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浙教版(2024)
九年级上册
第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
2017年浙教版九年级上1.4二次函数的应用同步练习(附答案,共3份)
文档属性
名称
2017年浙教版九年级上1.4二次函数的应用同步练习(附答案,共3份)
格式
zip
文件大小
909.9KB
资源类型
教案
版本资源
浙教版
科目
数学
更新时间
2017-08-04 16:45:01
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文档简介
1.4
二次函数的应用(二)
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1.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图所示).若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是(C)
A.3
m
B.3.5
m
C.4
m
D.4.5
m
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(第1题)
2.某商家销售某种商品,当单价为10元时,每天能卖出200个.现在采用提高售价的方法来增加利润,已知商品单价每上涨1元,每天的销售量就少10个,则每天的销售金额最大为(B)
A.
2500元
B.
2250元
C.
2160元
D.
2000元
3.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当售价为25元时,平均每天能售出8件,而当售价每降低2元,平均每天能多售出4件.当每件的定价为__22__元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
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(第4题)
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)关于水平距离x(m)的函数表达式为y=-(x-4)2+3(如图所示),由此可知铅球推出的距离是__10__m.
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(第5题)
5.甲船和乙船分别从A港和C港同时出发,各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示).现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时,且A,C两港之间的距离为10海里.问:经过多长时间,甲船和乙船之间的距离最短?最短距离为多少?(注:题中的“距离”都是指直线距离,图中AC⊥CB.)
【解】 设经过t(h),甲船和乙船分别到达A′,B′处,则A′B′=
=
=
=(t>0).
当t=0.4时,400(t-0.4)2+36有最小值36,
∴当t=0.4时,A′B′==6(海里).
即经过0.4
h,两船之间的距离最短,为6海里.
6.向上抛掷一个小球,小球在运行过程中,离地面的距离为y(m),运行时间为x(s),y与x之间存在的关系为y=-x2+3x+2.问:小球能达到的最大高度是多少?
【解】 ∵a=-<0,∴y有最大值.
当x=-=3时,
y最大==,
即小球能达到的最大高度是
m.
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7.已知直角三角形的两直角边之和为2,则斜边长的最小值为____.
【解】 设一条直角边长为x,则另一条直角边长为2-x.
由勾股定理得,斜边长==,∴斜边长的最小值为.
8.某电商销售一款夏季时装,进价为40元/件,售价为110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量就增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为0<a<6.
【解】 设未来30天每天获得的利润为y元,则
y=(20+4t)(110-40-t-a).
化简,得y=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.
∵此抛物线开口向下,∴对称轴应为直线x=->29.5,解得a<6.
又∵a>0,∴a的取值范围应为0
9.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的函数表达式为h=at2+19.6t.已知足球被踢出后经过4
s落地,则足球距地面的最大高度是19.6m.
【解】 由题意,得t=4时,h=0,
∴0=16a+19.6×4,解得a=-4.9.
∴h=-4.9t2+19.6t.
∴足球距地面的最大高度是=19.6(m).
10.如图,排球运动员站在O处练习发球,将球从点O正上方2
m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9
m,高度为2.43
m,球场的边界距点O的水平距离为18
m.
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(第10题)
(1)当h=2.6时,求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请计算说明.
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
【解】 (1)当h=2.6时,设y=a(x-6)2+2.6.
∵抛物线过点(0,2),∴36a+2.6=2,
解得a=-.∴y=-(x-6)2+2.6.
(2)当x=9时,y=-×9+2.6=2.45>2.43,
∴球能越过球网.
当x=18时,y=-×122+2.6=0.2>0,
∴球会出界.
(3)设y=a(x-6)2+h.
当抛物线过点(0,2),(9,2.43)时,
得解得h=.
∵要越过球网,∴h>.
当抛物线过点(0,2),(18,0)时,
得解得h=.
∵要不出边界,∴h≥.
综上所述,h≥.
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11.某商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的售价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数表达式为
p=
且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系,试求第30天的日销售量是多少?
(2)问:哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1
kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.
【解】 (1)设y=kt+b.
把t=1,y=118;t=3,y=114代入,得解得
∴y=-2t+120.
当t=30时,y=-2×30+120=60.
∴第30天的日销售量是60
kg.
(2)设第x天的销售利润为w元.
当1≤t≤24时,由题意,得
w=(-2t+120)
=-(t-10)2+1250,
∴当t=10时,w最大,为1250.
当25≤t≤48时,
w=(-2t+120)
=t2-116t+3360.
∵对称轴为直线x=58,a=1>0,
∴在对称轴左侧w随t的增大而减小,
∴当t=25时,w最大,为1085.
综上所述,第10天利润最大,最大利润为1250元.
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元.
由题意,得m=(-2t+120)-(-2t+120)n=-t2+(10+2n)t+1200-120n.
∵在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,
∴-≥24,∴n≥7.
又∵n<9,∴n的取值范围为7≤n<9.1.4
二次函数的应用(一)
1.已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上,则a=__2__,此时函数的表达式为y=x2+4x+4.
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(第2题)
2.用长为8
m的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框,要使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是____m2.
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(第3题)
3.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16
m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A.
60
m2
B.
63
m2
C.
64
m2
D.
66
m2
4.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3).D是抛物线y=-x2+6x上一点,且在x轴上方.求△BCD面积的最大值.
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(第4题)
【解】 ∵点C(4,3),
∴菱形OABC的边长==5.
∵抛物线y=-x2+6x的顶点坐标为(3,9),
∴△BCD面积的最大值为S=×5×(9-3)=15.
5.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°,AB=30,BC=x,其中15
(1)用含x的代数式表示BF的长.
(2)设四边形DEBG的面积为S,求S关于x的函数表达式.
(3)当x为何值时,S有最大值?并求出这个最大值.
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(第5题)
【解】 (1)∵DE=BC=x,∠A=45°,DE⊥AE,
∴AE=DE=x.
由折叠知,EF=AE=x,
∴BF=AF-AB=2x-30.
(2)∵S△DEF=EF·DE=x2,
S△BFG=BF·BG=(2x-30)2,
∴S=x2-(2x-30)2=-x2+60x-450.
(3)∵15
∴当x==20时,S有最大值,S最大=150.
6.竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数,小军相隔1
s依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1
s时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=__1.6__.
【解】 设各自抛出后1.1
s时到达相同的最大离地高度为h,则小球的高度y=a(t-1.1)2+h.
由题意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,
解得t=1.6.
7.如图,从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E,过这点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE,DE,当剪下的两个正方形的面积之和最小时,点E应选在(A)
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(第7题)
A.
AD的中点
B.
AE∶ED=(-1)∶2
C.
AE∶ED=∶1
D.
AE∶ED=(-1)∶2
【解】 设AE=x,剪下的两个正方形的面积之和为y,则DE=1-x,y=AE2+DE2=x2+(1-x)2=2+.
∴当x=时,y取得最小值,此时E是AD的中点.
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(第8题)
8.如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的表达式.
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少.
【解】 (1)∵在矩形OABC中,OA=3,OC=2,
∴点B(3,2).
∵F为AB的中点,∴点F(3,1).
∵点F在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴k=3,
∴该函数的表达式为y=(x>0).
(2)由题意知E,F两点的坐标分别为E,F,
∴S△EFA=AF·BE=×k,
=k-k2
=-(k2-6k+9-9)
=-(k-3)2+.
∴当k=3时,△EFA的面积最大,最大面积是.
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"../../../B组.EPS"
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9.如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连结PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连结OA,OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA,OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明.
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数表达式,并求出y的最大值.
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(第9题)
【解】 (1)四边形APQD为平行四边形.
(2)OA=OP,OA⊥OP.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°.
∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO,∴OB=OQ,
∴△AOB≌△OPQ(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP.
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(第9题解①)
(3)如解图①,过点O作OE⊥BC于点E.
①当点P在点B右侧时,
BQ=x+2,OE=,
∴y=··x
=-.
又∵0≤x≤2,
∴当x=2时,y有最大值2.
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(第9题解②)
②如解图②,当点P在点B左侧时,
BQ=2-x,OE=,
∴y=··x
=-+.
又∵0≤x≤2,
∴当x=1时,y有最大值.
综上所述,y的最大值为2.1.4
二次函数的应用(三)
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"../../../A组.EPS"
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1.根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是(C)
A.3.22<x<3.23
B.3.23<x<3.24
C.3.24<x<3.25
D.3.25<x<3.26
2.若二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为(D)
A.
x1=0,x2=6
B.
x1=1,x2=7
C.
x1=1,x2=-7
D.
x1=-1,x2=7
3.
若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是(D)
A.
x<-4或x>2
B.
-4≤x≤2
C.
x≤-4或x≥2
D.
-4<x<2
4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是(C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
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)(第4题)
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(第5题)
5.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是(D)
A.
无解
B.
x=1
C.
x=-4
D.
x=-1或x=4
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(第6题)
6.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.
(1)求点B的坐标.
(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.
【解】 (1)∵抛物线y=(x+2)2+m经过点A(-1,0),∴0=1+m,∴m=-1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x+2)2-1=x2+4x+3,∴点C(0,3).
∵对称轴为直线x=-2,点B,C关于对称轴对称,
∴点B(-4,3).
(2)由图象可知,(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围为x<-4或x>-1.
7.如图,一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,已知球出手时离地面
m,与篮圈中心的水平距离为7
m,当球水平运行4
m时达到离地面的最大高度4
m.设篮球运行的轨迹为抛物线的一部分,篮圈距地面3
m,在篮球比赛中,当进攻方球员要投篮时,防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方,这就是平常说的盖帽.(注:盖帽应在球达到最高点前进行,否则就是“干扰球”,属犯规.)
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(第7题)
(1)问:此球能否投中?
(2)此时,防守方球员乙前来盖帽,已知乙的最大摸球高度为3.19
m,则他如何做才能成功?
【解】 (1)以篮球所在竖直方向的直线与地面的交点O为原点,脚与篮圈底所在直线为x轴,篮球所在竖直方向的直线为y轴建立直角坐标系.由题意可知抛物线经过点,顶点是(4,4),篮圈中心的坐标是(7,3),∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2+4(a≠0).
把点的坐标代入函数表达式,
得a(0-4)2+4=,∴a=-.
∴篮球运行的抛物线的函数表达式为y=-(x-4)2+4.
当x=7时,y=-×(7-4)2+4=3,
即抛物线过篮圈中心,∴此球能投中.
(2)当y=3.19时,-(x-4)2+4=3.19,
解得x1=1.3,x2=6.7.
∵盖帽应在球达到最高点前进行(即x<4),
∴x=1.3.
∴防守方球员乙应在球员甲身前,且距离甲1.3
m以内盖帽才能成功.
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"../../../B组.EPS"
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MERGEFORMAT
8.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为(D)
A.
-1或2
B.
-1或1
C.
1或2
D.
-1或2或1
【解】 当该函数是一次函数时,与x轴必有一个交点,此时a-1=0,即a=1.
当该函数是二次函数时,由图象与x轴只有一个交点可知Δ=(-4)2-4(a-1)×2a=0,解得a1=-1,a2=2.
综上所述,a=1或-1或2.
9.以x为自变量的二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是(A)
A.
b≥
B.
b≥1或b≤-1
C.
b≥2
D.
1≤b≤2
【解】 ∵二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限,a=1>0,∴Δ≤0或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0.
当Δ≤0时,[-2(b-2)]2-4(b2-1)≤0,
解得b≥.
当抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0时,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
则x1+x2=2(b-2)>0,
Δ=[-2(b-2)]2-4(b2-1)>0,
无解,∴此种情况不存在.
∴b≥.
10.如图,一段抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;
将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
……
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(第10题)
如此进行下去,直至得C13.若点P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=__2__.
【解】 ∵抛物线C1:y=-x(x-3)(0≤x≤3),
∴图象与x轴的交点坐标为(0,0),(3,0).
由题意及旋转得,C13与x轴的交点坐标为(36,0),(39,0),且图象在x轴上方,
∴C13的函数表达式为y13=-(x-36)(x-39).
当x=37时,y=-(37-36)×(37-39)=2,
即m=2.
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(第11题)
11.如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A(a,8),B两点,P是抛物线上A,B之间的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若C为AB的中点,求PC的长.
(3)如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.
【解】 (1)∵A(a,8)是抛物线和直线的交点,
∴点A在直线上,∴8=2a+4,解得a=2.
∴点A的坐标为(2,8).
又∵点A在抛物线上,∴8=22+2b,解得b=2.
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x.
(2)联立抛物线和直线的函数表达式,得解得
∴点B的坐标为(-2,0).
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(第11题解)
如解图,过点A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,
则AQ=8,OQ=OB=2,即O为BQ的中点.
当C为AB的中点时,OC为△ABQ的中位线,故点C在y轴上,OC=AQ=4,
∴点C的坐标为(0,4).
又∵PC∥x轴,∴点P的纵坐标为4.
∵点P在抛物线上,
∴4=x2+2x,解得x1=-1-,x2=-1.
∵点P在A,B之间的抛物线上,
∴x=-1-不合题意,舍去,
∴点P的坐标为(-1,4),
∴PC=-1-0=-1.
(3)∵点D(m,n),且四边形PCDE为矩形,
∴点C的横坐标为m,点E的纵坐标为n.
∵点C,E都在直线y=2x+4上,
∴点C(m,2m+4),E.
∵PC∥x轴,PE∥y轴,∴点P.
∵点P在抛物线上,
∴2m+4=+2·,
整理可得n2-4n-8m-16=0,
即m,n之间的关系式为n2-4n-8m-16=0.
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12.在平面直角坐标系中,点A(-1,-2),B(5,4).已知抛物线y=x2-2x+c与线段AB有公共点,则c的取值范围是-11≤c≤.
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(第12题解)
【解】 抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0,c).
如解图,抛物线的对称轴为直线x=1,
易求得直线AB的函数表达式为y=x-1.
当直线AB与抛物线y=x2-2x+c只有一个公共点,即方程x2-2x+c=x-1的Δ=0时,抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点最高,即c的值最大,此时9-4(c+1)=0,解得c=.
当抛物线y=x2-2x+c过点B时,抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点最低,即c的值最小,
把点B(5,4)的坐标代入y=x2-2x+c,得25-10+c=4,解得c=-11.
∴C的取值范围是-11≤c≤.
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同课章节目录
第1章 二次函数
1.1 二次函数
1.2 二次函数的图象
1.3 二次函数的性质
1.4 二次函数的应用
第2章 简单事件的概率
2.1 事件的可能性
2.2 简单事件的概率
2.3 用频率估计概率
2.4 概率的简单应用
第3章 圆的基本性质
3.1 圆
3.2 图形的旋转
3.3 垂径定理
3.4 圆心角
3.5 圆周角
3.6 圆内接四边形
3.7 正多边形
3.8 弧长及扇形的面积
第4章 相似三角形
4.1 比例线段
4.2 由平行线截得的比例线段
4.3 相似三角形
4.4 两个三角形相似的判定
4.5 相似三角形的性质及应用
4.6 相似多边形
4.7 图形的位似
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