课件18张PPT。1.1二次函数请用适当的函数表达式表示下列问题情境中
的两个变量 y 与 X 之间的关系·y =πx2(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x, 两年后王先生共得本息y元;y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)·y = (60-x-4)(x-2)这些关系中
y是x的什么函数？1、y =πx22、y = 2(1+x)23、y = (60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征?经化简后都具y=ax2+bx+c 的形式.(a,b,c是常数, )a≠0 我们把形如y=ax2+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,
称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项例如，
1、二次函数 y=-x2+58x-112 的
二次项系数为 ，
一次项系数为 ，
常数项 。
2、二次涵数y=πx2的
二次项系 ,
一次项系数 ，
常数项 。a=-1b=58c=-112a=πb=0c=01.下列函数中,哪些是二次函数?做一做:是不是是是不是2、分别说出下列二次函数的二次项系数、
一次项系数和常数项：例２:已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析试.｛待定系数法变式：已知二次函数y=ax2+bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的解析式.例：y=x2 + 2x – 3 我们把形如y=ax2+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
例1 如图， 一张正方形纸板的边长为2cm，
将它剪去4个全等 的直角三角形 (图中阴影部分 )·
设AE=BF=CG=DH=x(cm)，
四边形 EFGH的面积为y(cm2)，
求 :
(1) y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围 ;
(2)当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，
对应的四边形 EFGH的 面积，并列表表示.
3. 用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?（２）当x=3时(o其图像又是什么呢？。二次函数y=ax2的图像观察图像，回答问题：
1、你觉得图像像什么？
2、图像的开口方向和a有什么关系？
3、你觉得图像是对称图形吗？
如果是，是哪种对称图形？
4、对称轴是什么？
图像与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 函数图象画法列表描点连线00.2512.2540.2512.254 描点法用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。 这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。 这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。 对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。 二次函数y=ax2(a ≠ 0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.练习一、
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,
所求函数解析式为 y= -2x2. 2、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 。
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 。
抛物线在x轴的 方（除顶点外）。谈收获:1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.2.图像关于y轴对称,顶点是坐标原点.3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.课件18张PPT。1.2 二次函数的图象（2）二次函数y=ax2的图象及其特点？1、顶点坐标？（0，0）2、对称轴？y轴（直线x=0）3、图象具有以下特点：一般地，二次函数y=ax2 （ a≠0 ）的图象是一条抛物线；
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方（除顶点外）请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?在同一坐标系中作出二次函数y=?x2 ;y = ?(x+2)2 ;y = ?(x-2)2
做一做:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)向右平移2个单位顶点坐标(0,0)(2,0)对称轴:直线x=0直线x=2向左平移2个单位顶点坐标(0,0)(-2,0)对称轴:直线x=0直线x=-2xyo请你总结二次函数y=a(x- m)2的图象和性质. 当m>0时,向右平移当m<0时,向左平移a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=m(m,0)当m>0时,向右平移当m<0时,向左平移当k>０时向上平移当k<０时向下平移顶点坐标：（０，０）（m,0)(m,k)对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=m(m, k) 一般地，平移二次函数 的图象就
可得到二次函数的图象，m左加右减 k上加下减的值有关。 它的 形状、对称轴、顶点坐标和开口方 向与对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=m(m, k) 1、 如果抛物线 的顶点坐标
是（-1，5）则能力提高题：它的对称轴是２、 如果一条抛物线的形状与
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）
则函数关系式是能力提高题5、已知二次函数
的图象如图所示，则函数 的图象只可能是（ ）43这节课你有什么收获和体会？例2 对于二次函数
请回答下列问题：1、把函数 的图象作怎样的平移
变换，就能得到函数 的图象。2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴。用描点法在同一直角坐标系中画出函数
的图象 . 1.由 图象经过怎样平移得到2.由此你有什么发现?填空：
1、由抛物线y=2x2向 平移 个单位,
再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3。
2、函数y= 3(x - 2)2 + ?的图象。
可以由抛物线 向 平移 个单位，
再向 平移 个单位而得到的。
做一做:1、指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：课件14张PPT。1.2 二次函数的图象（3）请说出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。解：因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。例4:已知二次函数y= x2+4x–3,
请回答下列问题：画函数图象2、说出函数图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标。3、请写出如图所示的抛物线的解析式： （0，1）（2，4）xyO
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部
离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线
的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以
水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数解析式最简单？ 探究活动:ABC4m12m时，图象将发生怎样的变化？二次函数y=ax2y = a(x+m)2y = a(x+m)2 +k1、顶点坐标？（0，0）（–m，0）（ –m，k ）2、对称轴？y轴（直线x=0）（直线x= –m ）（直线x= –m ）3、平移问题？一般地，函数y=ax2的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0）平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2 +k的图象。
对于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为
y = a(x+m)2 +k的形式 ？1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：做一做:开口方向:顶点坐标：对称轴:1、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标：2. 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax2（a≠0），经过怎样的平移后得到？.这节课你有什么收获和体会？课件19张PPT。1.3二次函数的性质想一想 如果二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴的两个交点的
坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0）方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的两个根方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解就是
函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 坐标。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 存在性与 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解是否存在有关。归纳与探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存在性又与什么有关呢？b2 －4ac的正负性有关。故而：
①当b2 －4ac 时，抛物线与x轴有 交点；②当b2 －4ac 时，抛物线与x轴只有 交点；③当b2 －4ac 时，抛物线与x轴 交点。＞0 两个＝0 一个＜0 没有⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+51、抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2- 4ac﹥0b2- 4ac=0b2- 4ac<02、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个D3、二次函数y=x2＋bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？x函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：
这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a≠0）中的那一个系数决定的吗？a二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结例题探究解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5;所以函数y=－0.5x2－7x＋7.5的大致图像如图：⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解： ⑵由右图可知，
当x≤－7时， y随x 的增大而增大；当x≥－7 时，y 随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?（4）根据图象，说 出 x 取哪些值时，
① y=0; ② y<0; ③ y>0.当-15＜x＜1时当x=-15或x=1时当x＜-15或x ＞ 1时已知函数y=x2－3x－4.
⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解：∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25,
∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25);又当y=0时，
得x2－3x－4＝0的解为：
x1＝－1，x2＝4。
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, －4)⑵如右图可知:
y2＞ y1 ＞ y3课内练习体验“学数学”二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则
a__0，b__0，c__0 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个Dx-110y1、抛物线y=ax2+bx (a≠0)的顶点在第二象限，则a__0，b__0. 2、二次函数y=ax2+bx ，当a＞0，b＜0时，它的图象经过____________象限。 已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零，求m的取值范围. 大家应该很好的利用二次函数图像给我们的启迪，来解决诸多问题！已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛物线上最低点的纵坐标是 -1，且抛物线经过（0，1），求该抛物线的解析式.拓展与实践⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；⑵球在运动中离地面的最大高度。解: ⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：则：a=－0.2,k=3.5∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.⑵球在运动中离地面的最大高度
为3.5米。篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)课件8张PPT。2.4 二次函数的应用（2）如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值? 复习思考首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。注意：有此求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内 。引例1、已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长分别为多少？x2-x例2： 如图，B船位于A船正东26 km处，现在A，B两船同时出发，A船以12 km /h的速度朝正北方向行驶，
B船以5 km /h的速度朝正西方向行驶，
何时两船相距最近？最近距离是多少？A’AB’B 某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价与日均销售量的关系如下：例3：①若记销售单价比每瓶进价多x元，日均毛利润（毛利润=售价-进价-固定成本）为y元，求y 关于x的函数表达式和自变量的取值范围；②若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少元？理一理这节课学到了什么？ 1、 已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？2、利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。
①X2=2x-1
②2x2-x+1=0
③2x2-4x-1=0课后思考新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！3、在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？106解：设花园的面积为y
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）=-2x2 + 16x（0 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最
大高10m。
⑴ 求球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围；⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离
是多少m？⑵ 求球被抛出多远；利用二次函数的图象求一元二次方程
x2+x－1= 0 的近似解。例5：利用二次函数的图象求一元二次方程
x2+x－1= 0 的近似解。例5：y=x2y=1-x理一理这节课学到了什么？图像问题方程解，方程问题图像求
－－数学知识之间的相互联系例4：解：由题意，得h关于t的二次函数
解析式为h=10t-5t2取h=0，得一元二次方程
10t－5t2=0解方程得t1=0；t2=2球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）取h=3.75，得一元二次方程10t－5t2=3.75解方程得t1=0.5；t2=1.5答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；
经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定?复习思考由b2-4ac的符号决定b2-4ac﹥0，有两个交点b2-4ac=0，只有一个交点b2-4ac﹤0，没有交点下列函数图象与x轴有没有交点。
①x2=2x-1 ②2x2-x+1=0 ③2x2-4x-1=0二次函数y=ax2+bx+c 归纳小结：一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1=m；x2=n则函数与x轴交点坐标为：
（m，0）；（n，0）反过来，也可利用二次函数的图象
求一元二次方程的解。二次函数y=ax2+bx+c 归纳小结：一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1=m；x2=n则函数与x轴交点坐标为：
（m，0）；（n，0）做一做： ◆用求根公式求出方程x2+x-1=0的近似解，并由检验例5中所给图象解法的精确度。 在本节的例5中，我们把一元二次方程x2+x－1= 0 的解看做是抛物线y=x2+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解。如果把方程x2+x-1 = 0变形成 x2 = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？探究活动：
