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1.2.3二次函数的图象课时教学设计
课题 二次函数的图象 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度.
能力目标 经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx+c(a≠0)的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
知识目标 理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点 掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质，理解函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)与函数y＝ax2的相互关系。
难点 掌握二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)的图像性质
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 上节课，我们学了y = a(x-m)2 +k的图象，回想一下这个函数图象的形状，开口方向，位置，平移法则？ 一般地，抛物线y = a(x-m)2 +k与的 相同， 不同。当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。有 值是 。提出问题：对于二次函数y=ax +bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax +bx+c转化为y = a(x-m)2 +k的形式 ？ 学生回忆上节内容填空 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 合作学习：将y=ax +bx+c （ a≠0 ）变形为y = a(x-m)2 +k的形式 y=ax +bx+c= =a[]+c = 通过化简得到的结果我们可以看出函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。归纳：二次函数y=ax +bx+c的性质：二次函数y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x= .顶点坐标是为（ ， ）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。已知二次函数的图象如图所示，试确定a，b，c的符号 ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标。解：a=，b=3，c=∴=2因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。做一做:求下列函数图象的对称轴和顶点坐标 顶点坐标：对称轴:例4:已知二次函数y=x +4x–3,请回答下列问题：函数y=x +4x–3 的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象能否由函数 的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。解：原函数可以化为(1)函数的图象可由函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到，如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)函数图象的开口方向向下、对称轴是直线x=4，顶点坐标是(4,5)探究活动:一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时 ( http: / / www.21cnjy.com )，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么 如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？ ( http: / / www.21cnjy.com / )求函数解析式首先要建立平面直角坐标系。1、以点A为坐标原点，则B点的坐标是(12,0)，C点的坐标是(6，4)设函数解析式为则： 解得：所以函数解析式为：2、以点B为坐标原点，则A点的坐标是(-12,0)，C点的坐标是(-6，4)设函数解析式为则： 解得：所以函数解析式为： 3、以点C为坐标原点，则B点的坐标是(6,-4)，A点的坐标是(-6，-4)设函数解析式为则：-4=36a 解得：a=所以函数解析式为： 由此可知取的坐标原点不同，函数解析式不同，当取C点为原点时，计算解析式比较简单。 学以致用如图：有一抛物线拱桥，已知水位在A ( http: / / www.21cnjy.com )B位置时，水面的宽度为米；水位上升4米，就达到警戒线CD，这时的水面宽为米。若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？ ( http: / / www.21cnjy.com / )设函数的解析式为y=a（x-2）（x+2），由题意，得 解得：a= 则当x=0时，y=8 则OM=8则水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为：（8-4）÷0.5=8小时答：水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为8小时 学生利用学过的知识把二次函数一般式化为顶点式，教师巡视 师生共同总结二次函数的性质学生根据抛物线的开口方向，对称轴位置，以及和y轴的交点判断a，b，c的符号学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 学生完成练习学生思考，画出函数图象，解答问题学生思考，回答，教师给予订正。 学生思考，建立直角坐标系，解答 引导学生独立思考，培养自主学习的能力让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生分析问题的能力通过例题的解答，让学生真正掌握函数图象的性质以及平移，同时培养学生变相思考问题的能力。让学生体会学以致用的快感，增强学生学习的成就感。
巩固提升 1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2 +k的形式，结果为（ ）A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x-1)2+2答案：D2.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y=（x-4）2-6 B.y=（x-4）2-2C.y=（x-2）2-2 D.y=（x-1）2-3答案：B3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）A．abc＜0 B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图 象向左平移2个单位后所得 到抛物线的解析式为y=ax2+c答案：A4、抛物线y=x2 +2x+b的图象全部在x轴的上方，则b的取值范围为： ．答案：b<15、若二次函数 的最大值为4，且图象过点（-3,0）则二次函数解析式为： ．答案：y= -4x 2 -16x-126．如果一条抛物线的形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 状与 QUOTE 的形状相同，且顶点坐标是(4,2)，则函数关系式是 。答案：6、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象过A(2，0)， B(0，-1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一 次函数的值大于二次函数的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：（1）∵二次函数y=a ( http: / / www.21cnjy.com )x2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴ ，
∴a= ，b=- ，c=-1，
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1；(2)当y=0时，得x2-x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为（-1，0）；（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4． ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 二次函数y=ax +bx+c的性质：二次函数y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x= 顶点坐标是为（ ， ）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
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1.2.3二次函数的图象
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
上节课，我们学了y = a(x-m)2 +k的图象，回想一下这个函数图象的形状，开口方向，位置，平移法则？
一般地，抛物线y = a(x-m)2 +k与的 相同， 不同。当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
形状
位置
向上
向下
x=m
(m,k)
平移：
上正下负
左加右减
教学目标
导入新课
对于二次函数y=ax +bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax +bx+c转化为
y = a(x-m)2 +k的形式 ？
教学目标
新课讲解
将y=ax +bx+c （ a≠0 ）变形为y = a(x-m)2 +k的形式
y=ax +bx+c=
=a[]+c
=
函数的图象与函数的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
二次函数y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x= .
顶点坐标是为（ ， ）
当a>0时，抛物线的开口向上，
当a<0时，抛物线的开口向下，
顶点是抛物线上的最高点。
顶点是抛物线上的最低点。
二次函数y=ax +bx+c的性质：
归纳：
教学目标
新课讲解
已知二次函数的图象如图所示，试确定a，b，c的符号
解：(1) ∵开口向下
∴a<0
∵
∴b>0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c>0
(2) ∵开口向下
∴a<0
∵
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点在负半轴
∴c<0
(3) ∵开口向上
∴a>0
∵
∴b<0
∵抛物线与y轴的交点原点
∴c=0
教学目标
新课讲解
解：a=，b=3，c=
∴
=2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标。
做一做:
求下列函数图象的对称轴和顶点坐标
教学目标
新课讲解
顶点坐标：
对称轴:
(-1,2)
(,-4)
直线x=-1
直线x=
教学目标
新课讲解
例4:已知二次函数y=x +4x–3,请回答下列问题：
1、函数y=x +4x–3 的图象能否由函数 的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；
2、说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解：原函数可以化为
(1)函数的图象可由函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到，如图：
教学目标
新课讲解
2、函数图象的开口方向向下、对称轴是直线x=4，顶点坐标是(4,5)
教学目标
新课讲解
探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部
离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么 如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
1、点A 2、点B
3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数解析式最简单？
A
B
C
12m
教学目标
新课讲解
求函数解析式首先要建立平面直角坐标系。
1、以点A为坐标原点，则B点的坐标是(12,0)，C点的坐标是(6，4)
设函数解析式为
则： 解得：
所以函数解析式为：
2、以点B为坐标原点，则A点的坐标是(-12,0)，C点的坐标是(-6，4)
设函数解析式为
则： 解得：
所以函数解析式为：
教学目标
新课讲解
3、以点C为坐标原点，则B点的坐标是(6,-4)，A点的坐标是(-6，-4)
设函数解析式为
则：-4=36a 解得：a=
所以函数解析式为：
由此可知取的坐标原点不同，函数解析式不同，当取C点为原点时，计算解析式比较简单。
教学目标
新课讲解
如图：有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度为米；水位上升4米，就达到警戒线CD，这时的水面宽为米。若洪水到来时，水位以每小时0.5米速度上升，求水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
教学目标
学以致用
设函数的解析式为y=a（x-2）（x+2），由题意，得
解得：a= 则
当x=0时，y=8 则OM=8
则水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为：
（8-4）÷0.5=8小时
答：水过警戒线后淹没到拱桥顶端M处的时间为8小时
教学目标
学以致用
2.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A.y=（x-4）2-6 B.y=（x-4）2-2
C.y=（x-2）2-2 D.y=（x-1）2-3
1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2 +k的形式，结果为（ ）
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x-1)2+2
教学目标
巩固提升
D
B
3、已 知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc＜0 B．﹣3a+c＜0
C．b2﹣4ac≥0
D．将该函数图 象向左平移2个单位后所得 到抛物线的解析式为y=ax2+c
教学目标
巩固提升
A
教学目标
巩固提升
4、抛物线y=x2 +2x+b的图象全部在x轴的上方，则b的取值范围为： ．
5、若二次函数 的最大值为4，且图象过点（-3,0）则二次函数解析式为： ．
b＜1
y= -4x 2 -16x-12
6、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2，0)， B(0，-1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一 次函数的值大于二次函数的值．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴ ，
∴a= ，b=- ，c=-1，
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1；
(2)当y=0时，得x2-x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为（-1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4．
y=x+1
教学目标
课堂小结
二次函数y=ax +bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x=
顶点坐标是为（ ， ）
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
二次函数y=ax +bx+c的性质：
谢 谢！
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