(共25张PPT)
1.1二次函数
数学浙教版 九年级上
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目前我们已经学习了那几种类型的函数？
教学目标
导入新课
一次函数
y=kx+b(k≠0)
正比例函数
y=kx(k≠0)
反比例函数
教学目标
导入新课
一个长方形温室的占地面积为y（m2），周长为120 m， 一边长为x（m） .你能得出y与x的函数关系吗？
y=x(60-x)
教学目标
新课讲解
合作学习:
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( Cm )
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x, 两年后王先生共得本息y元;
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
教学目标
新课讲解
( 3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 1-1这个矩形的周长为 120m，设一条边长为x（m），种植用地面积为y（m2）
y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
这些关系中
y是x的什么函数？
教学目标
新课讲解
1、y =πx2
2、y = 2(1+x)2
3、y = (60-x-4)(x-2)
=2x2+4x+2
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征
(1)右边都是关于x的整式.
(2)自变量x的最高次数是2
对比一次函数归纳二次函数的定义？
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
y=ax2 +bx +c
二次项系数
一次项系数
常数项
二次函数的一般式
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
下列函数中，哪些是二次函数？
是
不是
是
是
不是
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．
教学目标
新课讲解
做一做:
分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)二次项系数：1，一次项系数：0，常数项：1
(2)二次项系数：-3，一次项系数：7，常数项：-12
(3)二次项系数：-2，一次项系数：2，常数项：0
例1、m取何值时，函数y=(m+1)是二次函数？
教学目标
新课讲解
解：∵函数是二次函数
∴0
∴m=3
想一想:
教学目标
新课讲解
函数y=a当a，b，c满足什么条件时：
(1)它是二次函数？
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
解：(1)a≠0，它是二次函数
(2)a=0，b≠0，它是一次函数
(3)a=0， b≠0，c=0，它是正比例函数
已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．
(1)当m为何值时，y是x的二次函数
(2)当m为何值时，y是x的一次函数
解：(1)由m2－4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．
(2)由m2－4＝0，解得m=±2．由m2－3m＋2≠0，解得m≠1，m≠2．所以m＝－2．因 此，当m＝－2时，y是x的一次函数．
教学目标
新课讲解
举一反三：
1、如果函数y=是二次函数，则k的值一定是 。
2、如果函数y=(k-3)是二次函数，则k的值一定是 。
0或3
0
教学目标
新课讲解
举一反三：
教学目标
新课讲解
例2、如图 1-2，一 张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） .
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示.
解：(1)由题意，0y=
即所求函数表达式为：
教学目标
新课讲解
解：(2)当x=0.25cm时，
y=2×
依次计算可得，
当x=0.5cm时，y=2.5(cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)
当x=1.5cm时， y=2.5(cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2)
列表如下：
X(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm2)
3.125
2.5
2
2.5
3.125
教学目标
新课讲解
例3:已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=
解得，b=-12，c=15
∴所求的二次函数是y=
待定系数法
举一反三：
教学目标
新课讲解
已知函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0时，y=-5；当x=1时，y=-8；当x=-1时，y=0，求函数解析式。
解：依题意，得
解得
∴二次函数解析式是y=x2-4x-5
教学目标
巩固提升
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x-1 B．y=a+bx+c
C．s=2-2t+1 D．y=+
2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=a +bx+c模型的是（）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与半径之间的关系
C
C
教学目标
巩固提升
3．(温州中考)如果函数y=（a-1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 .
4.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为
y= ．
a＞1或a＜1
a（1+x）2
教学目标
巩固提升
5．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数
(3)自变量x的取值范围是什么
教学目标
巩固提升
解：(1)根据长方形的面积公式，得
y＝(5－x )·(4－x)＝x2－9x＋20，
所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
( 2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
6、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xcm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12cm时，计算菜园的面积。
解：由题意得：y=x(40-2x)
即：y=-2x2+40x(0当x=12m时，菜园的面积为：(40-2x)m
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
1.二次函数的概念
2.待定系数法求二次函数的方法
形如y=ax +bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
分别将a，b，c的值代入函数解析式的一般形式，解方程组即可
谢 谢！
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二次函数教学设计
课题 二次函数 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点
能力目标 1、让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程；2、使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解次问题的能力。
知识目标 1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3、会用待定系数法求二次函数的解析式
重点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0）的概念
难点 本课时中的“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力。
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：目前我们已经学习了那几种类型的函数？一次函数和反比例函数出示问题：一个长方形温室的占地面积为y（m2），周长为120 m， 一边长为x（m） .你能得出y与x的函数关系吗？y=x(60-x) 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 出示问题请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 X 之间的关系·(1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm)(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年 ( http: / / www.21cnjy.com )定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;(3)一个温室的平面图如图,如果温室外围是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) ( http: / / www.21cnjy.com / )（上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征 经化简后都具y=ax2+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, )我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b ( http: / / www.21cnjy.com ),C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，）做一做1.下列函数中,哪些是二次函数 ⑴y=x2；⑵y=-；⑶y=2x2-x-1；⑷y=x(1-x)；⑸y=(x-1)2-(x+1)(x-1)； ( http: / / www.21cnjy.com / ) 例1、m取何值时，函数y=(m+1)是二次函数？想一想：函数y=a当a，b，c满足什么条件时：(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？练习： ( http: / / www.21cnjy.com / )1、如果函数y=是二次函数，则k的值一定是 。2、如果函数y=(k-3)是二次函数，则k的值一定是 。例2、如图 1-2，一 张 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示. ( http: / / www.21cnjy.com / )例3:已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. 学生通过思考，写出函数解析式学生观察函数解析式，找出共同特征，并归纳出二次函数的定义学生通过解答做一做，可以对知识进行巩固。根据问题，学生交流，思考，得出m的值学生自主解答，老师巡视指导学生分组解答，师提问 学生自主解答，老师巡视指导 该情景问题的设计，可以设想到问题的背景涉及的较为复杂，教学中应有效的借助多媒体的应用，从而增强问题出示的直观性、生动性；在教法设计上引导学生自主、合作，通过三个函数关系式的建立，感受归纳、类比的数学建模的过程，尝试并体验对问题的探究。再以所得的解析式为切口，提出、点明二次函数解析式中二次项系数、一次项系数、常数项的概念。在教学脉络上更具：连贯性、简洁性。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中， ( http: / / www.21cnjy.com )引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力和归纳的能力
巩固提升 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A．y=3x-1 B．y=a+bx+c C．s=2-2t+1 D．y=+ 答案：C2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=a +bx+c模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与半径之间的关系答案：C ( http: / / www.21cnjy.com / )于x的函数关系式为y= ．答案：a（1+x）25．如图2 - 4所示，长方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数 (3)自变量x的取值范围是什么 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x )·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20． ( 2)上述函数是二次函数． (3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．6．一农民用40m长的篱笆围成一个 ( http: / / www.21cnjy.com )一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xcm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12cm时，计算菜园的面积。 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：由题意得：y=x(40-2x) 即：y=-2x2+40x(0课堂小结 1.二次函数的概念 ：形 ( http: / / www.21cnjy.com )如y=ax +bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项2.待定系数法求二次函数的方法分别将a，b，c的值代入函数解析式的一般形式，解方程组即可 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 定义：形如y=ax +bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项2.待定系数法求二次函数的方法分别将a，b，c的值代入函数解析式的一般形式，解方程组即可例1、m取何值时，函数y=(m+1)是二次函数？解：∵函数是二次函数∴0∴m=3例2、如图 1-2，一 ( http: / / www.21cnjy.com )张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） . （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示. ( http: / / www.21cnjy.com / )解：(1)由题意，0( http: / / www.21cnjy.com / )
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