1.1
从自然数到有理数（1）
【教学目标】
知识目标：1．理解自然数、分数的产生和发展的实际背景。
2．通过身边的例子体验自然数与分数的意义和在计数、测量、标号和排序等方面的应用。
能力目标：会运用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题，并从实际中体验由于需要而再次将数进行扩充的必要性。
情感目标：1．通过同学之间的交流、讨论，以面对面互动的形式，完成合作交流，培养良好的与人合作的精神，感受集体的力量，体验成功的喜悦。
2．从具体的例子使学生感受数学来源于生活，生活离不开数学，从而增加学习数学的兴趣。
【教学重点、难点】
重点：自然数和分数的意义及运用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。
难点：用自然数、分数（小数）的计算解决简单的实际问题。
【教学过程】
一、新课引入
小学里，我们学习了自然数和分数，这节课我们就来回顾一下这部分的内容：从自然数到分数。
二、新课过程
用多媒体展示杭州湾大桥效果图，并显示以下报道：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。
师问：你在这段报道中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？
学生很快解决这两个问题之后，由上面这几个数，师生共同得出自然数的几个应用：
⑴属于计数如8万辆、5年后、6车道
⑵表示测量结果如全长36千米
⑶表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等
显示以下练习让学生口答
下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？
（1）2002年全国共有高等学校2003所。
（标号和排序
计数）
（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序
标号和排序）
（3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。
（测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）
做完练习之后师：随着生活和生产的需要，自然数已经不能满足实际需要了。如
（1）小华和她的7位朋友一起过生日，要平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？（）
（2）小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？（1.68米）
由于分配和测量等实际需要而产生了分数（如第（1）题）和小数（如第（2）题），它们是表示量的两种不同方式，分数小数之间可以互相转化。分数可以化为小数，因为分数可以看作两个整数相除
如=3÷5=0.6，=0.333…反过来小学里学过的小数都可以化为分数，如0.31=
三、典例分析
利用自然数、分数的运算可以解决一些实际问题
例1
（多媒体展示）详见书本合作学习第1题
师：请同学们分小组进行讨论，帮助小惠合理地安排时间，在列算式之前，首先解决以下几个问题，（1）从温州出发到21：40在杭州上火车，这一段时间包括哪几部分时间？
（2）市内的交通和检票进站要花30到40分钟，这两个数据在计算时用哪个数据？（3）最迟的含义是什么？
由一学生回答，而后给出解题思路
用自然数列：
400÷100=4（时）
21时40分—4时—40分=17时
用分数列：
400÷100=4（时）
21时—4时—时=17时
由上题可以看到许多实际问题可以通过自然数和分数的运算得到解决。
例2
（多媒体展示）详见书本合作学习第2题
师：请同学们思考我们要解决的问题涉及哪几个量？他们之间有怎样的数量关系？
生：有销售总额度，发行成本，社会福利资金，中奖者奖金
他们之间的关系：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金
发行成本=15%
×
销售总额度
（1）中奖者奖金总额：4000-15%×4000-1400=2000（万元）
（2）以小组为单位进行探究活动，而后由一学生回答给出解题思路
思路1：在社会福利资金提高10%，发行成本保持不变，中奖者奖金总额减少6%的情形下:
销售总额度为：600+1400×（1＋10%）+2000×（1-6%）=4020≠4000
所以方案不可行。
思路2：在销售总额度不变的条件下，为使社会福利资金提高10%，发行成本保持不变
这时中奖者奖金总额变为：4000-1400×（1+10%）-600=1860（万元）
原来的奖金总额是2000万元，减少了（2000-1860）÷2000=7%≠6%
所以方案不可行。
思路3：销售总额度=发行成本+社会福利资金+中奖者奖金
在这个式子中，由于销售总额与发行成本保持不变，当提高的社会福利资金等于减少的中奖者奖金额时，这种方案可行，否则不可行。所以问题（2）可以用如下算式求解：2000×6%=120（万元）
1400×10%=140（万元）因为120≠140，所以方案不可行。
也可以用2000×6%-1400×10%=120-140
算式中被减数小于减数，能否用已学过的自然数和分数来表示结果？看来数还需作进一步的扩展，这就是我们下节课要讲的内容，在很多实际生活中，还存在着许多自然数、分数还不能满足人们生活和生产实际的需要的例子，请举个例子？（气温零上温度与零下温度的表示，飞机上升5米与下降5米的表示等）
课内练习见书本1和2
（注第2题首先让学生了解一米有多长，再估计）
四、探究学习
1
．由于商场在搞活动，一件衣服的价格先上涨了10%，后又下降了10%，则此时这件衣服的价格比原价是贵了还是便宜了？
五、小结
可采用先让学生谈谈本节课所学，然后教师补充的形式。本节课主要讲了自然数、分数的意义及会用自然数、分数的计算解决简单的实际问题。
六、布置作业
作业本(共16张PPT)
我们知道在人类的生活和生产实践中产生了自然数和分数。随着人类的进步和实践的需要，又会产生什么样的数呢
阿波罗11号的宇航员登上月球后不得不穿着既防寒又御热的太空服。因为月球表面白天气温高达零上123℃，夜晚低至零下233℃.
为了表示一对相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，来表示大于零的数，如＋
20
，
＋123
等，这样的数叫做正数；把另一种与之意义相反的量规定为负，来表示小于零的数，如—
5
，—
233
等，这样的数叫做负数.
特别注意：“+”可以省略，
“－”不可以省略！
在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到具有相反意义的量，如：
温度有“零上”和“零下”
路程有“向东”和“向西”
水位变化有“升高”和“降低”
经营情况有“盈利”
和“亏损”
具有相反意义的量的含义：一是两个量，数字部分可以不相等；二是必须要具有相反的意义，缺一不可。
……
填空:
1.规定盈利为正,某公司去年亏损了2.5万元,记作________万元,今年盈利3.2万元,记作_______万元;
2.规定海平面以上的海拔高度为正.新疆乌鲁木齐市高于海平面918米,记作海拔___________米;吐鲁番盘地最低点低于海平面155米,记作海拔___________米.
－2.5
+3.2
+918
－155
(1)汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正。汽车向北行驶75km，记做______km（或____km），汽车向南行驶100km，记做________km;
(2)如果向银行存入50元记为50元，那么－30.50元表示______________________；
(3)规定增加的百分比为正，增加25%记做_______，
－12%表示___________。
3.填空：
+75
75
－100
从银行取出30.50元
+25%
减少12%
数的分类
有理数
正数
负数
零
特别提醒：零既不是正数，也不是负数！
数的分类
数的分类
有理数
正整数
负整数
负分数
正数
负数
正分数
零
特别提醒：零既不是正数，也不是负数！
例
下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
-8.44，22，+
，0.33，0，-
，-9
判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。
正整数
整数
分数
正数
负数
有理数
2003
√
√
√
√
-4.9
0
-12
√ √ √
√ √ √
√ √
√ √ √
1.下面关于“0”的说法正确的是
（
）
A.是正数，也是有理数
B.是整数，但不是自然数
C.不是正数，但是自然数
D.不是整数，但是有理数
2.汽车向南行驶3km，记作
+3km；那么向
方向行驶5km，可记作－5km。
3.东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4
米，那么＋2米表示___________，物体原地不动记作________。
C
北
向东运动2米
0米
巩固练习：
4.下表是某日上海发行的部分债券行情表，试说明各债券当天涨跌情况。
名称
99国债
（1）
99国债
（2）
99国债
（3）
01通化债券
01三峡债券
涨跌/元
＋0.01
－0.05
－1.24
＋0.15
－2.01
99国债(1)__________;99国债(2)_________;
99国债(3)__________;01通化债券________;
01三峡债券___________.
涨0.01元
跌0.05元
跌1.24元
涨0.15元
跌2.01元
课堂小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量；
2、
0
既不是正数，也不是负数，它表示正数与负数的界限。
布置作业
1、作业本
2、课后练习1.1
从自然数到有理数（2）
【教学目标】
知识与能力：会判断一个给定的数是正数还是负数，会应用正、负数表示生活中具有相反意义的量，会将有理数正确分类.
过程与方法：利用学生身边熟悉的事物引入，学习有理数，运用有理数表示实际生活问题中的量；让学生经历有理数概念的形成及运用过程，领会分析、总结的方法。
情感态度与价值观：通过提供适当的情景资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中，学会交流与合作，提高创新能力；通过分析问题，解决问题，使学生体验数的发展历程.
【教学重点、难点】
重点：会应用正负数表示生活中具有相反意义的量；有理数的分类。
难点：负数的理解。
【教学过程】
一、提出问题、创设情景
议一议：小学数学中我们学过哪几类数？这些数在实际生活中有哪些应用？你能用小学已学过的数表示某一天的最高温度是零上5℃，最底温度是零下5℃吗？
看一看，说一说：本章章前图(珠穆朗玛峰与吐鲁番盆地两地海拔与气温比较)与节前图(月球表面的昼夜温度)，在图中你发现了你还不是很熟悉的数了吗？凭你的经验，你能解释这些陌生数字的意义吗？请你体验陌生数字的用处，再思考生活中哪些地方还见过这些陌生的数字？与同伴交流一下，你从中获得的体验。引导学生用小学的数学知识不够用了(具体在什么情形时不够用了),因此必须把数的内容推广。引入课题“有理数”
二、
合作讨论、探究新知
在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到具有相反意义的量，
比如：(用多媒体显示)
气温从零上6℃下降到零下3℃
汽车向东行驶2.5千米和向西行驶1.5千米
商场盈利3000万和亏损2000万
股票指数上涨100点或下降150点
试一试：请学生举出一些相反意义的量
教师讲解：为表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用过去学过的数(零除外)，如：123、8848.13等来表示，这样的数就叫做正数，正数的前面有时也可以放上“+”(读作正号)；把另一种与之意义相反的量规定为负，用过去学过的数(零除外)前面加上“-”
(读作负号)来表示，如：-233、-155、-0.1、-等，这样的数就叫做负数。
三、
解释应用、鼓励创新
1、读一读：
例1：填空并指出所填的数是正数还是负数？(多媒体显示)
若规定温度零上为正，则月球表面白天的气温可高达零上123℃，记_____℃(或_______℃)，夜晚气温可低到零下233℃，记作________℃。
若汽车向东行驶2.5千米记作＋2.5千米，则向西行驶1.5千米记作_____；汽车原地不动记作______。
某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针方向转2圈，那么-3圈表示_____________。
在某次数学质量分析中，如果某学生成绩超过班平均分5分记作+5分，那么-10分表示_________________；若班级平均分是80分，则记作-10分的同学实际得分是_______分；若班级平均分是72分，则记作-10分的同学实际得分又该是________分。
2、例2：(活动形式)由每一小组的第一位同学对他的数量的意义作一规定，然后后
面同学根据这一规定回答自己的数的含义。
3、练一练：完成书本第12页的做一做2和课内练习1
(学生独立完成，同伴间互相评价)
四、理性概括、纳入系统
议一议：引入正负数以后，我们把数的内容进行了哪些推广？
(教师引导得出正整数、负整数、正分数、负分数、有理数等)
例3：下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
-8.4，22，+，0.33，0，-，-9
试一试：你能对学过的数做出一张分类表吗？
(通过小组讨论，总结所学过的数，归纳得到有理数及分类表，做到不遗漏、不重复，培养学生的归纳总结能力)
练一练：完成书本第12页的做一做1和课内练习2
做一做：把下列各数填入相应集合的大括号内：
7，-，-9.5，，0，-2004，3.14
正数集合
{
…}
负数集合
{
…}
正整数集合{
…}
负整数集合{
…}
正分数集合{
…}
负分数集合{
…}
有理数集合{
…}
五、拓展创新、巩固概念
判断题：
水位升高0.2米的相反意义的量只有下降0.2米
(
)
整数分为正整数和负整数
(
)
非负数就是正数
(
)
正数与负数统称有理数
(
)
做一做：如图：二个圈分别表示所有正数组成的
正数集合和所有整数组成的整数集合，请写出3个分
别满足下列条件的数：
属于正数集合，但不属于整数集合的数；
属于整数集合，但不属于正数集合的数；
既属于正数集合，又属于整数集合的数
将它们分别填入图中恰当的位置，你能说出这两个圈的重合部分表示什么数的集合吗？
填一填：如图是一个正方形纸盒的展开图，请分别写出2个负整数，2个正分数，2个负分数，并把这些数分别填入六个正方形，使得按虚线折成立方体后，
相对面上的两个数是同一类型的数，并找出填数的规律。
六、归纳小结、反思提高
谈一谈：请学生回忆这节课主要学了哪些内容，你感受最深的是什么？
读一读：课本第15页的阅读材料
七、作业：
1、课本第13页作业题
(A组必做，B组大多数同学选做，C组少数学有余力的同学选做)
2、写一写：课本第14页的设计题——数的由来与发展
(可以单独一人或多人合作于一星期内完成)
正数集合
整数集合1.1
从自然数到有理数
◆教材知能精练
知识点1：自然数
1.
庆元县百山祖风景区内一吊桥长约100米，其中100米属于（
）
A．计数
B．测量
C．标号
D．排序
2.
四个同学每两个人握一次手，一共握手多少次（
）
A.8
B.4
C.6
D.10
3.
如图所示的6个数是按一定规律排列的，根据这个规律，括号内的
数应是（
）
A.27
B.56
C.43
D.30
4.
小亮在看报纸时，收集到以下信息：
（1）某地的国民生产总值列全国第五位；
（2）某城市有16条公共汽车线路；
（3）小刚乘T32次火车去北京；
（4）小风在校运会上获得跳远比赛第一名．
你认为其中用到自然数排序的有________．
5.
某种药品的说明书上，贴有如下图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是________mg～________mg．
用法用量：口服，每天30～60mg，分2～3次服．规格：□□□□□□贮藏：□□□□□□
6.
请在横线上填上适当的数．
2，5，8，11，______；1，3，6，10，______；1，2，4，7，11，______．
知识点2
分数
7.
小明测得一周的体温并登记在下表：（单位：℃）
星
期
日
一
二
三
四
五
六
周平均体温
体温（℃）
36.6
36.7
37.0
37.3
36.9
37.1
36.9
其中星期四的体温被墨汁污染，根据表中数据，可得此日的体温是（
）
A.36.7℃
B.36.8℃
C.36.9℃
D.37.0℃
8.
在中央电视台举办的青年业余歌手比赛中，8位评委给某选手所评分数如下表：
评委
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
9.0
9.1
9.6
9.5
9.3
9.4
9.8
9.2
计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分．则该选手最后得分是（
）
A.9.36
B.9.35
C.9.45
D.9.28
9.
将五个数，，，，按从大到小的顺序排列，那么排列在中间的一个数应是（
）
A.
B.
C.
D.
10.
某商品标价120元，现以标价的8折出售，则售出价为_______元．
11.
小刚用100元钱去购买钢笔和圆珠笔，若钢笔每支12元，圆珠笔每支2元，则小刚最多能买________支钢笔．
12.
一个重为10千克的大西瓜，它重量的90%是水分，将西瓜放在太阳下晒，被蒸发的水分是西瓜水分的10%，求晒后西瓜的重量．
13.
【易错题】（1）1325+540÷18×15；
（2）1.6-×（4.9-1.4）．
14．【易错题】国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%，今小王取出一年到期的本钱及利息时，缴纳了利息税19.8元，问小王1年前存入银行多少钱
15．【新情境题】假日公司的西湖一日游价格如下：
A种：成人每位160元，儿童每位40元
B种：5人以上团体，每位100元
现有三对夫妇各带1个小孩，共9人，参加西湖一日游，最少要多少钱？
16．【多变题】如图，用火柴棒按如图的方式搭三角表，搭一个三角形需3根火柴棒，如图甲，搭两个三角形需5根火柴棒，如图乙，搭三个三角形需7根火柴棒，如图丙，那么按此规律搭下去，搭10个三角形需要多少根火柴棒（
）
A.30
B.21
C.119
D.
111
17．【开放题】计算：.
◆课标能力提升
18．【趣味题】生活中常见的数字：
（1）邮政编码是_______位数，你家所在地的邮编是_______你家所在地的长途区号是_________；
（2）报警电话是_______，火警电话是________，120是_______电话，121是_______电话．
19．【学科内综合题】王丽的父亲上月从工作单位取得当月工资1200元，按照个人所得税法规定，每月的个人收入超过800元的部分要纳税，超过部分不满500元的，应按照5%的税率征收个人所得税，请你思考下面的问题：
（1）王丽的父亲该月应缴纳个人所得税多少元？
（2）如果杨洁的父亲上个月缴纳个人所得税是25元，王丽的父亲与杨洁的父亲比较，哪个人的工资高？杨洁的父亲上月的工资是多少？
20．【开放题】某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟，按3分钟计算），调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）．
根据提供的信息，完成下列表格：
通话时间（分）
4
4.2
5.8
6.3
7.1
11
调整前的话费（元）
调整后的话费（元）
（2）若通话时间为11分钟，请你设计两种通话方案（可以分几次拨打），使所需话费小于调整后的话费．
21．【探究题】小红家春天粉刷房间，雇佣了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷面积为150平方米．最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工30元（一个工人干一天是一个工）；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元．
请你帮助小红家出主意，选择方案________付钱最合算（最省）．
◆品味中考典题
22.（2007.云南）12+1=1×2=2，22+2=2×3=6，32+3=3×4=12，…，
试猜想：992+99=_____×_____=________．
23.（2007.黑龙江）如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值_________．
16
x
11
15
12
迷途知返笔记
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
参考答案
1.B
2.
C
3.B
4.
（1）（3）（4）5.
10
30
6.
14，15，16
7.
A
8.
B
9.A
10.
96
11．8
12.
9.1千克
13.
（1）1775
（2）0.2
14.
5000元
15.
720元
16.
B
17.
3.8889
18.
①6，略；②110，119，急救，天气预报
19.
（1）20元
（2）杨洁的父亲工资高：1300元
20.
（1）调整前：0.4，0.4，0.4，0.6，0.6，0.8；
调整后：0.3，0.4，0.6，0.7，0.8，1；
（2）第一次3分钟，第二次3分钟，第三次3分钟，第四次2分钟或第一次3分钟，第二次3分钟，第三次5分钟．其他符合条件的也可．
21.
按方案一付钱，则共需5×10×30=1500（元）
按方案二付钱，则共需4800×30%=1440（元）
按方案三付钱，则共需150×12=1800（元）
比较可知，选择方案二付钱最合算．
22.
99，100，9900
23.
9
27
43
29
40
(
)(共8张PPT)
这是世界上最长的跨海大桥---杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，计划在5年后建成通车，这座桥设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，将是中国大陆的第一座跨海大桥。
同学们在这段报道中你看到了哪些数？
这些数都是怎么得到的呢？
找出下列语句中用到的数，哪些属于计数和测量？哪些表示标号和排序？
（1）2002年全国共有高等学校2003所；
（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津；
（3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止，是世界第5高楼。
计数和测量：
2003，70，
368
标号和排序：
2002，1993，5，1425
（1）小明和他的5位朋友一起过生日，要平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
（2）小丽的身高是168厘米，如果改为米作单位，应怎样表示？
（3）如某班有28名男生和21名女生，则该班男生、女生人数之比是多少？
在小学里，我们已经学习了分数和小数，它们是由于测量和分配等实际需要产生的，在解答上面的问题时，你会选用哪一类数？为什么？
分数可以看作两个整数相除。分数与小数可以互化。
练一练
下列说法错误的是（
）
A．０属于自然数
B．上海地区的电话长途区号是021，
其中“021”表示标号
C．分数的分子与分母都乘以或除以
同一个数，分数的值不变．
D．百分数可以看成分母是100的分数．
C
课内练习：
1.鸟类中最大的蛋是鸵鸟蛋，一个鸵鸟蛋的质量大约是1500克。如果改用千克作单位，应该怎样表示鸵鸟蛋的质量？
2.一张课桌桌面的长与宽大约是几米？先估计，然后量一量，与你的同伴比一比，看谁的估计更准确些。请算一算，宽是长的百分之几？
3.请举一个实际例子，说明只有自然数、分数还不能满足人们生活和生产实际的需要。
布置作业
1、作业本
2、课后练习
