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浙教版数学八年级下1.2定义与命题(2)教学设计
课题 定义与命题(2) 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 学生在学完本课知识后能对生活中的一些判断进行思辩,将数学思维运用到生活实际中。
能力目标 通过对知识点的学习培养学生反面思考问题的能力,自主探究能力.
知识目标 1.理解真命题、假命题、公理和定理的概念.2.判断一个命题的真假
重点 判断一个命题的真假
难点 正确认识基本事实、定理、命题和定义的区别
学法 练习法、自主探究法 教法 讲授法、演示法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 上节课我们学习了定义与命题的概念以及命题的结构和改写,我们通过做几个练习来巩固一下所学知识。分别说出下列命题的条件和结论。(1)三角形的两边之和大于第三边(2)三角形三个内角的和等于180°(3)两点确定一条直线(4)对于实数x,x <0 做PPT上面的题 回忆旧知,帮助学生进入状态
讲授新课 在上面的命题中,请大家判断一下,哪些正确?哪些不正确?正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。(1)(2)通过推理可以判定是正确的,是真命题,(3)是人们经过长期实践后,公认为正确的命题,也是真命题。对于任何实数x,都有x ≥0,所以命题(4)是不正确的,是假命题。通过上面的练习,可以归纳出判断一个命题真假的方法:1.推理,根据已知事实来推断未知事实如:判断“对顶角相等”是否为真命题是真命题,理由如下:∵ ∠1+∠3=180° ∠2+∠3=180°∴ ∠1=∠22.判断假命题,只需找一个反例证明即可。判断下面命题的真假(1)如果a≠0,b≠0,那么a +ab+b =(a+b) 假命题,如:a=1,b=1时, a +ab+b =3,(a+b) =4这时a +ab+b ≠(a+b) ,所以这个命题是假命题。(2)两个锐角之和一定是钝角假命题,如一个锐角为30°,另一个锐角为40°,则两角之和等于70°为锐角,所以这个命题是假命题。判断一个命题为假命题,通常用反证法,举一个反例即可 思考,听老师讲解 巩固旧知的同时,展开新知识的讲解
例题讲解 例:判断下列命题的真假,并说明理由。(1)三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等。(2)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。(3) 解:(1)是真命题,理由如下:如图1-1,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE⊥AD,CF⊥AD。∵ △ABD和△ACD的面积相等而△ABD的面积为 AD·BE,△ACD的面积为 AD·CF∴ AD·BE= AD·CF∴ BE=CF,所以这个命题是真命题。(2)是假命题,理由如下:如图1-2,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,但四边形ABCD不是平行四边形,所以这个命题是假命题。是假命题,理由如下:取a=-2,则= = =2≠-2也就是≠a,所以这个命题是假命题。判断一个命题是假命题,可以用反证法。命题的反例是具备命题的条件,但不具备命题的结论的实例。 思考并回答问题 加深理解,巩固新知
做一做 判断下列命题的真假,并说明理由。(1)如图,已知∠α和∠β,则∠α>∠β。(2)两点之间线段最短。(3)如图,若a⊥b,c⊥b,则a∥c。(4)会飞的动物是鸟 思考并展示问题答案 进一步巩固
讲授新知 基本事实:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。举例:1.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。2.两直线平行,同位角相等。3.两点确定一条直线。定理:用推理的方法判断为正确的命题。举例:1.三角形任何两边的和大于第三边;2.内错角相等, 两条直线平行;3.三角形的内角和180度。或对顶角相等。定理和基本事实都可以作为判断其他命题真假的依据. 听课,做笔记 讲解新知识
做一做 1.如图,若∠1+∠2=1800,则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.∵∠1+∠2=180°而∠2+∠3=180°∴∠1=∠3根据同位角相等,两直线平行得:a∥b2.用反证法证明下列问题:
如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分.证明:连接DE,
假设BD和CE互相平分,
∴四边形EBCD是平行四边形,
∴BE∥CD,
3.判断下列命题的真假: (1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形; (2)如果│a│=│b│,那么a =b .(1)因为三角形的内角和是180°,所以当一个三角形如果有两个角互余,第三个角为90°,那么这个三角形是直角三角形所以这个命题是真命题;(2)如果|a|=|b|,那么a 不一定和b 相等,如a=1,b=-1时, a ≠b 思考并展示问题答案 做题,拓展思维
总结归纳 定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题之间的关系A表示命题,B表示假命题,C表示真命题,D,E,F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个 与老师一起总结 各个单一的概念要相互之间建立联系,有利于学生形成体系
达标检测 1.如图,若∠1=∠2,则∠3=∠4。请你判断这个命题的真假,并说明理由。真命题∵ ∠1=∠2,∴l1∥l2根据两直线平行,内错角相等,得∠3=∠42.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是( )
A. 公理和定理都是真命题
B. 公理就是定理,定理也是公理
C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据
D. 公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明解析:根据公理和定理的定义,可知道A,C,D是正确的,B是错误的.3.有下列命题:
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形;
(2)邻边相等的矩形一定是正方形;
(3)对角线相等的四边形是矩形;
(4)三角形中至少有两个角是锐角;
(5)菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍;
其中正确命题的个数有( )A.2个 B.3个 C.4个 D. 5个解析:(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,根据等腰三角形的性质得出此选项正确;
(2)邻边相等的矩形一定是正方形,根据正方形判定得出此选项正确;
(3)对角线相等的四边形是可能是等腰梯形,故此选项错误;
(4)三角形中至少有两个角是锐角,根据三角形内角和定理得出此选项正确;
(5)如图所示:∵菱形对角线互相垂直,
∴a 2+b 2=c 2,∵(2a) 2+(2b) 2=4(a 2+b 2)=4c 2,
即菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍,故此选项正确;
故正确的有4个,
故选:C.4.已知:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设____________解析:∠B≠∠C的反面是∠B=∠C.
故可以假设∠B=∠C.5.“两点之间线段最短”是_________(填“定义”或“公理”或“定理”).6.张、王、李三人予测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果:王说:“丁队得冠军,乙队得亚军”;李说:“甲队得亚军,丙队得第四”;张说:“丙队得第三,丁队得亚军”.赛后得知,三人都只猜对了一半,则得冠军的是______.解析:∵三人都只猜对了一半,
∴①当王预测的丁队得冠军正确时候,则乙得亚军错误,
∴张预测的丁队得亚军错误,而其预测的丙对得第三正确,
∴李预测的丙队得第四错误,甲队得亚军正确,
∴此时的正确排名是:丁、甲、丙、乙;②当王预测的乙队得亚军正确时候,则丁队得冠军错误,
∴张预测的丁队得亚军错误,则丙队得第三正确,
∴李预测的丙对得第四错误,则甲队得亚军正确,
这与乙队得亚军矛盾,故这种假设错误.
故答案为:丁. 做题 检测学生的学习程度
拓展思维 如图,A,B,C,D,E五人围坐在圆桌旁,为A祝贺生日,小华问他们当时的座位.
A说:“我在B的旁边.”
B说:“我的左边不是C就是D.”
C说:“我在D的旁边.”
D说:“不,C在B的右边是错的.”
只有E作了如实回答:“除B说正确之外,A,C,D都说错了.”
你能确定他们的位置吗?如图,有两种可能. 做题思考 拓展思维
课堂小结 这节课我们学习了:1.真假命题2.判断真假命题的方法3.定理、基本事实 回忆本课知识 带领学生总结本课知识点
布置作业 课本P15页第1、5、6 题 练习 练习巩固
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定义与命题——第二课时
班级:___________姓名:___________得分:__________
一、选择题
1、下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b;
D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
2. 观察下列命题:
(1)如果a<0,b>0,那么a+b<0;
(2)同角的补角相等;
(3)同位角相等;
(4)如果a2>b2,那么a>b;
(5)有公共顶点且相等的两个角是对等角.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误的.乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你认为( )说法是正确的。21cnjy.com
A.甲正确 B.乙正确 C.甲乙都正确 D.甲乙都不正确
4. 下列说法正确的是( )
A.命题一定是正确的
B.不正确的判断就不是命题
C.真命题都是公理
D.定理都是真命题
5. 下列命题中,属于假命题的是( )
A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥c,b∥a,则b⊥c21·cn·jy·com
二、填空题
1. 命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等。其中假命题有________个2·1·c·n·j·y
2、已知下列命题:
①若a>0,b>0,则a+b>0;
②若a ≠b ,则a≠b;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
其中原命题与逆命题均为真命题的序号是______.
3.写出下列假命题的反例:
(1)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形________;
(2)相等的角是对顶角_______。
4. 一次数学测试,满分为100分.测试分数出来后,同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算,李华说:我俩分数的和是160分,吴珊说:我俩分数的差是60分.那么,对于下列两个命题:①俩人的说法都是正确的,②至少有一人说错了.其中真命题是______(用序号①、②填写).21·世纪*教育网
5. 用反证法证明命题“在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°”,假设为______.
三、解答题
1.下列命题中哪些是假命题?为什么?
(1)如果 ,那么x<4
(2)各边对应成比例的两个多边形一定相似。
(3)如果a≠0,b≠0,那么a +ab+b =(a+b)
(4)两个锐之和一定是钝角
2. A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩:
A说:“如果我得优,那么B也得优。”
B说:“如果我得优,那么C也得优。”
C说:“如果我得优,那么D也得优。”
D说:“如果我得优,那么E也得优。”
大家都没有说错,但只有三个人得优。请问:得优的是哪三个人?
3. 对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个判断:①a∥b,②b∥c③a⊥b④a∥c⑤a⊥c,请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题(至少写三个命题)21教育网
参考答案
一、选择题
1、A
【解析】A、如果两个角不相等,那么这两个角一定不是对顶角,所以A选项为真命题;
B、如果a =b ,那么a=b或a=-b,所以B选项为假命题;
C、有个角有一条公共边且互补的角一定是邻补角,所以C选项为假命题;
D、当两直线平行,且两角是同位角,那么这两角一定相等,所以D选项为假命题.
故选A.
2、A
【解析】(1)当a=-1,b=3时命题错误;
(2)同角的补角相等,正确;
(3)只有两直线平行,同位角才相等;
(4)当a=-3,b=2时命题错误;
(5)有公共顶点且相等的两个角是对顶角,错误
故选A.
3、B
【解析】乙是正确的,因为“对顶角不相等”是命题,只不过是个假命题
4.D
【解析】A.命题不一定是正确的,有假命题存在
B.不正确的判断是假命题
C.真命题不只是公理,也有定理和其他
D.定理都是真命题,定理是经过推理得出的,都是真命题,正确。
5.A
【解析】A、若a⊥c,b⊥c,则a⊥b 这是错误的,因为垂直于同一直线的两条直线应该是互相平行的而不是垂直.其他B、C、D都正确.www.21-cn-jy.com
故选A.
二、填空题
2、③④
【解析】①原命题正确,逆命题错误;
②原命题正确,逆命题错误;
③原命题和逆命题分别是菱形的判定定理和菱形的性质定理,均正确,是真命题;
④原命题与逆命题均正确.
故答案为:③④.
3、(1)直角三角形有两个锐角;(2)两直线平行,同位角相等
【解析】命题的反例是具备命题的条件,但不具备命题的结论。
(1)直角三角形有两个锐角;(2)两直线平行,同位角相等(答案不唯一)
4. ②
【解析】若设李华的说法是真命题,则两个人的分数和为160分,
若其中一人拿100分,另一人拿60分,那么他们的分差最大,为100-60=40分<60分.
因此他们两人之中,肯定有人说谎,故本题的真命题是②.
5. 一个三角形中,三个内角都小于60°.
【解析】在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°的反面是:一个三角形中,三个内角都小于60°.则应先假设在一个三角形中,三个内角都小于60°.21世纪教育网版权所有
故答案是:一个三角形中,三个内角都小于60°.
三、解答题
1.【解析】(1)是假命题。因为 当 时 x>4.25 所以这个命题是假命题
(2)是假命题。如:两个菱形的各边对应成比例,但它们不一定相似,所以这个命题是假命题
(3)是假命题。如:a=1,b=1时a +ab+b =3, (a+b) =4,这时a +ab+b ≠ (a+b) ,所以这个命题是假命题。【来源:21·世纪·教育·网】
(4)是假命题,如一个锐角为30°,另一个锐角为40°,则两角之和等于70°为锐角,所以这个命题是假命题www-2-1-cnjy-com
2. 【解析】CDE得优
如果A得优,那么B也得优.
如果B得优,那么C也得优.
如果C得优,那么D也得优.
如果D得优,那么E也得优.
根据以上条件.可以假设:
假设A是优.则B就是优.所以C是优.所以D是优.所以E是优.
这样以来就5人都是优..所以不符合条件中只有3个人是优.
依此类推,
"当C得优,D就得优,E就得优".
这样一来,即符合题意的只有3人得优.也符合5人都说真话.
如果是BCD的话,那么D就说了假话.因为D说他是优那么E就是优.所以答案只有一个,就是CDE.
3.【解析】对于同一平面内的三条直线,
⑴如果①a∥b;②b∥c,那么④a∥c.
⑵如果③a⊥b;⑤a⊥c,那么②b∥c.
⑶如果②b∥c;⑤a⊥c,那么③a⊥b.
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定义与命题
——第二课时
浙教版 八年级上
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教学目标
回忆旧知
定义:能清楚规定某一名称或术语的意义的句子。
命题:判断某一件事的句子叫做命题。
命题
条件
结论
已知事项
由已知事项得到的事项
“如果 …… 那么 ……”
条件
结论
改写
命题
教学目标
回忆旧知
分别说出下列命题的条件和结论。
(1)三角形的两边之和大于第三边
(2)三角形三个内角的和等于180°
(3)两点确定一条直线
(4)对于实数x,x <0
在上面的命题中,请大家判断一下,哪些正确?哪些不正确?
正确
不正确
正确
正确
教学目标
新课讲解
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。
如何证实一个命题的真假呢
(1)三角形的两边之和大于第三边
(2)三角形三个内角的和等于180°
(3)两点确定一条直线
(4)对于实数x,x <0
通过推理可以判定是正确的,是真命题
人们经过长期实践后,公认为正确的命题,也是真命题
对于任何实数x,都有x ≥0,所以是不正确的,是假命题。
请你归纳
教学目标
新课讲解
一、推理法
如:判断“对顶角相等”是否为真命题
1
2
3
是真命题,理由如下:
∵ ∠1+∠3=180°
∠2+∠3=180°
∴ ∠1=∠2
要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式
教学目标
新课讲解
二、反证法
判断下面命题的真假
(1)如果a≠0,b≠0,那么a +ab+b =(a+b)
(2)两个锐角之和一定是钝角
假命题,如:a=1,b=1时, a +ab+b =3,(a+b) =4
这时a +ab+b ≠(a+b) ,所以这个命题是假命题
假命题,如一个锐角为30°,另一个锐角为40°,则两角之和等于70°为锐角,所以这个命题是假命题。
判断一个命题为假命题,通常用反证法,举一个反例即可
教学目标
例题讲解
判断下列命题的真假,并说明理由。
(1)三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线
的距离相等。
(2)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。
(3) =a(a为实数)
教学目标
例题讲解
(1)三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在的直线的距离相等。
解:是真命题,理由如下:
如图1-1,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE⊥AD,CF⊥AD。
∵ △ABD和△ACD的面积相等
而△ABD的面积为 AD·BE,△ACD的面积为 AD·CF
∴ AD·BE= AD·CF
∴ BE=CF,所以这个命题是真命题。
A
C
B
E
D
F
图1-1
教学目标
例题讲解
(2)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。
是假命题,理由如下:
如图1-2,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,但四边形ABCD不是平行四边形,所以这个命题是假命题。
(3) =a(a为实数)
是假命题,理由如下:
取a=-2,则= = =2≠-2
也就是≠a,所以这个命题是假命题。
D
A
B
C
图1-2
教学目标
做一做
判断下列命题的真假,并说明理由。
(1)如图1-3,已知∠α和∠β,则∠α>∠β。
(2)两点之间线段最短。
(3)如图1-4,若a⊥b,c⊥b,则a∥c。
(4)会飞的动物是鸟
⌒
⌒
α
β
图1-3
a
c
b
图1-4
真命题
真命题
真命题
假命题
举反例,比如蝴蝶,蜻蜓
教学目标
讲解新知
基本事实:人类经过长期实践后公认为正确的命题。
举例:
1.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
2.两直线平行,同位角相等。
3.两点确定一条直线。
4.同位角相等,两直线平行。
教学目标
讲解新知
定理:用推理的方法判断为正确的命题。
举例:
1.三角形任何两边的和大于第三边;
3.三角形的内角和180°或对顶角相等
2.内错角相等, 两条直线平行;
定理和基本事实都可以作为判断其他命题真假的依据.
教学目标
命题
真命题
(正确的命题)
假命题
(不正确的命题)
定理:用推理的方法判断为正确的命题
基本事实:人们经过长期实践后而公认为正确的命题
举反例
判断一个命题真假的方法
命题的反例是具备命题的条件,但不具备命题的结论
知识归纳
教学目标
做一做
1.如图,若∠1+∠2=180°,则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.
a
b
⌒
⌒
1
2
∵∠1+∠2=180°
而∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
根据同位角相等,两直线平行得:a∥b
⌒
3
教学目标
做一做
2.用反证法证明下列问题:
如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分.
教学目标
做一做
证明:连接DE,
假设BD和CE互相平分,
∴四边形EBCD是平行四边形,
∴BE∥CD,
∵在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,
∴AB不可能平行于AC,与已知出现矛盾,
故假设不成立原命题正确,
即BD和CE不可能互相平分.
教学目标
做一做
3.判断下列命题的真假:
(1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;
(2)如果│a│=│b│,那么a =b .
(1)因为三角形的内角和是180°,所以当一个三角形如果有两个角互余,第三个角为90°,那么这个三角形是直角三角形所以这个命题是真命题;
(2)如果|a|=|b|,那么a 不一定和b 相等,如a=1,b=-1时, a ≠b
教学目标
总结归纳
定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题之间的关系是什么?
D
E
F
C
B
A
A表示命题,B表示假命题,C表示真命题,D,E,F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个
教学目标
达标测评
1.如图,若∠1=∠2,则∠3=∠4。请你判断这个命题的真假,并说明理由。
真命题
∵ ∠1=∠2,
∴l1∥l2
根据两直线平行,内错角相等,得∠3=∠4
教学目标
达标检测
2.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是( )
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明
B
解析:根据公理和定理的定义,可知道A,C,D是正确的,B是错误的.
教学目标
达标检测
3.有下列命题:
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形;
(2)邻边相等的矩形一定是正方形;
(3)对角线相等的四边形是矩形;
(4)三角形中至少有两个角是锐角;
(5)菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍;
其中正确命题的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D. 5个
C
教学目标
达标测评
解析:(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,根据等腰三角形的性质得出此选项正确;
(2)邻边相等的矩形一定是正方形,根据正方形判定得出此选项正确;
(3)对角线相等的四边形是可能是等腰梯形,故此选项错误;
(4)三角形中至少有两个角是锐角,根据三角形内角和定理得出此选项正确;
(5)如图所示:∵菱形对角线互相垂直,
∴a 2+b 2=c 2,∵(2a) 2+(2b) 2=4(a 2+b 2)=4c 2,
即菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍,故此选项正确;
故正确的有4个,
故选:C.
教学目标
达标检测
4.已知:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设____________
解析:∠B≠∠C的反面是∠B=∠C.
故可以假设∠B=∠C.
∠B=∠C
5.“两点之间线段最短”是_________(填“定义”或“公理”或“定理”).
公理
教学目标
达标检测
6.张、王、李三人予测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果:王说:“丁队得冠军,乙队得亚军”;李说:“甲队得亚军,丙队得第四”;张说:“丙队得第三,丁队得亚军”.赛后得知,三人都只猜对了一半,则得冠军的是______.
解析:∵三人都只猜对了一半,
∴①当王预测的丁队得冠军正确时候,则乙得亚军错误,
∴张预测的丁队得亚军错误,而其预测的丙对得第三正确,
∴李预测的丙队得第四错误,甲队得亚军正确,
∴此时的正确排名是:丁、甲、丙、乙;
丁
教学目标
达标检测
②当王预测的乙队得亚军正确时候,则丁队得冠军错误,
∴张预测的丁队得亚军错误,则丙队得第三正确,
∴李预测的丙对得第四错误,则甲队得亚军正确,
这与乙队得亚军矛盾,故这种假设错误.
故答案为:丁.
教学目标
拓展提升
如图,A,B,C,D,E五人围坐在圆桌旁,为A祝贺生日,小华问他们当时的座位.
A说:“我在B的旁边.”
B说:“我的左边不是C就是D.”
C说:“我在D的旁边.”
D说:“不,C在B的右边是错的.”
只有E作了如实回答:“除B说正确之外,A,C,D都说错了.”
你能确定他们的位置吗?
教学目标
拓展提升
如图,有两种可能.
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了:
1.真假命题
2.判断真假命题的方法
3.定理、基本事实
教学目标
课后作业
课本P15页第1、5、6 题
谢 谢!
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