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1.2.1二次函数的图象
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
正比例函数
一次函数
反比例函数
y=kx（k ≠ 0）
y=kx+b（k ≠ 0）
（k ≠ 0）
想一想我们之前学过的函数的图像有哪些特征？
教学目标
导入新课
函数 图像 特征
正比例函数
一条经过原点的直线。
一次函数
直线
反比例函数
双曲线
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象又是什么？
教学目标
导入新课
铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？
想一想：
x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …
y … 0 1 …
教学目标
新课讲解
按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象
12.25
9
4
1
4
9
12.25
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
1.完成自变量与函数的对应值表
教学目标
新课讲解
2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。
教学目标
新课讲解
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
3、用光滑曲线顺次连结各点
教学目标
新课讲解
用光滑的曲线顺次连结各点．
归纳：
列表
描点
连线
描点法
画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步：
观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便， x一般取整数．
在直角坐标系中描出各点；
教学目标
新课讲解
观察思考：
1、二次函数的图象像什么？
2、图象是否是对称图形，对称轴是什么？
3、什么是图象的顶点？
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点
教学目标
新课讲解
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。
教学目标
新课讲解
在同一直角坐标系中，画出函数y= x2 ，y=2x2 的图象
牛刀小试
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
2、在坐标图中找出各点坐标，然后连结各点
函数，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？
教学目标
新课讲解
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。
1. 列自变量y与函数x的对应值表.
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象
教学目标
新课讲解
二次函数的图象与的图象关于什么对称？
如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？
x轴
画关于x轴的对称图像即可得到的图象
教学目标
新课讲解
填一填
抛物线 y=x2 y=-x2
对称轴
顶点坐标
位置
开口方向
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0
当x=0时，最大值为0
教学目标
新课讲解
归纳：
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
二次函数的性质：
教学目标
新课讲解
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=，
解得：a=-
这个二次函数的表达式是
(2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴
因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。
教学目标
新课讲解
教学目标
巩固提升
例2、已知函数的图象是抛物线
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，抛物线的开口向下？
(3)当m为何值时，抛物线有最低点？并写出它的顶点坐标和对称轴。
解：(1)因为函数是抛物线，所以此函数是二次函数
即：且m+3≠0
解得：m=-4，m=1
(2)抛物线开口向下，即m+3<0
所以m<-3，即m=-4
(3)抛物线有最低点，开口向上，即m+3>0
所以m>-3，即m=1
顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
2.下列各点在抛物线y＝2x2上的是( )
A．(2，1) B．(1，2)
C．(1，－2) D．(－1，－2)
1.如图所示的函数图象所表示的表达式有可能是( )
A．y＝－x2 B．y＝x2
C．y＝x D．
教学目标
巩固提升
B
B
3、已知二次函数y=的图象开口向下，则( )
A．m＜－1 B．m＝－1
C．m＜1 D．m＝1
教学目标
巩固提升
B
4.关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是( )
A．它的形状是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－x2的图象关于x轴对称
C
教学目标
巩固提升
5、已知抛物线经过点A(-2，-8)。
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
教学目标
巩固提升
解：(1)将点A(-2，-8)代入中，即：-8=4a
∴a=-2
∴抛物线的解析式为：
(2)将点B(-1，-4)代入-4=-2，不成立
∴点B不在抛物线上。
(3)将-6代入解析式，即-6=-2
解得：x= ±
6、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=-x2，当水面离桥顶的高度为m时，
(1)水面的宽度为多少米？
(2)有一艘货船，出水面的高度为5米，宽为6米，问此船能否安全通过桥洞？
教学目标
巩固提升
解：(1)在y=-x2中，
当y=-时，x=±5，
故水面的宽度为2×5=10米．
答：水面的宽度为10米．
(2) ∵货船宽为6米
∴当x=-3，x=3时，y=
∵5>3
∴此船能安全通过桥洞。
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它
的开口向上，并且向上无限伸展； 当a<0时，抛物线
y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且
向下无限伸展.
谢 谢！
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浙教版数学九年级上册1.2.1课时教学设计
课题 二次函数 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 进一步培养数形结合方法研究函数的性质
能力目标 1.经历描点法画函数图像的过程2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理
知识目标 1. 了解二次函数图象的概念2. 学会用描点法画y=ax2图象。3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征4. 掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质
重点 函数 y=ax2型二次函数的描绘和图像特征的归纳
难点 选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高。
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：1. 正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么2. 一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么3. 反比例函数（k ≠ 0）其图象又是什么（学生思考后集体回答）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象又是什么？想一想：铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生解答问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象 1.完成自变量与函数的对应值表 ( http: / / www.21cnjy.com / )注意：列表时自变量取值要均匀和对称。2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。3、用光滑曲线顺次连结各点 ( http: / / www.21cnjy.com / )师生共同归纳画函数图象的步骤：画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步： (1)列表：观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便，x一般取整数． (2)描点：在直角坐标系中描出各点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点．观察函数图象回答问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )1、二次函数的图象像什么？2、图象是否是对称图形，对称轴是什么？3、什么是图象的顶点？归纳出：二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。牛刀小试在同一直角坐标系中，画出函数y= x2 ，y=2x2 的图象解：分别填表，再画出它们的图象，如图 ( http: / / www.21cnjy.com / )2、在坐标图中找出各点坐标，然后连结各点 ( http: / / www.21cnjy.com / )观察：函数，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。1. 列自变量y与函数x的对应值表. ( http: / / www.21cnjy.com / )2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / )想一想二次函数的图象与的图象关于什么对称？如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？填一填 ( http: / / www.21cnjy.com / )归纳：二次函数的性质：二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一 ( http: / / www.21cnjy.com )条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.例2、已知函数的图象是抛物线(1)求m的值；(2)当m为何值时，抛物线的开口向下？(3)当m为何值时，抛物线有最低点？并写出它的顶点坐标和对称轴。 学生根据函数解析式，把x值代入得出y的值，填表。在坐标系中描出点，用光滑曲线顺次连结，得出函数图象。共同归纳学生观察函数图象，回答问题学生根据前面的图象的画法，试着画出图象。学生通过解答，可以对知识进行巩固。根据问题，学生交流，思考，得出相同点和不同点。学生自主解答，老师巡视指导学生分组解答，师提问 学生填表格对函数图象的性质进行归纳 学生自主解答，教师适时的进行提示，并板书 在教法设计上引导学生自主、合作，通过函数关系式列表画出函数图象，感受归纳、类比的数学建模的过程，尝试并体验对问题的探究。增强学生观察和归纳总结的能力。再以所得的函数图象，提出、点明二次函数的图象的形状，是否对称，对称轴，顶点等一系列问题。在教学脉络上更具：连贯性、简洁性。课堂教学必须在师生、生生的互动氛围中，引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识活动中反思、再认识的科学态度。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生解决问题的能力和归纳的能力通过例题的解答，使学生对知识的掌握进一步的提高。
巩固提升 1.如图所示的函数图象所表示的表达式有可能是( ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) A．y＝－x2 B．y＝x2C．y＝x D．答案：B2.下列各点在抛物线y＝2x2上的是( ) A．(2，1) B．(1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2)答案：B3、已知二次函数y=的图象开口向下，则( ) A．m＜－1 B．m＝－1 C．m＜1 D．m＝1 答案：B4.关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是( ) A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－x2的图象关于x轴对称答案：C5、已知抛物线经过点A(-2，-8)。(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。答案：解：(1)将点A(-2，-8)代入中，即：-8=4a∴a=-2∴抛物线的解析式为：(2)将点B(-1，-4)代入-4=-2，不成立∴点B不在抛物线上。(3)将-6代入解析式，即-6=-2解得：x= ±6、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=-x2，当水面离桥顶的高度为m时，(1)水面的宽度为多少米？ (2)有一艘货船，出水面的高度为5米，宽为6米，问此船能否安全通过桥洞？ ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：(1)在y=-x2中，
当y=-时，x=±5，
故水面的宽度为2×5=10米．
答：水面的宽度为10米． (2) ∵货船宽为6米∴当x=-3，x=3时，y=∵5>3∴此船能安全通过桥洞。 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励 ( http: / / www.21cnjy.com )学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 1.画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步： (1)列表：观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便，x一般取整数． (2)描点：在直角坐标系中描出各点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点．2.二次函数的性质：二次函数y=ax2(a不等于0)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 学生归纳本节所学知识 培养学生总结，归纳的能力。
板书 1.画二次函数的图象一般用描点法，分为以下三步： (1)列表：观察y＝ax2(a≠0)的表达式，选择适当的自变量x的值，并计算相应的函数值y，为了计算方便，x一般取整数． (2)描点：在直角坐标系中描出各点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点．2.二次函数的性质：二次函数y=ax2(a不等于0)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=，解得：a=-这个二次函数的表达式是(2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。例2、已知函数的图象是抛物线(1)求m的值；(2)当m为何值时，抛物线的开口向下？(3)当m为何值时，抛物线有最低点？并写出它的顶点坐标和对称轴。解：(1)因为函数是抛物线，所以此函数是二次函数即：且m+3≠0解得：m=-4，m=1(2)抛物线开口向下，即m+3<0所以m<-3，即m=-4(3)抛物线有最低点，开口向上，即m+3>0所以m>-3，即m=1顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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