3．1
平方根
一、教学目标
1、通过认知冲突，感受开方运算引进的必要性，从而经历平方根概念的产生过程，感受平方运算与开平方运算的关系。
2、了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示平方根和算术平方根。
3、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求实数的平方根和算术平方根。
4、学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
二、重点与难点
重点：平方根的概念和求法。
难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示，是本节课的难点。
三、教学过程
（一）
回顾
&
思考
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是哪些？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、对于以上的问题你有什么遗憾？乘方是不是也应该有逆运算？
（二）、创设情境，设疑引新
填空：
已知底数和指数，求幂，叫乘方运算
已知指数和幂，求底数，就构成了乘方的逆运算。
观察：
求幂的运算叫乘方运算，a是x的平方幂
求底数的运算叫开方运算，X是a的平方根。
乘方和开方互为逆运算
概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根。
根据填空中的等式，请同学们说出9、1/4和0的平方根，并概括一下平方根的性质：
结论：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零有一个平方根，它是零本身；
负数没有平方根。
动脑筋
一个数的平方根的表示方法：
正数：有正负两个平方根，它们互为相反数
零：
平方根是零
负数：没有平方根
练习：说一说它们的平方根是多少？
4
，9,
0，
总结：开平方：
1、求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
2、是不是所有的数都能进行开平方运算？
不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
3、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
（三）知识应用，例题分析
例1：求下列各数的平方根：
（1）
9
（2）
（3）0.36
（4）
思考：1、表示什么意思？
2、表示什么意思？
3、－表示什么意思？
算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根,统称算术平方根.
即a的算术平方根是
练习2
例2：计算下列各式的值：
先说出下列各式的意义，再计算：
（
估计
的值在哪两个整数之间
四）小结
&
归纳
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
一个非负数a的平方根记做
正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根.
一个非负数a的算术平方根记做，0的算术平方根是0
2、平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3、开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
五）布置作业
1作业本2全效学习
一张正方形桌子的面积为
1.44
m2,则它的边长是多少？
∵
（±1.2）2=1.44
∴
±1.2叫做1.44的平方根
∵
（±2）2=4
∴
±2叫做4的平方根
则x是a的平方根。
即：如果x2=a，
即：如果x2=a，
则x是a的平方根。
（1）9的算术平方根是＿＿
概念巩固：
（3）0.01的平方根是＿＿
的算术平方根是＿＿
81
（2）
2
(－4
的算术平方根是＿＿
（4）
4
（5）算术平方根等于它本身的是＿＿
（1）
（2）
（3）
（3）
判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并加以改正。
9的平方根是
-3
(
)
4的平方根是±2
(
)
(
)
(﹣10)2没有平方根
(
)
如果x2
=
a,则
a
一定是正数。
(
)
(
)
比一比：看谁最快发现？
探究活动
每个小正方形的边长均为1,我们可以得到小正方形的面积为1.
(1)图中红色正方形的面积是多少 它的边长是多少 3.3
立方根
教学目标：
（1）了解立方根和开立方的概念，掌握立方根的性质.通过实例经历立方根概念的产生过程.
（2）会用根号表示一个数的立方根.
（3）能用开立方运算求数的立方根，体会立方与开立方运算的互逆性.
教学难点重点：
难点：立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别.
重点：是立方根的概念和开立方运算.
教学过程
创设情境，讲授新课
现在要做一个体积为8cm3的立方体模型，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？
让学生在平方根基础上试述立方根概念，然后由教师总结.
总结：一般地，一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做.如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即.其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”.（符号中的根指数“3”不能省略）
例题讲解
例1
求下列各数的立方根：
（1）27；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）0
;
解：（1）因为，所以27的立方根是3，即.
（2）因为，所以的立方根是，即.
（3）因为，所以的立方根是，即.
（4）因为，所以的立方根是，即.
（5）因为，所以0的立方根是0，即.
总结解题方法和在过程中需要注意的问题.
强调：（1）求立方根用到立方运算.（2）负数的立方根注意符号.
例2
计算：（1）
；
（2）
；
解：（1）
（2）
例3
(1),
(2)
(3)
(4)
通过例题的学习，回答问题
引导学生讨论、交流，教师再总结：每一个数a都只有一个立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.任意数a的立方根可表示为“”，读做“三次根号a”
例4选择题
4.下列各式中，正确的是（ ）
A B
C D
5.下列运算正确的是 （ ）
A B
C D
6. 下列说法中正确的是 （ ）
A 一个正数的平方根和立方根都只有一个 B 零的平方根和立方根是零
C 1的平方根与立方根都等于它本身 D 一个数的立方根与其自身相等的数只有－1
7.－125的立方根是（ ）
A ±5 B －5 C 5 D 没有意义
8.的值是 （ ）
A －4 B 4 C ±4 D 16
5
解方程：
（1）
（2）
（3）
归纳小结，布置作业
以提问的方式，先由学生小结，再有教师归纳：
1、通过本节课的学习你获得了那些知识？
2、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？
教师归纳：
（1）立方根的定义.
（2）立方根的性质：（1）；（2）；（3）
（3）立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根.
（4）平方根和立方根的区别与联系：
相同点：（1）0的平方根、立方根都有一个是0；（2）平方根、立方根都是开的结果.
不同点：（1）定义不同：（2）平方根和立方根的个数；（3）表示方法不同；（4）被开方数的取值范围不同.
3、作业：课本作业题
创新提升
(1)已知，且，求的值.
(2)一个正方体木块的体积是125，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。3.2
实数
1、教学目标
知识目标——让学生了解无理数，实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，初步学会实数的大小比较，能对实数的分类进行初步的辩认。
能力目标 ——了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法。
情感目标——通过合作探究，让学生经历无理数的产生过程；并向学生渗透“数形结合”及分类的数学思想，感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发和教育。
3、教学重点和难点
本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。
无理数的概念比较抽象,如
等无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。
二、教学方法和手段
本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生学习积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。
并结合计算器、多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。
三、学法指导
学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。
四、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
创
设情
境提
出问
题
今天，这堂课老师要跟大家一起再次探
究一下数这个王国。首先请同学们回顾一下我们认识数的过
程？生活中是否只有有理数呢？知识回顾（1）5的平方根是______
的算术平方根是_____什么叫有理数
思考，回顾、讨论并回答，归纳出
通过回顾认识数的过程，让学生体会到数的概念产生于实际需要并在实践中得到发展，也尊重了学生已有的知识与经验，为新知识引入作好辅垫，这就体现了新课标所倡导的学生学习过程是一种自我建构，自我生成的过程。
尝
试探
索
讲述古希腊数学家希伯索斯，因提出无理数的发现而被抛进大海的曲折离奇的经历。合作学习：1.利用这个面积为4的正方形,你能否折出面积为1的正方形呢 2.在第1小题的基础上，你能否折出一个面积为2的正方形呢 此时这个正方形的边长为多少？
问：
到底是多少？介绍估算的方法。利用EXCEL来估计
的值。
感慨、质疑
21学生思考、
动手、讨论。学生代表展示成果，
发言。
1
1思考、讨论、探索解决问题的方法。小组合作、讨论、猜想
激发学生学习的欲望，并感受数学家的献身精神。通过学生动手，发现
，让学生体验
是切切实实存在的，并为后面在数轴上表示
作好铺垫，分解难点。在教学中用亲切的语言鼓励学生猜想
的值，有利于提高学生的学习兴趣。通过计算机计算辅助功能，让学生亲身体验到无理数是怎样的一个数，还让学生学会了求无理数的近似值的方法。
解
析问
题
用上述方法得出一系列越来越接近
的近似值，=1.414213562373095…问：同学们，在这个探究活动中，你体验到了什么？问：
是有理数吗？引导学生用小数的观点来看每一个有理数。引导学生发现
是有理数以外的数，从而引出无理数的概念。
思考、讨论体验到
既不是有限小数，也不是无限循环小数像
这种无限不循环小数叫做无理数。
此环节旨在让学生经历无理数的概念的产生过程，感受无理数的无限不循环的特征，体验有理数与无理数的本质区别。
剖
析概
念扩
展数
集
这样的无理数大有存在。（1）提出大家接触过圆周率π。简介有关π的数学材料。（2）提出像
这样开方开不尽的数。 （3）指出有规律但不循环的数。请同学每人例举四个无理数，同桌交换判断正误。指出这些数的共同特点是无限的不循环小数。从学生的例举，引导学生发现无理数也有正负之分。无理数的产生，又一次扩大数的范围。有理数和无理数统称实数。师生共同完成实数分类表
观察、了解思考、讨论并例举如－=－1.7320508…，1.010010001…（两个1之间依次多一个0）,-等等。同桌合作，交流
明确：分类可以有不同的方法，但每一种方法都要有根据同一标准，做到既不重复也不遗漏。
让学生感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发与教育。这里利用已有的知识与经验同化和引出当前要学习的知识，使学生始终处于积极的思维，这是符合建构主义理念，也有利于本节课重点的突出，难点的突破。
课
堂练
习反
馈调
控
出示练习：在,中,属于有理数的有：
属于无理数的有：
属于实数的有：
学生口答，讨论纠正错误
遵循教材安排，根据实际情况设计练习题以随时反馈教学效果。
探
究归
纳
知识拓展把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数出示练习：填空1）
的相反数是__________
（2）
的相反数是（3）
___________
（4）绝对值等于
的数是
_________想一想如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗
自主学习并口答：与-
，π与-π的关系则=
=归纳出：在实数范围内，相反数和绝对值的概念，同样适用。
通过学生的自主学习完善知识系统。
发
展能力
出示例题例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号
连接-1.4，
，3.3，π，-
，1.5。巡视、个别辅导引导学生要注意，1、数轴的单位长度要取适当的长度2、引导学生
在数轴上的几何作图3、π在数轴上表示取它的近似值最后通过上例，借助计算机的辅助功能，问：同学们在实数与数轴上的点之间存在怎样的一种关系？
合作学习与自主学习相结合解（略）思考、讨论师生共同归纳在实数范围内、每一个数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们就说实数和数轴上的点一一对应。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
通过例题及计算机的辅助功能，比较容易的让学习了解了实数与数轴上的点一一对应，这样的设计是突破难点的较佳途径。
想一想：判断下列说法是否正确，并举例说明理由。①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③两个无理数的商可能是有理数。试一试：你能在数轴上表示出-吗？
巡视，个别辅导、展示学生的练习并给予积极性评价。
阅读题目、思考。合作学习与自主学习相结合，探索解决问题的方法。
这里设计是为了拓展一些有特殊数学需求的学生的数学思维，增强他们的自主探究、实践能力。
回顾小结布置作
业
谈一谈本节课你有何收获？布置作业：1、作业本2、全效学习
讨论、整理、口答相互补充。思考、自我评价、记录
以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构
为满足不同学生的发展需求，设计了两类作业，其中“必做题”属于基本要求，面向全体学生，巩固新知识，新方法，加深理解，“选做题”面向有特殊数学学习需求的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究、拓展学生数学思维，增强实践能力。
正整数
整数
零
有理数
负整数
正分数
分数
负分数
正有理数
有理数
零
实数
负有理数
正无理数
无理数
(无限不循
负无理数
环小数)
-1
1
A
B
1
A
2
1
-1
03.4
实数的运算
一、教学目标：
了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用。
会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数学的概念。
能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。
二、教学重点
本节的教学重点是实数的运算。
三、教学难点
本节的教学难点是用计算器将实数按要求对结果取近似值。
四、教学准备：科学计算器
五、教学流程：
导入新课：
同学们，你们想飞出地球，遨游太空吗？这是长期以来人类的一种理想，可是地球的吸引力毕竟是太大了，飞机飞得再快也得回到地面，只有当物体速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度叫第一宇宙速度，计算公式是：（千米/秒），其中千米/秒2是重力加速度。R=6370千米。是地球半径。请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？
生：（千米/秒）。
师：可见计算器对实数的运算既快又准，那么本节课我们就学习实数的运算。
练一练：
电脑显示：
由学生写出用字母表示有理数的五条运算律。
师：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
计算：＿＿
；
＿＿
；
＿＿
利用计算器计算：＿＿＿
（精确到0.01）
＿＿＿
（保留3个有效数字）
＿＿＿
（精确到万分位）
＿＿＿
（精确到0.01）
＿＿＿
（保留2个有效数字）
生：（1）
；；
（2）；；；；
（4）计算：①；
②
（由学生板演）：①
原式=
②
原式=
通过以上的练一练，由学生归纳实数的运算法则：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到有括号，则先进行括号里的运算。
议一议
例1．计算：①
（精确到0.001）
②
（结果保留4个有效数字）
生：先练习，再同桌交流计算结果。
师：写出解题的规范化：
①
按键顺序：
8
－
9
=
0.748343301
②
例2．计算：
（精确到0.01）
解：原式=
=
==18.94427197
做一做
1．
计算：①
（精确到0.01）
②
（结果保留3个有效数字）
③
（精确到0.01）
生：板演上面的3个小问题。
师：及时纠正。
2．
（结果保留3个有效数字）
生：两种解法：
解法Ⅰ：
解法
Ⅱ：
=13.22875656
=
=13.22875656
师：应给予表扬。
生：（小结）实数的运算用计算器简便、准确，最后结果必须按问题的要求取近似值，这一点要引起足够重视。
（五）轻松时刻
①的绝对值是＿＿＿
＿＿＿＿的倒数是
（）的值是 ＿＿＿＿
＿＿＿＿
实数a、b满足
则a
=
＿＿＿
，b=
＿＿＿
挑战时刻
：
已知实数x
满足，且
，试求的值？
（答案：2）
归纳小结
本节课同学们学到了哪些新知识？
布置作业
