-）
13.
B
14.
0≤k≤且k≠1
15.
（1）证明：∵=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即＞0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得m=2.
将m=2代入原方程，得x2-4x+3=0.
解得x1=1，x2=3.
∴方程的另一根为3.
①当该直角三角形的两直角边长分别是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为=，此时该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的一条直角边和斜边长分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为=2，此时该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.
【点拨】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后把m值代入原方程，通过解方程求出方程的另一个根为3.
分类讨论：①当该直角三角形的两直角边长分别是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的一条直角边和斜边长分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2，再根据三角形的周长公式进行计算.(共9张PPT)
2.2一元二次方程的解法(2)
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x+a）2=b（b≥0）。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
x2+bx+
=
-c
+
b
2
(
)2
b
2
(
)2
即：
(x+
)2=
b
2
b2-4c
4
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
③当
b2-4c>0
时，就可以通过开平方法求出方程的根.
做一做
解下列一元二次方程:
1.x2-
6x=-
8
2.x2=10x
-
30
3.-
x2+5x+6=0
试一试
解方程
5x2=10x+1
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。
例3
用配方法解下列一元二次方程
(1)
2x2+4x-3=0
(2)
3x2-8x-3=0
解：方程两边同除以2，得
解：方程两边同除以3，得
x2-8/3x-1=0
x2+2x-3/2=0
移项，得
x2+2x=3/2
移项，得
x2-8/3x=1
方程两边都加上1，得
方程两边都加上16/9，得
x2+2x+1=5/2
x2-8/3x+16/9=25/9
即：(x+1)2=5/2
即：（x-4/3)2=25/9
∴x-
4/3=
5/3
或x-
4/3=-
5/3
∴x1=
3
或x2=
-1/3
∴x+1=
或x+1=-
5
5
∴x1=
-1+
或x2=
-1-
5
5
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
4.用开平方法，解得答案。
1.方程两边同时除以a,得
x2+
x+
=0
b
a
c
a
2.移项，得
x2+
x=
-
c
a
b
a
3.方程两边都加上(
)2
，得
x2+
x+(
)2=
b
2a
b
2a
b
a
b2-4ac
4a2
练一练
1.用配方法解下列方程:
2x2+6x+3=0
2x2-7x+5=0
练一练
2.用配方法解下列方程:
0.2x2+0.4x=1
x2
-
x
-
=0
-
3n=0
3
4
1
2
1
8
n(n-1)
2
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
4.用开平方法，解得答案。
1.方程两边同时除以a,得
x2+
x+
=0
b
a
c
a
2.移项，得
x2+
x=
-
c
a
b
a
3.方程两边都加上(
)2
，得
x2+
x+(
)2=
b
2a
b
2a
b
a
b2-4ac
4a2
小结2.2
一元二次方程的解法（第2课时）
课堂笔记
1.
一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义，可得x1=，x2=-.
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
课时训练
A组
基础训练
1.
方程（x-3）2=16的解是（
）
A.
x1=x2=3
B.
x1=-1，x2=7
C.
x1=1，x2=-7
D.
x1=-1，x2=-7
2.
方程（x-1）2=2的根是（
C
）
A.
-1，3
B.
1，-3
C.
1-
，1+
D.
-1，+1
3.
如果x=-3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（
）
A.
3
B.
-3
C.
0
D.
1
4.
下列解方程的结果正确的是（
）
A.
x2=-11，解得x=±
B.
（x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3
C.
x2=7，解得x=±
D.
25x2=1，解得25x=±1，所以x=±
5.
方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（
）
A.
（x+3）2=14
B.
（x-3）2=14
C.
（x+6）2=
D.
（x+3）2=4
6.
将下列各式配方：
（1）x2-4x+（
）=（x-
）2；
（2）x2+12x+（
）=（x+
）2；
（3）x2-x+（
）=（x-
）2；
（4）x2+2x+（
）=（x+
）2.
7.
方程3（x-1）2=6的解为
.
8．
已知x2-4x+4+y2+6y+9=0，则x-y的值为
.
9.
王涛利用电脑设计了一个程序：当输入实数对（x，y）时，会得到一个新的实数x2+y-1，例如输入（2，5）时，就会得到实数8（即22+5-1=8）.
若输入实数对（m，2）时得到实数3，则m=
.
10.
关于x的方程（x+h）2+k=0（h，k均为常数）的解是x1=-3，x2=2，则方程（x+h-3）2+k=0的解是
.
11.
用开平方法解下列方程：
（1）9x2-16=0；
（2）-（x-1）2=-3.
12.
用配方法解方程：
（1）x2-4x-5=0；
（2）-x2+3x-2=0；
（3）x2＝2x+4.
B组
自主提高
13．
求证：代数式x2-5x+7=0的最小值为.
14.
已知三个连续奇数的平方和是251，那么这三个数的积是多少？
15.
已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个三角形的面积．
参考答案
2.2
一元二次方程的解法（第2课时）
【课时训练】
1—5.
BCACA
6.
（1）4
2
（2）36
6
（3）
（4）2
7.
x=1±
8.
5
9.
±
【点拨】根据题意，得m2+2-1=3，即m2=2.
解得m=±.
10.
x1=0，x2=5
11.
（1）移项，得9x2=16.
方程两边同除以9，得x2=.
解得x1=，x2=-.
（2）将原方程整理，得（x-1）2=.
两边开平方，得x-1=±=±.
移项，得x=1±.
即原方程的解为x1=，x2=.
12.
（1）x1=5，x2=-1
（2）x1=1，x2=2
（3）x=±
13.
x2-5x+7=（x-）2＋≥，∴最小值为.
14.
设中间的数为x，则另外两个数分别为x-2和x+2.
根据题意，得（x-2）2+x2+（x+2）2=251.
整理，得x2=81.
∴x=±9.
当x=9时，x（x-2）（x+2）=693；当x=-9时，x（x-2）（x+2）=-693.
【点拨】设中间一个数为x，则另外两个数为x-2和x+2，根据题意可得关于x的一元二次方程，解方程即可.
15.
由x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5.
∵等腰三角形的底边长为8，且当x＝4时，边长为4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴x＝5.
∴高为3.
∴三角形的面积为12.2.2
一元二次方程的解法（第1课时）
课堂笔记
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
课时训练
A组
基础训练
1.
已知AB=0，那么下列结论正确的是（
）
A.
A=0
B.
A=B=0
C.
B=0
D.
A=0或B=0
2.
一元二次方程x2-2x=0的根是（
）
A.
x1=0，x2=-2
B.
x1=1，x2=2
C.
x1=1，x2=-2
D.
x1=0，x2=2
3.
方程（x-2）（x+3）=-6的两根分别为（
）
A.
x=2
B.
x=-3
C.
x1=2，x2=－3
D.
x1=0，x2=-1
4.
方程x-2=x（x-2）的解是（
D
）
A.
x=0
B.
x1=0，x2=2
C.
x=2
D
.
x1=1，x2=2
5.
已知等腰三角形的三边满足方程（x-3）（x-6）=0，则它的周长为（
）
A.
9
B.
18
C.
9或18
D.
9或15或18
6.
若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是
.
7.
请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程
.
8.
解方程：
（1）x2-6x=0；
（2）4y2-16=0；
（3）9（x+1）2-16（x-2）2=0；
（4）3（4x2-9）=2（2x-3）；
（5）2x2-4x+4=0.
9.
文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下：
解方程（x-1）2=2（x-1）.
明明的求解过程为：
解：方程两边同除以x-1，得x-1=2第1步
移项，得x=3第2步∴方程的解是x1=x2=3第3步
文文说：你的求解过程的第1步就错了…
（1）文文的说法对吗？请说明理由；
（2）你会如何解这个方程？给出过程.
10.
在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b=（a-1）2-b2.
根据这个规则，求方程（x+3）※5=0的解.
11.
若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx-9n=0的根，求的值.
B组
自主提高
12.
已知方程x2+px+q=0的两根分别为3或－4，则x2＋px+q可分解为
.
13.
已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-7x+10=0的根，求△ABC的周长.
14.
阅读下列材料：
对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果a+b+c=0，那么它的两个根分别为x1=1，x2=.
证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b.
将c=-a-b代入ax2+bx+c=0，得ax2+bx-a-b=0，即a（x2-1）+b（x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b）=0，∴x1=1，x2=.
（1）请利用上述结论，快速求解下列方程：
①5x2-4x-1=0，x1=
，x2=
；
②5x2+4x-9=0，x1=
，x2=
.
（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1.
参考答案
2.2
一元二次方程的解法（第1课时）
【课时训练】
1—5.
DDDDD
6.
-2
7.
答案不唯一.
如：（x-1）（x+2）=0
8.
（1）x1=0，x2=6
（2）y1=2，y2=-2
（3）x1=，x2=11
（4）x1=，x2=-
（5）x1=x2=
9.
（（1）文文的说法正确.只有当x-1≠0时，方程两边才能同除以x-1；
（2）移项得（x-1）2-2（x-1）=0，（x-1）（x-1-2）=0，解得：x1=1，x2=3.
10.
x1=3，x2=-7
11.
把x=n代入得n2+mn-9n=0，n（n+m-9）=0，∵n≠0，∴n+m-9=0，∴m+n=9，∴=3.
12.
（x-3）（x+4）
13.
7
将方程x2-7x+10=0的左边因式分解，得（x-2）（x-5）=0，故x1=2，x2=5.
因为2+3=5，则第三边长为5不合题意，应舍去，所以只取第三边的长为2，此时，△ABC的周长为2+2+3=7.
14.
（1）①1
-
②1
-
（2）答案不唯一.
如：3x2-2x-1=0和-2x2-3x+5=0(共13张PPT)
等腰
(公式法)
知识回顾：
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成
5.开平方，求解
“配方法”解方程的基本步骤：
★一除、二移、三配、四化、五解.
用配方法解一元二次方程
2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
解:把方程两边都除以
a,得x2
+
x+
=
0
解得
x=
-
±
∴当b2-4ac≥0时,
x
+
=±
∵4a2＞0
即
(
x
+
)2
=
移项，得
x2
+
x=
-
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法。
配方，得
x2
+
x+(
)2
=-
+(
)2
一般地,对于一元二次方程 ,
如果 ,那么方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数
的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2
b=5
c=
-3
∴
b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
∴
x
=
=
=
即
x1=
-
3
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
求根公式
:
X=
4、写出方程的解：
x1= ,
x2=
3、代入求根公式
:
X=
(a≠0,
b2-4ac≥0)
(a≠0,
b2-4ac≥0)
①
②
③
④
x2=
例2
用公式法解方程：
x2
–
x
-
=0
解：方程两边同乘以
3
得
2
x2
-3x-2=0
求根公式
:
X=
∴x=
即
x1=2,
x2=
-
例3
用公式法解方程：
x2
+3
=
2
x
解：移项，得
x2
-2
x+3
=
0
a=1，b=-2
，c=3
b2-4ac=(-2
)2-4×1×3=0
∴x=
x1
=
x2
=
=
=
=
=
当
时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
b2-4ac=0
a=2，b=
-3，c=
-2.
∴b2-4ac=(-3)
2-4×2×(-2)=25.
当 时，方程没有实数根.
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
方程根的情况：
1、方程3
x2
+1=2
x中，
b2-4ac=-----
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0
有两个相等的实数根，则n=------.
动手试一试吧！
0
-1或4
3、练习:用公式法解方程
（1）
x2
-
x
-1=
0
（2）
x2
-
2
x+2=
0
（3）X(
X-1)=(X-2)2
（x1
=
1x2
=-
--）
（x1
=
x2
=
）
2
3
（x1
=
4,x2
=2）
解方程:
对于这个方程这种解法是否为最好的方法
你还有其它的方法吗
动手试一试：
求根公式
:
X=
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
若
b2-4ac≥0 得
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式
:
X=
(a≠0,
b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
x1= ,
x2=
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
四、计算一定要细心，尤其
是计算b2-4ac的值和代入公式
时，符号不要弄错。
三、当
b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。(共13张PPT)
1、一元二次方程的一般形式：
常数项
二次项，
二次项系数
一次项，
一次项系数
（2）开平方法
（3）配方法
（1）因式分解法
2、一元二次方程的解法：
一般地，对于形如：
其中
a,b
是非负数,
这样的一元二次方程，可用开平方法
直接得出它的两个解或者将它转化为两个一元一次方程进行求解.
开平方法解一元二次方程：
移项:把常数项移到方程的右边;
求解:解一元一次方程;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
配方法解一元二次方程的基本步骤:
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
例6、用配方法解下列一元二次方程
(1)
2x2+4x-3=0
(2)
3x2-8x-3=0
★一除、二移、三配、四开、五解.
完善“配方法”解方程的基本步骤：
4、利用开平方法将方程两边开平方.
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
5、求出原方程的两个解.
用配方法解
时,配方结果正确的是(
)
1.用配方法解下列方程:
（1）2x2+6x+3=0
（2）2x2-7x+5=0
2.用配方法解下列方程:
例7
已知
是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。
已知
是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。(共10张PPT)
解方程:
还有其它解法吗？
一般地，对于形如
（a≥0）的方程，根据平方根的意义，可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
解下列方程:
这种方程怎样解？
变形为
的形式．（ａ为非负常数）
变形为
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
1.选择适当的方法解下列方程:
(1)x2-81＝0.
(2)2x2＝50.
(3)(x+1)2＝4.
2.用配方法解下列方程:
(1)x2+12x＝-9.
(2)-x2+4x-3＝0.
c
例4用开平方法解下列方程
(1)3x2-48=0(2)(2x3)2=7
例5用配方法解下列一元二次方程
(1)x2+6x
5x
温馨提示方程两边都要加上一次项系数一半的平方
答.(m=3√0,x=3-10.
(2)x1=1,x2=-6
用配方法解一元二次方程的步骤
多项:把常数项移到方程的右边
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方根据平方根意义,方程两边开平方
求解:解一元一次方程
定解:写出原方程的解(共9张PPT)
探索下列方程的求解方法：
完善“配方法”解方程的基本步骤：
把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
把常数项移到方程的右边;
把方程的左边配成一个完全平方式;
利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
练一练:
用配方法解下列方程
★一除、二移、三配、四化、五解.
补充练习：
★一除、二移、三配、四化、五解.
补充练习：
★配方法解一元二次方程：
一除、二移、三配、四化、五解.
c
例6用配方法解下列
欠方程
(1)2x2+4x3=0
(2)3x2+8x3=0
解:(1)两边都除以2,得x2+2
0
2
移项,得x2+2x
配方,得x2+2x+(2)
(x+1)2
5
两边同时开平方,得x+1=±10
即x+1=10或x
√10,
1+
0
例7已知4x2+8(m+1)x+16n是一个关于x的完全平方
式,求常数n的值.(共16张PPT)
如图,工人师傅
为了修屋顶，把一梯
子搁在墙上,梯子与
屋檐的接触处到底端
的长AB=5米,墙高AC
=4米,问梯子底端点B
离墙的距离是多少
A
B
C
设BC=x,根据勾股定理，得 x2+42=52.
化简，得 x2-9=0,
∴
(x-3)
(x+3)
=0,
解得x1=3,x2=-3
(不合题意，舍去）．
另解：
∴x1=
X2=-
=3
=-3
(不合题意，舍去）．
x2=9,
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
做一做：
（１）方程
的根是
；
（２）方程 的根是
；
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
用开平方法解下列方程:
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
(1)3x2－48=0;
(2)(2x－3)2=7
做一做：
选择适当的方法解下列方程
（2）
（4）
（1）
（3）
你能将方程x2-10x+16=0转化成
的形式吗？
探讨：怎样解方程
想一想，能用你所学的因式分解法或者开平方法
解这个方程吗？
请尝试解这个方程，并把解得的结果与你的同伴交流
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
x2+2x+___=(________)2
x2-2x+___=(________)2
x2+4x+___=(________)2
x2-4x+___=(________)2
x2+6x+___=(________)2
x2-6x+___=(________)2
x2+10x+___=(________)2
x2-10x+___=(________)2
1
x
+
1
1
x
-
1
4
x
+
2
4
x
-
2
9
x
+
3
9
x
-
3
25
x
+
5
25
x
-
5
练一练:
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式
在用配方法解二次项系数是1的一元二次方程时，添
上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
常数项是一次项系数一半的平方
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例题2：
用配方法解下列一元二次方程
（1）
x2+6x=1
（2）x2=6-5x
(3)-x2+4x-3=0
移项:把常数项移到方程的右边,方程的
左边只有一次项和二次项;
配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
课堂练习
1、用配方法解下列方程：
（1）x2+12x=－9
（2）x2-4＝8x
用配方法解一元二次方程的步骤:
如何选用较简单的方法解一元二次方程？
2x2=8
等形式
（一次项系数为0）
适合选用直接开平方法
2x2+x=0等形式
（容易因式分解）
适合选用配方法
适合选用因式分解法
x2
+2x-1=0等形式
（容易配方）
X(2x+1)=0
(x2
+2x=1)
(X2=4)
1、在用配方法解
时,方程的两边应同时加上(
)
C
2、用配方法将y2-4y-3=0变形,结果是(
)
A.(y-2)2=7
B.(y-4)2=9
C.(y-2)2=3
D.(y-4)2=6
A
3、当x取何值时,代数式
x2-14x+49有最小值,最小值是多少
当
x=7
时有最小值0
用配方法说明：无论x取什么值，代数式
的值恒大于零。
提高拓展
一般地,对于形如
的方程,根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本步骤：
移项:把常数项移到方程的右边,方程的
左边只有一次项和二次项;
配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.(共11张PPT)
2.2一元二次方程的解法（1）
一元二次方程的一般式是怎样的？
复习回顾
（a≠0）
请选择：
若A×B=0则
（
）
（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
D
想一想：
结论：
若A×B=0，则
A=0或B=0。
请利用上面的结论解方程：
结论：
若A×B=0，则
A=0或B=0。
例1：解下列方程：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
因式分解法的基本步骤：
做一做：解下列一元二次方程
（1）
（2）
（3）
注意：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
因式分解法的基本步骤：
例2
解下列一元二次方程
（1）
（2）
（1）
（2）
解：
（1）化简方程，得
方程左边因式分解，得
解得
(2)移项，得
方程左边因式分解，得
即
解得
例2
解下列一元二次方程
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直
接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
因式分解法的基本步骤：
例3
解方程
解：
移项，得
即
即
解得
做一做：
（1）
（2）
（3）
（4）
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
辨一辨:下列解一元二次方程的方法对吗
解：
方程两边都除以
x，得
3x=1
解得(共15张PPT)
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：
3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、将方程的左边分解因式；
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
1、已知一个面积为81平方米的正方形，如果设此正方形的边长为x米，可列方程__________.
x2=81
2、有一块正方形草地，如果每边增加3米，则它的面积就可以达到100平方米了。设现在的正方形草地的边长为x米，可列方程
.
(x+3)2=100
问题：以上所列的方程具有什么共同特点？
1、方程左边为一个式子的平方；
2、方程右边是一个非负常数。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
例1、解下列方程:
解：
（1）移项，得
两边都除以2，得
（2）
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
解下列方程：
1、x2－81=0
2、
3、(x+1)2=4
你能用开平方法解下列方程吗
x2－10x＋
25
=
9
∵（x-5）2=9
16
0
∴x-5=±3
∴x1=8，x2=2
解：
x2-10x=-16
x2-10x+25=9
变形为
变形为
x2－10x+25=9
x2－10x+16=0
(x+b)
2
=a
的形式（ａ为非负数）
配方法
x2－10x+16=0
变形为
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
x2+2x+___=(________)2
x2-2x+___=(________)2
x2+4x+___=(________)2
x2-4x+___=(________)2
x2+6x+___=(________)2
x2-6x+___=(________)2
x2+10x+___=(________)2
x2-10x+___=(________)2
1
x
+
1
1
x
-
1
4
x
+
2
4
x
-
2
9
x
+
3
9
x
-
3
25
x
+
5
25
x
-
5
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添
上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
常数项是一次项系数的一半的平方
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式
填一填
例2、用配方法解下列一元二次方程
（1）
x2+6x=1
（2）x2+5x-6=0
（1）方程两边同加上9，得
即
即
（2）移项，得
方程两边同加上
，得
解：
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
用配方法解下列方程:
(2)－x2＋4x－3=0
（1）x2+12x=-9
先把常数项移到方程的另一边；
再在方程的两边同加一次项系数一半的平方；
3.开平方法解出方程的根。
配方法解一元二次方程的基本步骤：
二、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
一、形如x2=a(a≥0)的方程,用开平方法.
