5.3
正方形（第1课时）
课堂笔记
有一组
相等，并且有一个角是
的平行四边形叫做正方形；有一组邻边相等的
是正方形.
有一个角是直角的
是正方形.
课时训练
A组
基础训练
1.
下列命题错误的是（
）
A．
有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
B．
有一组邻边相等的矩形是正方形
C．
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．
有一个角是直角的菱形是正方形
2.
如图，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形.
则（
）
A.
BD=AC
B.
BD⊥AC
C.
∠HEF=90°
D.
AB=CD
3.
（威海中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（
）
A.
BC=AC
B.
CF⊥BF
C.
BD=DF
D.
AC=BF
4.
顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（
）
A．
互相垂直但不相等
B．
相等且互相垂直
C．
相等但不互相垂直
D．
互相平分
5.
如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．
如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（
）
A．
22.5°角
B．
30°角
C．
45°角
D．
60°角
6.
如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（
）
A．
甲、乙都可以
B．
甲、乙都不可以
C．
甲不可以，乙可以
D．
甲可以，乙不可以
7．
黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是
.
8.
如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是
.
9.
已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是
.
10.
菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是
（只填一个条件即可）.
11.
如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.
12.
如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE=OD，连结AE，BE.
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形.
B组
自主提高
13.
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE.
连结DE，DF，EF.
在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是（
）
A.
①②③
B.
①④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤
14.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一动点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连结CD、BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D运动到AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D运动到AB中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
参考答案
5.3
正方形（第1课时）
【课堂笔记】
邻边
直角
矩形
菱形
【课时训练】
1—5.
ACDBC
6.
A
7.
正方形
8.
有一组邻边相等的矩形是正方形
9.
答案不唯一.
如AB=BC等
10.
答案不唯一.
如AC=BD等
11.
∵∠FEC=∠ECD=∠CDF=90°，∴四边形ECDF是矩形.
∵CF平分∠ACB，FD⊥AC，FE⊥BC，∴EF=DF，∴四边形ECDF是正方形.
12.
（1）∵AO=BO，DO=EO，∴四边形ADBE是平行四边形.
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴ADBE是矩形.
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形.
13.
B
【点拨】此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连结CF，由SAS定理可证△CFE和△AFD全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形，DE=DF，当DF与AC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE的最大面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
14.
（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.5.1
矩形（第1课时）
课堂笔记
有一个角是
的
叫做矩形；矩形的
个角都是直角；矩形的对角线
；矩形既是
对称图形，又是
对称图形，它至少有
条对称轴.
课时训练
A组
基础训练
1.
下面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（
）
A.
等腰三角形
B.
平行四边形
C.
等边三角形
D.
矩形
2.
已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1∶2，那么这个矩形的面积是（
）
A.
24cm2
B.
32cm2
C.
48cm2
D.
128cm2
3.
矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是（
）
A.
对角线相等
B.
对边相等
C.
对角相等
D.
对角线互相平分
4.
如图，E为矩形ABCD的边BC的中点，且BE=AE，AE=2，则AC等于（
）
A.
3
B.
2
C.
D.
5.
如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE等于（
）
A.
15°
B.
22.5°
C.
30°
D.
45°
6.
如图，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（
）
A.
29°
B.
32°
C.
22°
D.
61°
7.
如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为
.
8.
如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．
若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．
当∠α为
度时，两条对角线长度相等.
9.
如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连结DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连结AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为
.
10.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，则EF的最小值为
.
11.
如图，矩形ABCD，P是矩形外一点，且PA=PD，求证：PB=PC.
12.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE的度数为15°.
则请求出∠COD的度数.
13.
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.
B组
自主提高
14.
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=
.
15.
如图所示，将矩形ABCD沿BD对折，使点C落在C＇处，BC＇交AD于点E，AD＝8，AB＝4.
（1）求证：BE＝ED；
（2）求△BED的面积.
参考答案
5.1
矩形（第1课时）
【课堂笔记】
直角
平行四边形
四
相等
中心
轴
两
【课时训练】
1—3.
DBA
4.
D
由于AE=2，BE=AE，∠B=90°，可知AB=.
又E为BC中点，BE=1，∴BC=2.
在Rt△ABC中运用勾股定理可知AC=.
故选D.
5.
A
6.
B
【点拨】∠ABE=90°-2∠DBC=32°.
故选B.
7.
6
8.
90
9.
2
10.
2.4
11.
∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.
∵矩形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∴∠PAB=∠PDC，∴△PAB≌△PDC（SAS），∴PB=PC.
12.
∠COD=60°
13.
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD.
∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE，∴BD=BE；
（2）∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8.
∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.
在Rt△BCD中，BC===4，∴S四边形ABED=（AB+DE）·BC=（4+8）×4=24.
14.
2.4
15.
（1）根据折叠得：∠EBD＝∠DBC，又矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED.
（2）设BE＝DE＝x，在△ABE中，（8－x）2+42=x2，解得：x=5，∴S△BED＝×5×4＝10.5.1
矩形（第2课时）
课堂笔记
有
个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的
是矩形.
课时训练
A组
基础训练
1.
下列命题中假命题是（
）
A.
有三个角都是直角的四边形是矩形
B.
对角线相等的平行四边形是矩形
C.
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.
对角线相等的四边形是矩形
2.
如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（
）
A.
AB=BE
B.
DE⊥DC
C.
∠ADB=90°
D.
CE⊥DE
3.
四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是（
）
A.
①②
B.
①③
C.
②③
D.
以上都可以
4.
矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，-3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（
）
A.
（1，-4）
B.
（-8，-4）
C.
（1，-3）
D.
（3，-4）
5．
如图，已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点.
若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（
）
A．
48
B．
24
C．
12
D．
无法计算
6.
如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连结AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=
时，四边形ABEC是矩形.
7.
在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.
你添加的条件是
（写出一种即可）.
8.
如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，则ABCD的面积为
.
9.
如图，矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长为
.
10.
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是
形，根据的数学道理是：
；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是
形，根据的数学道理是：
.
11．
如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，且EF截AB、CD所得的两对同旁内角的平分线分别相交于G，H.
求证：四边形EGFH是矩形.
12．
如图，在ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.
（1）求证：AB＝CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由.
B组
自主提高
13．
四边形四边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则顺次连结四边形各边中点所组成的四边形必是
.
14.
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF.
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
参考答案
5.1
矩形（第2课时）
【课堂笔记】
三
平行四边形
【课时训练】
1—5.
DBBAC
6.
2
7.
答案不唯一.
如：∠A=90°，AC=BD等
8.
16
9.
3
10.
（2）平行四边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）矩
有一个角是90°的平行四边形是矩形
11.
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵FG，EG分别平分∠CFE和∠AEF，∴∠GEF=∠AEF，∠GFE=∠CFE，∴∠GEF+∠GFE=90°，∴∠G=90°，同理可得∠H=90°，∵FH平分∠EFD，∴∠EFH=∠EFD，∴∠GFE+∠EFH=∠CFE+∠EFD=90°，∴四边形EGFH是矩形.
12.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵点F为DC的延长线上的一点，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，∵E为BC中点，∴BE=CE，则在△BAE和△CFE中，∠BAE=∠CFE，∠EBA=∠ECF，BE=CE，∴△BAE≌△CFE，∴AB=CF.
（2）满足BC＝AF时，四边形ABFC是矩形.
理由：由（1）得AB=CF，又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，又∵BC=AF，∴ 荀ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）
13.
矩形
14.
（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点，∴AE=DE.
又∵∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB，∴AF=DB.
∵AF=DC，∴DB=DC，即D是BC的中点.
（2）四边形ADCF是矩形.
证明：∵AF∥DC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴四边形ADCF是矩形.
【点拨】（1）利用平行得角相等，从而证明△AEF≌△DEB，由此可得BD=DC；（2）只要利用等腰三角形“三线合一”的性质说明AD⊥BC即可.5.3
正方形（第2课时）
课堂笔记
正方形的
个角都是直角，四条边
；正方形的对角线
，并且
，每条对角线平分一组
；正方形既是
对称图形，又是
对称图形，有
条对称轴.
课时训练
A组
基础训练
1.
如图，已知正方形ABCD，AC和BD交于点O，下列说法错误的是（
）
A.
AC=BD
B.
OA≠OB
C.
OA=OB，OC=OD
D.
∠BAO=45°
2.
如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（
A．
45°
B．
60°
C．
70°
D．
75°
3.
如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF．给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．
其中正确结论的序号是（
）
A．
①②③④
B．
①②④⑤
C．
②③④⑤
D．
①③④⑤
4.
如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是DC上任意一点，EG⊥BD于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（
）
A.
10
B.
4
C.
8
D.
5
5.
如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（
）
A.
8
B.
8
C.
2
D.
10
6.
边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（
）
A.
2-
B.
C.
2-
D.
2
7.
已知：如图所示，点E是正方形ABCD内一点，且AE=EB，∠ABE=60°，则∠AEC=
.
8.
如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为
.
9.
如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=
度.
10．
如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有
.
（填序号）
11.
如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG，观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系，并证明你的猜想.
12．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
（1）求证：AE＝CF；
（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.
B组
自主提高
13.
如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．
这样的图形有（
）
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
14．
如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.
参考答案
5.3
正方形（第2课时）
【课堂笔记】
四
相等
相等
互相垂直平分
对角
中心
轴
4
【课时训练】
1—5.
BCBDD
A
阴影部分的面积=两个正方形的面积和-两个正方形的重叠部分的四边形的面积，观察重叠的四边形，是由两个全等的直角三角形组成，通过计算这两个直角三角形的面积为，因此蝶形风筝的面积为1+1-2×=2-.
故选A.
7.
135°
8.
13
9.
135
10.
①②④
11.
BE=GD，BE⊥DG，延长GD交BE于点H，先证△BCE≌△DCG，得BE=DG，∠CDG=∠EBC.
∵∠CDG+∠CGD=90°，∴∠CGD+∠EBC=90°，∴∠GHB=90°，∴BE⊥GD.
12.
（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形.
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.
13.
C
14.
（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF.
（2）AE⊥DF.
设AE与DF相交于点H.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF.
又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF.
∴∠1=∠2.
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE.
∴∠3=∠4.
∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°.
∴AE⊥DF.
（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF.
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°.
∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5.
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE.
∴CE=CM，又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE=CD=BC，∴CM=CB，即M为BC中点，∴BM=MC.5.2
菱形（第1课时）
课堂笔记
一组
相等的平行四边形叫菱形.
菱形的四条边
；菱形的对角线
，并且每条对角线平分
；菱形既是
对称图形，又是
对称图形，它至少有
条对称轴.
课时训练
A组
基础训练
1.
下列特征中，菱形具有而矩形不一定具有的是（
）
A.
对边平行且相等
B.
对角线互相平分
C.
内角和等于外角和
D.
每一条对角线所在直线都是它的对称轴
2.
如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（
）
A.
DA=DE
B.
BD=CE
C.
∠EAC=90°
D.
∠ABC=2∠E
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连结DF，则∠CDF等于（
）
A.
80°
B.
70°
C.
65°
D.
60°
4.
菱形的周长为16cm，一个内角为60°，则菱形的面积为（
）
A.
16cm2
B.
8cm2
C.
4cm2
D.
16cm2
5.
如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（
）
A.
3.5
B.
4
C.
7
D.
14
6.
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
5cm
7.
在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于
.
8.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则∠AOD=
度，若AC=AB=6，则BD=
.
9.
如图，是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知每个菱形的边长为20cm，∠1=60°，则在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B间的距离是
cm.
10.
如图，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF的大小关系，并说明理由.
11.
（黄冈中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，求证：∠DHO=∠DCO.
12.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.
B组
自主提高
13.
如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24，则周长是多少？面积呢？若AE⊥CD于点E，求AE的长.
14.
已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）.
以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连结CF.
（1）如图1，当点D在边BC上时：①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？若不成立，请写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的等量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上，且点A，F分别在直线BC的异侧时，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的等量关系.
参考答案
5.2
菱形（第1课时）
【课堂笔记】
邻边
都相等
互相垂直
一组对角
中心
轴
两
【课时训练】
1—5.
DBDBA
6.
B
7.
5
8.
90
6
9.
20
10.
CE=CF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，CD=BC.
∴∠A=∠CBE，∠A=∠FDC.
∴∠CBE=∠FDC.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠CEB=∠CFD=90°，在△CDF和△CBE中，∠CDF=∠CBE，∠CFD=∠CEB，CD=CB，∴△CDF≌△CBE（AAS）.
∴CE=CF.
【点拨】本题方法多样，连结AC，利用AC平分∠DAB得解；也可由垂直联想面积，由S菱形ABCD＝AB×CE＝AD×CF得解.
11.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°.
又∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH.
∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，又DH⊥AB，∴∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO.
12.
（1）略
（2）9
13.
周长52，面积120，AE＝.
14.
（1）提示：①证△ABD≌△ACF（SAS），得∠ADB=∠AFC；②结论成立.
（2）不成立，关系为∠AFC=∠ACB-∠DAC，证△ABD≌△ACF，得∠ADC=∠AFC.
∵∠ACB=∠ADC+∠DAC.
∴∠AFC=∠ACB-
∠DAC.
（3）补全图形略，等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC或∠AFC+∠DAC+∠ACB
=180°，这两个等式的变式都行.5.2
菱形（第2课时）
课堂笔记
四条边相等的四边形是
；对角线
的平行四边形是菱形.
课时训练
A组
基础训练
1.
下列命题是假命题的是（
）
A．
四个角相等的四边形是矩形
B．
对角线相等的平行四边形是矩形
C．
对角线垂直的四边形是菱形
D．
对角线垂直的平行四边形是菱形
2.
用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（
）
A．
一组邻边相等的四边形是菱形
B．
四边相等的四边形是菱形
C．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．
每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3.
如图，顺次连结四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使EFGH是菱形，应添加的条件是（
）
A.
AD∥BC
B.
AC=BD
C.
AC⊥BD
D.
AD=AB
4.
将一张矩形纸对折再对折，如图，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是（
）
A.
矩形
B.
三角形
C.
梯形
D
.
菱形
5.
如图，已知DE∥AC，DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（
）
A.
AD平分∠BAC
B.
AB=AC且BD=CD
C.
AD为中线
D.
EF⊥AD
6.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．
设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（
）
A.
B.
2
C.
2
D.
3
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
（只需填一个）.
8.
命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是
，它是
命题.
（填“真”或“假”）
9.
如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE=3，则点P到AD的距离为
.
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.
下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.
其中正确的有
（只填写序号）.
11．
如图，将宽度为2cm的两张纸条交叉重叠在一起，得到的重叠部分为四边形ABCD.
（1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.
（2）若∠ABC＝45°，求四边形ABCD的面积.
12.
如图在ABCD中，O为AC的中点，过O作EF⊥AC交AD，BC于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.
B组
自主提高
13.
如图，在平面直角坐标系中，A点与B点关于x轴对称并且点A的坐标为（，1），平面内是否存在点N，使以O，A，B，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件N点的坐标为
.
14.
在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若四边形EHFG是矩形，则ABCD应满足什么条件？（不需要证明）；
（3）若四边形EHFG是菱形，则ABCD应满足什么条件？（不需要证明）.
参考答案
5.2
菱形（第2课时）
【课堂笔记】
菱形
互相垂直
【课时训练】
1—5.
CBBDC
6.
B
7.
答案不唯一.
如：AB=BC等
8.
对角线互相垂直的四边形是菱形
假
9.
3
10.
①②③④
【点拨】由两组对边互相平行得到说法①正确；根据矩形的定义得说法②正确；根据菱形的判定定理得说法③④正确.
11.
（1）四边形ABCD是菱形，用面积法说明邻边相等；
（2）四边形ABCD的面积＝4cm2.
12.
先证△AOE≌△COF，得OE=OF，又∵AO=CO，∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AC⊥EF，∴AFCE是菱形.
13.
（0，2）、（0，-2）、（2，0）
14.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB=CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足AB=2AD时，平行四边形EHFG是矩形；
（3）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形.
