1.2
二次函数的图象(一)
1．下列函数中，图象的最低点是原点的是(B)
A.
y＝－3x2
B.
y＝2x2
C.
y＝2x＋1
D.
y＝
2．抛物线y＝x2，y＝x2,
y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数是(B)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3．已知抛物线y＝(m－1)xm2－m的开口向上，则m的值为(D)
A.
2或－1
B.
1
C.
－1
D.
2
4．若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－1的图象的顶点在坐标原点，则m的值是(C)
A.±1
B.1
C.－1
D.2
5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可能是(C)
6．抛物线y＝－0.35x2的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴；当x＝0时，y有最大值(填“大”或“小”)，这个值为__0__．
7．抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)．
(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式．
(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(3)写出抛物线y＝ax2与直线y＝4x－3的另一个交点B的坐标．
【解】 (1)∵点A(m，1)在y＝4x－3上，
∴1＝4m－3，∴m＝1，∴点A(1，1)．
又∵点A(1，1)在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a·12，∴a＝1，∴y＝x2.
(2)开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
(3)根据题意，得
解得∴点B(3，9)．
8．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1)．
9．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围为≤a≤2．
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(第9题)
【解】 由题意，得点A(1，2)，C(2，1)．
把x＝1，y＝2代入y＝ax2，得a＝2；
把x＝2，y＝1代入y＝ax2，得a＝，
∴a的取值范围是≤a≤2.
10．如图，平行于x轴的直线AC分别交二次函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝3－．
(第10题)
【解】 设点A(0，m)(m>0)．
由x2＝m，得x＝，∴点B(，m)．
由＝m，得x＝，∴点C(，m)．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为，
∴y1＝()2＝3m，∴点D(，3m)．
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3m，∴＝3m，
∴x＝3，∴点E(3，3m)．
∴DE＝3－.
∵AB＝，∴＝＝3－.
11．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC为8
m，宽AB为2
m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6
m.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2
m，宽2.4
m，那么这辆卡车能否通过该隧道？
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(第11题)
【解】 (1)由题意，得点E(0，6)，D(4，2)．
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c，
则有解得
∴y＝－x2＋6.
(2)当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道．
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12．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为yE，yF.
(第12题)
(1)特例探究(填空)：
当m＝1，n＝2时，yE＝__2__，yF＝__2__；
当m＝3，n＝5时，yE＝__15__，yF＝__15__．
(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．
【解】 (2)∵点C为抛物线y＝x2上的点，AC⊥x轴，∴xC＝xA＝m，∴点C(m，m2)．
易求得直线yOC＝mx，
又∵xE＝n，∴yE＝mn.
同理，点D(n，n2)，易求得直线yOD＝nx，
∴yF＝nm＝mn.∴yE＝yF.
(3)∵yE＝yF，AF⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.
∴S四边形OFEB＝(n－m＋n)·yE＝(2n－m)·yE，S△OFE＝(n－m)·yE.
∵S四边形OFEB＝3S△OFE，
∴(2n－m)·yE＝3×(n－m)·yE，
∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.
此时EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，
∴EF平行且等于OA，∴四边形OFEA为平行四边形．1.2
二次函数的图象(三)
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1．抛物线y＝2x2－5x＋6的对称轴是(A)
A.
直线x＝
B.
直线x＝
C.
直线x＝－
D.
直线x＝－
2．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－m)2＋k的形式，结果为(D)
A.
y＝(x＋1)2＋4
B.
y＝(x＋1)2＋2
C.
y＝(x－1)2＋4
D.
y＝(x－1)2＋2
3．二次函数y＝－2x2＋4x－9的图象的最高点的纵坐标是(B)
A.
7 B.
－7 C.
9 D.
－9
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(C)
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(第4题)
A.
a＞0
B.
c＜0
C.
x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
D.
abc>0
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象可能是(C)
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（第5题）
6．已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
(1)求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
(2)若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
【解】 (1)把点(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋x＋2中，得a＝－1.
∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2＝－＋，其顶点坐标是.
(2)把点P(t，t)的坐标代入y＝－x2＋x＋2中，
得t＝－t2＋t＋2，解得t1＝，t2＝－.
∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1(，)，P2(－，－)．
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7．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的函数表达式是(A)
A.
y＝－－
B.
y＝－－
C.
y＝－－
D.
y＝－＋
【解】 用倒推法做．∵y＝x2＋5x＋6＝－，∴它的顶点坐标为.
把该抛物线绕原点旋转180°，顶点坐标变为，且开口向下，函数表达式变为y＝－＋.再把它向下平移3个单位，得到y＝－－.
8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D)
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(第8题)
A.
2a－b＝0
B.
a＋b＋c＞0
C.
3a－c＝0
D.
当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
【解】 ∵抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即－＝1，∴2a＋b＝0，故A错误．
当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，故B错误．
∵点A的坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0.
又∵b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，
即3a＋c＝0，故C错误．
∵当a＝时，b＝－1，c＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－.
把x＝1代入，得y＝－1－＝－2，
∴点D的坐标为(1，－2)．
设对称轴x＝1与x轴的交点为E，如解图，
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(第8题解)
则AE＝2，BE＝2，DE＝2，
∴△ADE和△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠DBE＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，故D正确．
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0)．
(1)求a，b的值．
(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
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(第9题)
【解】 (1)将点A(2，4)，B(6，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx，
得解得
(2)如解图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结AC，BC，CD.
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(第9题解)
则S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×(6－2)×＝－x2＋6x，
∴S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
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10．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线的对称轴直线x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
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(第10题)
【解】 (1)由题意，得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过点A(1，0)，∴点B(－3，0)．
把点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，
得解得
∴直线BC的函数表达式为y＝x＋3.
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(第10题解)
(2)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，∴直线BC与对称轴x＝－1的交点就是使MA＋MC的值最小的点M.
把x＝－1代入y＝x＋3，得y＝2，
∴点M(－1，2)．
(3)如解图，设点P(－1，t)．
∵点B(－3，0)，C(0，3)，
∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2.
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4.
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.
综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或
或.1.2
二次函数的图象(二)
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1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是(C)
A.
y＝(x－1)2＋2
B.
y＝(x＋1)2＋2
C.
y＝x2＋1
D.
y＝x2＋3
2．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得的抛物线的函数表达式为(C)
A.
y＝－2(x＋1)2
B.
y＝－2(x＋1)2＋2
C.
y＝－2(x－1)2＋2
D.
y＝－2(x－1)2＋1
3．抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是(B)
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(第3题)
A.
B.(1，0)
C.(2，0)
D.(3，0)
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(D)
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5．若把函数y＝x的图象记为E(x，x)，函数y＝2x＋1的图象记为E(x，2x＋1)……则E(x，x2＋1)可以由E(x，x2)怎样平移得到(A)
A.
向上平移1个单位
B.
向下平移1个单位
C.
向左平移1个单位
D.
向右平移1个单位
6．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的点A处，求平移后抛物线的函数表达式．
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(第6题)
【解】 ∵点A在直线y＝x上，
∴可设点A(m，m)．
∵OA＝，
∴m2＋m2＝()2,
解得m＝1(负值舍去)，
∴点A(1，1)，
∴抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋1.
7．一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k(k＞0)个单位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k的值．
【解】 抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k个单位，得y＝(x－1)2＋k.
又∵过点(2，1)，∴(2－1)2＋k＝1，解得k＝.
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8．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．若点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为(D)
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(第8题)
A.－3
B.1
C.5
D.8
【解】 当点A(1，4)为顶点时，点C的坐标为(－3，0)，∴y＝a(x－1)2＋4.
将点C的坐标代入，得0＝a(－3－1)2＋4，
∴a＝－.
当点B(4，4)为顶点时，点D的横坐标有最大值，
此时y＝－(x－4)2＋4.
当y＝0时，可求得x1＝0，x2＝8.
∴此时点D的坐标为(8，0)．
9．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的函数表达式不可能是(B)
A.
y＝x2－1
B.
y＝(x＋3)2－4
C.
y＝(x＋2)2
D.
y＝(x＋4)2＋1
【解】 y＝x2－1，先向上平移1个单位得到y＝x2,
再向上平移1个单位可以得到y＝x2＋1，故A正确．
y＝(x＋3)2－4无法经两次简单变换得到y＝x2＋1，故B错误．
y＝(x＋2)2先向右平移2个单位得到y＝(x＋2－2)2＝x2,
再向上平移1个单位得到y＝x2＋1，故C正确．
y＝(x＋4)2＋1先向右平移2个单位得到y＝(x＋4－2)2＋1＝(x＋2)2＋1，再向右平移2个单位得到y＝x2＋1，故D正确．
故选B.
10．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2017在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上．若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为正三角形，则△A2016B2017A2017的边长为__2017__．
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(第10题)
【解】 设△A0B1A1的边长为2a，则易得点B1(a，a)，将点B1的坐标代入y＝x2，得a＝×3a2，解得a＝(a＝0舍去)．
∴△A0B1A1的边长为1.
设△A1B2A2的边长为2b，则易得点B2(b，1＋b)，将点B2的坐标代入y＝x2，得1＋b＝×3b2，解得b＝1(b＝－舍去)．
∴第二个正三角形的边长为2.
同理，可求得第三个正三角形的边长为3，
……
∴△A2016B2017A2017的边长为2017.
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11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
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(第11题)
(1)点B的坐标为．
(2)过点B的直线y＝kx＋b(k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上．
(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
【解】 (1)∵抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，
∴点A.
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA＝OA＝，
∴OB＝，即点B的坐标为.
(2)∵点B的坐标为，
∴直线的函数表达式为y＝kx＋.
令y＝0，得kx＋＝0，解得x＝－，
∴OC＝－.
∵PB＝PC，
∴点P只能在x轴上方．
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(第11题解①)
如解图①，过点B作BD⊥l于点D，设PB＝PC＝m，
则BD＝OC＝－，CD＝OB＝.
∴PD＝PC－CD＝m－.
在Rt△PBD中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2,
即m2＝＋，解得m＝＋，
∴PC＝＋，
∴点P的坐标为.
把x＝－代入y＝x2＋，得y＝＋，
∴点P在抛物线上．
(3)如解图②，连结CC′.
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(第11题解②)
∵l∥y轴，
∴∠OBC＝∠PCB.
又∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴∠PBC＝∠OBC.
∵点C，C′关于BP对称，且点C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC＝∠PBC′，
∴∠OBC＝∠PBC＝∠PBC′＝60°.
∴∠BCO＝30°，△BCP是等边三角形．
∵OB＝，∴PC＝BC＝1，
∴OC＝，
∴点P的坐标为.
