3.2 实数一课一练

一课一练 实数
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题
1.下列各数中无理数为（　　）
A． B．0 C． D．﹣1
2.关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是
C．=2 D．在数轴上可以找到表示的点
3.实数的绝对值是（ ）
A． B． C． D.1
4.用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．
A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B
5.在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣2 B．3 C．0 D．
6.与无理数最接近的整数是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
7.若a，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
、填空题
8.在实数、、中，无理数是　　　　　　．
9.的绝对值是　　　　　　，它的倒数　　　　　　．
10.估计与0.5的大小关系是：　 　0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
11.规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]=3，[+1]=2，[﹣2.56]=﹣3，[﹣]=﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]=　 　．
12.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=　　．
13.实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2=BM?AB，BN2=AN?AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n=　　　　　　．
、解答题
14.计算：
15.已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．
16.阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵＜＜，设=3+k（0＜k＜1），
∴（）2=（3+k）2，
∴13=9+6k+k2，
∴13≈9+6k，解得k≈，
∴≈3+≈3.67．
（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算 ≈　　（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜＜a+1，且m=a2+b，则≈　　（用含a、b的代数式表示）．
17.定义新运算，对于任意实数a，b，都有a?b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．
比如：2?5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1
（1）求（﹣2）?3的值；
（2）求?（﹣）的值．
18.如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺的长为　　个单位长度（直接写答案）
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=4OA，求此时A点对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2，若t1﹣t2=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多少？
答案解析
、选择题
1.【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A．是无理数，选项正确；
B、0是整数是有理数，选项错误；
C、是分数，是有理数，选项错误；
D、﹣1是整数，是有理数，选项错误．
故选A．
2.【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．
解：A．是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；
C、=2，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．
故选：A．
3.【分析】 根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
解：实数的绝对值是2﹣．
故选：B．
点评： 本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
4.【分析】此题实际是求﹣的值．
解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣=；
计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．
故选A．
5.【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜0＜＜3，
故在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是3，
故选：B．
6.【分析】根据无理数的意义和二次根式的性质得出＜＜，即可求出答案．? 解：∵＜＜，?∴最接近的整数是，?=6，?故选：C．?
7.【分析】根据的整数部分是2，可知0＜﹣2＜1，由此即可解决问题．
解：∵的整数部分是2，
∴0＜﹣2＜1，
∵a、b是两个连续整数，
∴a=0，b=1，
∴a+b=1，
故选A．
、填空题
8.【分析】根据无理数的三种形式求解．
解：=2，
无理数有：．
故答案为：．
9.【分析】 根据绝对值的性质及倒数的概念，解答即可．
解：∵2＜，
∴的绝对值，即|2﹣|=﹣2；
根据倒数的概念，化简得，
==﹣2﹣．
故答案为：﹣2和﹣2﹣．
10.【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
解：∵﹣0.5=﹣=，
∵﹣2＞0，
∴＞0．
答：＞0.5．
11.【分析】先求出的范围，求出﹣1的范围，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴[﹣﹣1]=﹣5．
故答案为：﹣5．
12.【分析】根据题中新定义求出A+B即可．
解：∵A={﹣2，0，1，5，7}，
B={﹣3，0，1，3，5}，
∴A+B={﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
故答案为：{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
13.【分析】先把各线段长表示出来，分别代入到AM2=BM?AB，BN2=AN?AB中，列方程组；两式相减后再将b﹣a=2和m﹣n=x整体代入，即可求出．
解：由题意得：AM=m﹣a，BM=b﹣m，AB=b﹣a，BN=b﹣n，AN=n﹣a，
代入AM2=BM?AB，BN2=AN?AB得：，
②﹣①得：（b﹣n）2﹣（m﹣a）2=（b﹣a）（n﹣a﹣b+m），
设m﹣n=x，则（b﹣n+m﹣a）（b﹣n﹣m+a）=2（n﹣a﹣b+m），
2+x=﹣2，
x=﹣4，
则m﹣n=﹣4．故答案为：﹣4．
、解答题
14.【分析】分别利用它们的性质求解
解：
=1-3-1+2
= -1
15.【分析】先估算出的大小，然后用含的式子表示出a、b最后代入计算即可．
解：∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，2＜5﹣＜3，
∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣
∴原式=（﹣2+3﹣）（﹣2﹣3+）=1×（2﹣5）=2﹣5．
16.【分析】（1）仿照例题直接得出（）2=（6+k）2，进而求出即可；
（2）利用（1）中所求，进而得出一般规律求出即可．
解：（1）∵＜＜，设=6+k（0＜k＜1），
∴（）2=（6+k）2，
∴37=36+12k+k2，
∴37≈36+12k，
解得k≈，
∴≈6+≈6.08．
故答案为：6.08；
（2）若a＜＜a+1，且m=a2+b，
则≈a+．
故答案为：．
17.【分析】原式各项利用题中的新定义计算即可得到结果．
解：（1）根据题意得：（﹣2）?3=﹣2×（﹣2﹣3）+1=10+1=11；
（2）根据题意得：?（﹣）=×（+）+1=4+．
18.【分析】（1）由题可知：OA=AB=BC，所以60÷3=20，则AB=20；
（2）利用图形直观得出，根据等量关系式BC=4OA，列式可求解；
（3）设A点对应的数为a（a＞0），向左移动所用的时间t1=，向右移动所用的时间t2=，根据t1﹣t2=2列式计算即可．
解：（1）如图1，由题意得：OA=AB=BC，
∵OC=60，
∴AB=20，
故答案为：20；
（2）由题意可知：直尺一定在C的左侧，如图2，
设点A表示的数为x（x＜0），
∵BC=4OA
∴60﹣x﹣20=﹣4x
x=﹣
此时A点对应的数是﹣；
（3）设A点对应的数为a（a＞0），
则=2，
解得a=25，
答：A点对应的数为25．