(共11张PPT)
一元二次方程
根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
方程的判别式
当 ＞０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根
求根公式
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现
,
与方程的系数有什么关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
请根据以上的观察发现进一步猜想:方程
ax +bx+c=0(a≠0)的
,
与系数a,b,c的关系
.
=
―
─
=
─
这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？
对任意的一元二次方程，它的两根之和与两根之积与方程的系数都有这样的关系存在，就是
此定理是法国数学家韦达首先发现的，也称为韦达定理
例：已知方程５x +kx-6=0的一个根是２，求它的另一根及
k的值．
解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可知
，得到
解：设方程的两个根是x1
x2那么
x1+x2
=-—
x1.x2
=-—.
3
2
2
1
例2
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和
（2）倒数和
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2
+
x22
∴
x12+x22
=
（x1+x2）2
-
2x1.x2
=（-—）2-2（-—）=—
3
2
2
1
13
4
1
（2）—+—
=
————
=
———
=3
x1
1
x1.x2
x1+x2
x2
1
2
2
3
小结
一元二次方程根与系数的关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
谢谢观赏2.4
一元二次方程根与系数的关系（选学）
课堂笔记
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2=
，x1·x2=
.
课时训练
A组
基础训练
1.
（枣庄中考）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（
）
A．
5
B．
-1
C．
2
D．
-5
2.
下列方程中的两实数根之和为－4的是（
）
A．
x2+2x-4=0
B．
x2-4x+4=0
C．
x2+4x+10=0
D．
x2+4x-5=0
3.
已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是
（
）
A.
5
B.
-1
C.
5或-1
D.
-5或1
4.
如果a、b是方程x2-3x+1=0的两根，那么代数式a2+2b2-3b的值为（
）
A．
6
B．
－6
C．
7
D．
－7
5.
已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
）
A．
B．
3
C．
6
D．
9
6.
已知方程x2-3x+1=0的两个根为α，β，则α+β=
，αβ=
.
7.
写出一个以2-和2+为两根且二次项系数为1的一元二次方程
.
8.
已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为2，则k=
.
9.
甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项系数，得根为2和7；乙看错了常数项，得根为1和-10，则原方程为
.
10.
（日照中考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2015=
.
11.
已知x1，x2是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程.
求：
（1）x12+x22；
（2）+；
（3）（x1+3）（x2+3）.
12.
已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边a，b的长分别是关于x的方程x2-（3m+1）x+6m=0的两个根，求△ABC的周长．
B组
自主提高
13.
已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且=2，求m的值，并求出此时方程的两根．
14.
已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+2）x+m2=0的两个实数根.
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若（x1-2）（x2-2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
参考答案
2.4
一元二次方程根与系数的关系（选学）
【课堂笔记】
-
【课时训练】
1—5.
BDBAB
6.
3
1
7.
x2-4x+1=0
8.
-2
9.
x2+9x+14=0
10.
2026
11.
（1）56
（2）-5.6
（3）17
12.
12
13.
（1）证明：∵=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4.
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-（m+3），x1·x2=m+1.
∵=2，∴（x1-x2）2=（2）2，∴（x1+x2）2-4x1x2=8，∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8，∴m2+2m-3=0，解得：m1=-3，m2=1.当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：x1=，x2=-.
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=-2+，x2=-2-.
14.
（1）当m=0时，方程即为x2-4x=0，解得x1=0，x2=4.
（2）∵（x1-2）（x2-2）=41，∴x1·x2-2（x1+x2）=37，又∵x1+x2=2（m+2），x1·x2=m2.
∴m2-4（m+2）=37，整理得m2-4m-45=0，解得m1=9，m2=-5，当m1=9时，方程为x2-22x+81=0，＞0，与题意相符，当m2=-5时，方程为x2+6x+25=0，＜0（舍去）.
（3）①当9为底边时，此时方程x2-2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，=4（m+2）2-4m2=0，解得：m=-1，∴方程变为x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81-18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2-34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，∴不能组成三角形；当m=3时方程变为x2-10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19.(共12张PPT)
小竞赛
推导
例1
例2
结论
小结
探究
小测验
知识小竞赛
设
x1
、
x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
x1
·
x2
x1
+
x2
一元二次方程
5
6
2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间
这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任
何一元二次方程都具有的呢？
1、根据所填写的表格，你能发现x1
+
x2
，
x1
·
x2与方
程
的系数有什么关系？
返回
公式的推导过程
返回
结论
返回
解：设方程的另一个根为x1，那么
返回
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1
x2，那么
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
2、已知方程
的一个根是
1，
求它的另一个根和m的值。
3、设
x1
、
x2是方程
利用
根与系数的
关系，求下列各式的值：
返回
结论
特例
返回
公式的特例
公式的应用
返回
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m
=____。
2、设
X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2
=
___
,X1X2
=
____，
X12+X22
=
(
X1+X2)2
-
___
=
___
(
X1-X2)2
=
(
___
)2
-
4X1X2
=
___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0
（
）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____
。
X1+X2
2X1X2
-3
4
1
14
12
×
2和-1
基础练习
（还有其他解法吗？）
一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{
