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二次函数的性质教学设计
课题 二次函数的性质 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 让学生体会数形结合的数学思想方法的教育，向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辨证唯物主义思想
能力目标 培养学生用五点法画二次函数草图的能力，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力
知识目标 从具体函数的图象中认识二次函数的基础性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，学会确定二次函数的增减性，学会确定二次函数的最大值及最小值，学会判定二次函数的值何时为零、何时为正、何时为负。
重点 二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法；五点法画二次函数的大致图象
难点 二次函数性质的应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算篮球到达最高点时的高度？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生根据前面学的二次函数，思考问题。 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 合作学习：观察 如图，二次函数的图象，回答问题： ( http: / / www.21cnjy.com / ) (1)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？当x 时,y随着x的增大而减小当x 时,y随着x的增大而增大.(2)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？当x 时,y随着x的增大而增大当x 时,y随着x的增大而减小.思考：二次函数的增减性由什么确定的？(3)抛物线的顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？当x=____时,y有最___值=______(4)抛物线的顶点是图象的最 点该函数有没有最大值和最小值？当x=____时,y有最___值=______思考：函数是否有最大值或最小值由什么确定的？填表： ( http: / / www.21cnjy.com / ) 例、已知函数y=(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象。(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积？(4)根据图象，说出x取哪些值时，①y=0 ②y<0 ③y>0解：(1) ∵a=，b=-7，c=∴-所以函数的顶点坐标是(-7，32)，对称轴是x=-7由x=0，得，即图象与y轴的交点坐标是(0，)由y=0，得解得：所以图象与x轴的交点是(-15,0)，(1,0)函数的大致图象如图： ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)由图可知，当x≤-7时，y随x的增大而增大；当x≥-7时，y随x的增大而减小。当x=-7时，函数y有最大值32.(3) ∵与x轴的交点坐标为(-15,0)，(1,0)，函数的顶点坐标为(-7,32)∴三角形的面积=(4)如图：当x=-15或-1时，y=0；当x<-15或x>1时，y<0当-150 ( http: / / www.21cnjy.com / )例、先画出下列二次函数的图象，函数与 x 轴有几个交点 （1） y = 2x2＋x－3（2） y = 4x2 －4x +1（3） y = x2 – x+ 1（1） y = 2x2＋x－3 当y=0时，解得：， 与 x 轴有交点，有两个交点。分别是(，0)，(1,0) ( http: / / www.21cnjy.com / )（2） y = 4x2 －4x +1 解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0x 1 = x 2 = 所以与 x 轴有一个交点。 ( http: / / www.21cnjy.com / )（3） y = x2 – x+ 1解：当 y = 0 时，x2 – x+ 1 = 0因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0所以与 x 轴没有交点。 ( http: / / www.21cnjy.com / )方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？归纳当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。①当b2 －4ac >0时，抛物线与x轴有 交点；②当b2 －4ac =0时，抛物线与x轴只有 交点；③当b2 －4ac <0时，抛物线与x轴 交点。总结 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生观察函数图象，试着填空，教师巡视 师生共同得出结论师生完成思考题学生试着填表总结二次函数的性质学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 学生思考，画出函数图象，解答问题学生思考，回答，教师给予订正。 总结二次函数图象的交点问题 引导学生独立思考，培养自主学习的能力让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。通过例题的解答，让学生真正掌握函数图象的性质，同时培养学生变相思考问题的能力。培养学生分析问题的能力培养学生总结的能力以及口头表达能力
巩固提升 1.在二次函数的图像中，若 y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 答案：A2.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的 最大值为﹣4 D.抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）（3，0） 答案：C3、已知两点A(-5，(3,)均在抛物线 上，点C()是该抛物线的顶点，若 ，则的取值范围是（ ）A． B． C．-5< D．-2< 答案：B4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )ac＞0当x＞1时，y随x的增大而减小b﹣2a=0x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根 答案：D5、已知抛物线经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点．⑴求这条抛物线的表达式；⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 答案：解：(1)由已知，得 解得a=1，b=-2，c=-3．所以y=x2-2x-3．(2)因为a>0，所以开口向上，对称轴：x==1，顶点：(1，-4)． 6.篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求： ⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；⑵球在运动中离地面的最大高度 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解: ⑴设函数解析式为:y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：则：a=－0.2,k=3.5∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,自变量x的取值范围为：0≤x≤4.⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。7、 已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 答案：（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； 解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 二次函数的性质： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1.3二次函数的性质
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算篮球到达最高点时的高度？
如图，二次函数的图象，回答问题：
观察
教学目标
新课讲解
当x 时,y随着x的增大而减小
当x 时,y随着x的增大而增大.
(1)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
≤-1
≥-1
教学目标
新课讲解
(2)抛物线，当自变量x增大时，函数值y将怎样变化？
先增大，后减小
当x 时,y随着x的增大而增大
当x 时,y随着x的增大而减小.
≤2
≥2
教学目标
新课讲解
由对称轴决定
思考：二次函 数的增减性由什么确定的？
当x=____时,y有最___值=______
教学目标
新课讲解
(3)抛物线的顶点是图象的最 点。
该函数有没有最大值和最小值？
低
-1
小
-8
(4)抛物线的顶点是图象的最 点。
该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
高
2
大
由a决定
教学目标
新课讲解
思考：函数是否有最大值或最小值由什么确定的？
教学目标
新课讲解
填表：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
当x时,y随着x的增大而减
当x, y随着x的增大而增大.
当x,y随着x的增大而增大.
当x, y随着x的增大而减小.
，)
，)
当x=时，最小值为
当x=时，最大值为
教学目标
新课讲解
例、已知函数y=
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象。
(2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积？
(4)根据图象，说出x取哪些值时，①y=0 ②y<0 ③y>0
教学目标
新课讲解
解：(1) ∵a=，b=-7，c=
∴-
所以函数的顶点坐标是(-7，32)，对称轴是x=-7
由x=0，得，即图象与y轴的交点坐标是(0，)
由y=0，得
解得：
所以图象与x轴的交点是(-15,0)，(1,0)
函数的大致图象如图：
(2)由图可知，当x≤-7时，y随x的增大而增大；当x≥-7时，y随x的增大而减小。当x=-7时，函数y有最大值32.
教学目标
新课讲解
(3) ∵与x轴的交点坐标为(-15,0)，(1,0)，函数的顶点坐标为(-7,32)
∴三角形的面积=
(4)如图：
当x=-15或-1时，y=0；
当x<-15或x>1时，y<0
当-150
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
例、先画出下列二次函数的图象，并写出函数与 x 轴的交点坐标
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
教学目标
新课讲解
（1） y = 2x2＋x－3
与 x 轴有交点，有两个交点。
分别是(，0)，(1,0)
x
y
o
当y=0时，
解得：，
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时，
4x2 －4x +1 = 0
（2x－1）2 = 0
x 1 = x 2 =
所以与 x 轴有一个交点( 0)。
x
y
o
教学目标
新课讲解
（3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时，
x2 – x+ 1 = 0
所以与 x 轴没有交点。
x
y
o
因为△=（b2 －4ac =（-1）2－4×1×1
= －3 < 0
教学目标
新课讲解
方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？
归纳
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。
①当b2 －4ac >0时，抛物线与x轴有 交点；
②当b2 －4ac =0时，抛物线与x轴只有 交点；
③当b2 －4ac <0时，抛物线与x轴 交点。
两个
一个
没有
教学目标
新课讲解
二次函数的图象和x轴交点 一元二次方程=0的根 一元二次方程=0的根的判别式
有两个交点 有两个相异的实数根
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点 没有实数根
总结
教学目标
新课讲解
1.在二次函数的图像中，若 y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1
2.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y的 最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）（3，0）
教学目标
巩固提升
A
C
3、已知两点A(-5，) ，B(3,)均在抛物线 上，点C()是该抛物线的顶点，若 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．-5< D．-2<
教学目标
巩固提升
B
教学目标
巩固提升
4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
ac＞0
当x＞1时，y随x的增大而减小
b﹣2a=0
x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
D
教学目标
巩固提升
5、已知抛物线经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点．
⑴求这条抛物线的表达式；
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：(1)由已知，得 解得a=1，b=-2，c=-3．
所以y=x2-2x-3．
(2)因为a>0，所以开口向上，
对称轴：x==1，
顶点：(1，-4)．
3.05米
2.25米
o
x
y
⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵球在运动中离地面的最大高度。
6.篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：
4米
教学目标
巩固提升
解: ⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：
2.52a+k=2.25
(4－2.5)2a+k=3.05
则：a=－0.2,k=3.5
∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.
⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。
教学目标
巩固提升
7、已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
教学目标
巩固提升
解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
二次函数的性质：
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谢 谢！
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