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浙教版数学八年级下1.3证明（1）教学设计
课题 1.3证明（1） 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 感受数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，感受数学的魅力。
能力目标 在学习的过程中发展初步的演绎推理能力。
知识目标 1. 了解证明的定义2. 了解证明的基本步骤和书写格式
重点 从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
难点 证明的基本步骤和书写格式，推理的合理性
学法 推理法 教法 讲授法、比较法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 上节课我们学习了命题，回忆一下，要判定一个真命题，我们用了什么方法呢？(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;(2)人们经过长期实践后而公认为正确的.判定一个命题是假命题的方法:举反例 回忆，回答 回忆旧知，巩固前一节课的同时，展开新的教学
导入新课 图中的四边形是正方形吗？ 是正方形直观看到的有可能是假的。通过观察,先猜想结论,再动手验证: 如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行 相互平行 观察图片 通过观察得出一般的方法存在误差，进而引出证明的概念
做一做 命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？A同学是这样解的：因为 当n=0时， n2-3n+7=7；当n=1时， n2-3n+7=5；当n=2时， n2-3n+7=5；当n=3时， n2-3n+7=7；当n=4时， n2-3n+7=11；……代数式 n2-3n+7 的值都是质数，所以命题是真的。你认为他解得对吗？当n=6时， n2-3n+7=25枚举 举不胜举！ 思考 部分学生的思维跟这个同学是一样的，最后要得出枚举法的不足
比一比 图中线段AB与线段CD,哪条长？若这两条线段是方格纸（单位长度为1）中的格点线段，则应如何比较长短？ 思考，测量 通过做练习得出测量存在的不足
讲授新课 上面的例子说明了什么呢？ 判断一个命题是真命题的方法有：一、目测（直观）二、列举三、测量可是这三种方法都存在一些误差，用目测的方法会产生错觉，列举会举不胜举，测量法会产生误差要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明 。 比较总结 引出证明
例题讲解 例1 已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E，求证：BE平分∠ABC。例2已知：如图，AB∥CD，EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE。 求证：∠PEF+∠PFE=90°。证明：∵EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知）∴ ∠PEF= ∠BEF， ∠PEF= ∠DEF（角平分线的定义）∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴ ∠PEF+∠PFE= ∠BEF+ ∠DFE = （∠BEF+∠DEF） = ×180°=90° 听讲，思考 做例题，规范解答过程
归纳总结 证明几何命题的基本思路:(1)综合法：从已知出发，根据已知我们能得到什么？（2）分析法：从求证出发，根据求证结论，我们需要什么？注意:（1）证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内.（2）证明角相等（或线段）相等的常用手段之一是找第三个角（或线段） 整理知识 小结证明的思路
学以致用 1如图，已知AB∥CD，EG，FH分别平分∠AEF，∠DFE。求证：EG∥FH证明：∵AB∥CD
∴∠AEF＝∠DFE （内错角相等）
∵EG平分∠AEF
∴∠GEF＝
∵FH平分∠DFE
∴∠HFE＝
∴∠GEF＝∠HFE
∴EG∥FH （内错角相等,两直线平行）2.请在下列括号内填上正确的内容。如图所示，
∵EF//AB（已知），
∴∠A=（ ）（ ），
∵DE//CB（已知），
∴∠DEF=（ ）（ ），
∵（ ），
∴∠A+∠AEF= 180°（两直线平行，同旁内角互补）。 做练习 做类似习题加以巩固
达标检测 1.如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，要证∠3+∠4=180°，请补充完整证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3（ 等量代换），
∴BE∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠3+∠4=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．2.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（ ）A．10°
B．15°
C．20°
D．30°解：过点P作PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，
∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，
∴45°+α=（60°-α）+（30°-α），
解得α=15°．3.判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．______
（2）a、b、c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c．______．解：（1）∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
∴a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
（2）∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
∴a、b、c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a∥c，故本小题错误．4.实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等。如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=_______．解析：∵∠6=∠1=50°， ∠5=∠3，∠2=∠4，∴∠3=2∠2-∠6=60°．5.学行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线 的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等③同位角相等，两直线平行 ④内错角相等，两直线平行． Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④解析：①②是由平行推出角的关系, ②③才是由角的关系推出两直线平行,事实上小敏的方法由两直线平行的三个判定定理都是可用的,即由内错角相等、同位角相等、同旁内角互补都可以判定小敏折出的两直线平行.
选 C 做练习 检测学习情况
拓展提升 如图所示，AB∥DE． （1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论． （2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系仍然满足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：画出相应的图形）．解：（1）∠A+∠ACD+∠D=360°；证明如下：过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A+∠ACF=180°，
∵CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵∠ACD=∠ACF+∠DCF，
∴∠A+∠ACD+∠D=360°．（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，满足∠ACD=∠A-∠D．如图：
证明如下：过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，
∵CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵∠ACD=∠ACF-∠DCF，
∴∠ACD=∠A-∠D． 做题思考 拓展提升，大胆猜想
课堂小结 这节课我们学习了：1.证明的定义2.平行线相关的证明3.证明的基本步骤和格式 回忆总结 带领学生总结，做到心中有数
课后作业 课本P18页第2、3、4 题 做练习 课后巩固
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证明——第一课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、如图，下列推理中正确的是（ ）
A．若∠1=∠2，则AD∥BC
B．若∠1=∠2，则AB∥DC
C．若∠A=∠3，则AD∥BC
D．若∠3=∠4，则AB∥DC
2.如图，以下条件能判定EG∥HC的是（ ）
A．∠FEB=∠ECD B．∠AEG=∠DCH C．∠GEC=∠HCF D．∠HCF=∠AEG
3. 如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，∠ACB的度数为（ ）．21世纪教育网版权所有
A.50° B.55° C.80° D.60°
4. 如图所示，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，∠1=75°，下列说法正确的（ ）
A．若∠4=75°，则AB∥CD
B．若∠4=105°，则AB∥CD
C．若∠2=75°，则AB∥CD
D．若∠2=155°，则AB∥CD
5. 如图： 已知∠1=40°，要使直线a∥b，则∠2=（ ）
A 50° B 40° C 140° D 150°
二、填空题
1、探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都可以反射光线。如图所示是一探照灯灯碗，侧面看上去，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出。如果图中∠ABO= a，∠DCO= ，则∠ BOC的度数为________。21教育网
2. 已知如图CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=________。
3. 如图所示，添上一个你认为适当的条件______时，a∥b．
4. 如图所示，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是36°，第二次拐的角是______度，根据______．21cnjy.com
5. 如图，给出下列三个论断：①∠B+∠D=180°；②AB∥CD；③BC∥DE．请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以一个论断作为结论，填入“结论栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由． www.21-cn-jy.com
已知，如图， _________ ，
结论： _________ ．
理由： _________ ．
三、解答题
1. 如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC
（1）求∠DAB+∠B的度数．
（2）AD与BC平行吗？请说明理由．
2. 已知：如图，∠1与∠2互余，∠3与∠2互余．求证：a∥b．（要求写出每一步的理由，已知除外）
3. 如图，已知AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，求证：BA平分∠EBF，下面给出证法1
证法1：∠1、∠2、∠3的度数分别为x，2x，3x
∵AB∥CD，
∴2x+3x=180°，
解得x=36°
∴∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°
∵∠EBD=180°，
∴∠EBA=72°
∴BA平分∠EBF
请阅读 证法1后，找出与证法1不同的证法2，并写出证明过程。21·cn·jy·com
四、应用题
实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=______°，∠3=______°；
（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=______°，若∠1=40°，则∠3=______°；
（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=______°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．2·1·c·n·j·y
参考答案
一、选择题
1、B
【解析】A、根据∠1=∠2不能推出AD∥BC，故本选项错误；
B、根据∠1=∠2能推出AB∥DC，故本选项正确；
C、根据∠A=∠3不能推出AD∥BC，故本选项错误；
D、根据∠3=∠4不能推出AB∥DC，故本选项错误．
故选B．
2、C
【解析】
A、如图，当∠FEB=∠ECD时，AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故本选项错误；
B、如图，当∠AEG=∠DCH时，不能判定图中的哪两条直线平行，故本选项错误；
C、如图，当∠GEC=∠HCF时，EG∥HC（内错角相等，两直线平行），故本选项正确；
D、如图，当∠HCF=∠AEG时，不能判定图中的哪两条直线平行，故本选项错误；
故选：C．
3、C
【解析】证明：
∵FE⊥AB,CD⊥AB
∴CD‖EF
∴∠BCD=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠BCD
∴DG‖BC
∴∠ACB =∠3
∵∠3=80°
∴∠ACB =80°
4.B
【解析】解答：解：A、∵∠4=75°，
∴∠3=180°-75°=105°，
∴∠1≠∠3，
∴AB、CD不平行，
故此选项错误；
B、∵∠4=105°，
∴∠3=180°-105°=75°，
∴∠1=∠3，
∴AB、CD平行，
故此选项正确；
C、∵∠2=75°，
∴∠1=∠2，
又∵∠1、∠2是对顶角，
∴AB、CD不平行，
故此选项错误；
D、∵∠2=155°，
∴∠1≠∠2，
又∵∠1、∠2是对顶角，
∴∠1=∠2，
故此题矛盾，而AB、CD更不可能不平行，
故此选项错误．
故选B．
5.B
【解析】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1=40°，
∴∠1=∠3=40°，
∴∠2=∠3=40°．
故选：B．
二、填空题
1、α+β
【解析】解：∠BOC的度数为α+β．
过O作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠1=∠ABO=α，∠2=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠1+∠2=α+β．
2、180°
【解析】∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴DC∥EF，
∴∠DCB=∠BEF，
∵∠DGC=105°，∠BCG=75°，
∴∠DGC+∠BCG=180°，
∴BC∥GD，
∴∠2=∠DCB，
∴∠2=∠BEF，
∵∠1+∠BEF=180°，
∴∠1+∠2=180°．
3、∠1=∠5
【解析】答案不唯一．
∵∠1=∠5
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
故应填：∠1=∠5．
4. 36；两直线平行，内错角相等
【解析】根据题意得：a∥b，∠1=36°，
则可得：∠2=∠1=36°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：36；两直线平行，内错角相等．
5. ①②，③，平行线的判定与性质
【解析】解：如果∠B+∠D=180°，AB∥CD，那么BC∥DE．理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又∵∠B+∠D=180°（已知），
∴∠C+∠D=180°，
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：①②，③，平行线的判定与性质．
【】
三、解答题
1.【解析】
（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°；
（2）∵∠DAB+∠B=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
2. 【解析】证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°（余角定义），
∵∠3与∠2互余，
∴∠3+∠2=90°（余角定义），
∴∠1=∠3（等角的余角相等），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
3.【解析】解：设∠1、∠2、∠3的度数分别为x，2x，3x
则∠EBA=180°-3x，
∵AB∥CD，
∴∠2=180°-∠3=180°-3x，
∴∠EBA=∠2，
即BA平分∠EBF。
四、应用题
【解析】
（2）90°，90°．
由（1）可得∠3的度数都是90°；
（3）90°（2分）
理由：因为∠3=90°，
所以∠4+∠5=90°，
又由题意知∠1=∠4，∠5=∠6，
所以∠2+∠7=180°-（∠5+∠6）+180°-（∠1+∠4），
=360°-2∠4-2∠5，
=360°-2（∠4+∠5），
=180°．
由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．
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证 明
——第一课时
浙教版 八年级上
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教学目标
回顾旧知
命题的分类
真命题
（包括公理和定理）
假命题
判定一个命题是真命题的方法:
(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;
(2)人们经过长期实践后而公认为正确的.
判定一个命题是假命题的方法:
举反例
教学目标
新课讲解
图中的四边形是正方形吗？
是正方形
教学目标
新课讲解
观察图形，一组直线a,b,c,d是否都互相平行？
直线a,b,c,d互相平行
目测（直观）
错觉！
教学目标
做一做
命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？
因为 当n=0时， n2-3n+7=7；
当n=1时， n2-3n+7=5；
代数式 n2-3n+7 的值都是质数，所以命题是真的。
你认为他解得对吗？
当n=6时， n2-3n+7=25
枚举
举不胜举！
A同学是这样解的：
当n=2时， n2-3n+7=5；
当n=3时， n2-3n+7=7；
当n=4时， n2-3n+7=11；……
教学目标
比一比
图中线段AB与线段CD,哪条长？
若这两条线段是方格纸（单位长度为1）中的格点线段，则应如何比较长短？
A
B
D
C
F
E
测量
计算
测量
有误差
教学目标
讲解新知
上面的例子说明了什么呢？
观察
有错觉
测量
有误差
枚举
举不胜举
凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，因此通过这些方式得到的结论，还需进一步加以证实。
教学目标
讲解新知
要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
教学目标
例题讲解
例1已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E，求证：BE平分∠ABC。
证明
∵ DE∥BC （ ）
已知
∴ ∠2=∠E（ ）
两直线平行，内错角相等
∵ ∠1=∠E（ ）
已知
∴ ∠1=∠2
∴ BE平分∠ABC（ ）
角平分线的定义
教学目标
例题讲解
∴ ∠PEF+∠PFE= ∠BEF+ ∠DFE
= （∠BEF+∠DEF）=90°
例2 已知：如图，AB∥CD，EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE。
求证：∠PEF+∠PFE=90°。
证明：
∵EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE（ ）
∴ ∠PEF= ∠BEF，∠PEF= ∠DEF（ ）
∵AB∥CD（ ）
∴∠BEF+∠DEF=180°（ ）
已知
角平分线的定义
已知
两直线平行，同旁内角互补
教学目标
总结归纳
注意:（1）证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内.
（2）证明角相等（或线段）相等的常用手段之一是找第三个角（或线段）
证明几何命题的基本思路:
(1)综合法：从已知出发，根据已知我们能得到什么？
(2)分析法：从求证出发，根据求证结论，我们需要什么？
教学目标
学以致用
1.如图，已知AB∥CD，EG，FH分别平分∠AEF，∠DFE。求证：EG∥FH
证明：∵AB∥CD
∴∠AEF＝∠DFE （内错角相等）
∵EG平分∠AEF
∴∠GEF＝
∵FH平分∠DFE
∴∠HFE＝
∴∠GEF＝∠HFE
∴EG∥FH （内错角相等,两直线平行）
教学目标
学以致用
如图所示，
∵EF//AB（已知），
∴∠A=（ ）（ ），
∵DE//CB（已知），
∴∠DEF=（ ）（ ），
∵（ ），
∴∠A+∠AEF= 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
2.请在下列括号内填上正确的内容。
∠CEF
两直线平行，同位角相等
∠EFC
两直线平行，内错角相等
AB∥EF
教学目标
达标测评
1.如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，要证∠3+∠4=180°，请补充完整证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（ ），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3（ ），
∴BE∥DF（ ），
∴∠3+∠4=180°（ ）．
两直线平行，内错角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
教学目标
达标测评
2.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
解：过点P作PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，
∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，
∴45°+α=（60°-α）+（30°-α），
解得α=15°．
B
教学目标
达标测评
3.判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．______
（2）a、b、c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c．______．
解：（1）∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
∴a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
（2）∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
∴a、b、c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a∥c，故本小题错误．
√
×
教学目标
达标测评
4.实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等。如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3=_______．
60°
解析：∵∠6=∠1=50°， ∠5=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=2∠2-∠6=60°．
教学目标
达标测评
5.学行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线 的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等
③同位角相等，两直线平行 ④内错角相等，两直线平行．
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④
C
教学目标
达标测评
解析：①②是由平行推出角的关系, ②③才是由角的关系推出两直线平行,事实上小敏的方法由两直线平行的三个判定定理都是可用的,即由内错角相等、同位角相等、同旁内角互补都可以判定小敏折出的两直线平行.
选 C
教学目标
应用提高
如图所示，AB∥DE．
（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．
（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系仍然满足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：画出相应的图形）．
教学目标
应用提高
解：（1）∠A+∠ACD+∠D=360°；
证明如下：过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A+∠ACF=180°，
∵CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵∠ACD=∠ACF+∠DCF，
∴∠A+∠ACD+∠D=360°．
教学目标
应用提高
（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，满足∠ACD=∠A-∠D．如图：
证明如下：过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，
∵CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵∠ACD=∠ACF-∠DCF，
∴∠ACD=∠A-∠D．
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.证明的定义
2.平行线相关的证明
3.证明的基本步骤和格式
教学目标
课后作业
课本P18页第2、3、4 题
谢 谢！
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