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浙教版数学八年级上1.5三角形全等的判定（3）教学设计
课题 1.5三角形全等的判定（3） 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 能够体会数学严谨的推理，利用三角形全等解决现实问题，感受数学的乐趣。
能力目标 在探究全等三角形判定的过程中培养自主探究和合作学习、推理思考的能力
知识目标 1.探索并掌握两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 2.会运用ASA判定两个三角形全等。
重点 两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
难点 判定两个三角形全等和运用全等三角形的性质判定线段相等两个过程，是本节教学的难点。
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？1. 全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形全等2.边边边公理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等3.边角边公理（SAS）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 回忆，思考 带领学生回忆旧知识，一方面可以快速进入课堂，另一方面减轻学生认知负担
思考讨论 思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角与这条边的位置上有几种可能性呢？在图1中， 边AB是∠A与∠B的夹边， 我们称这种位置关系为两角夹边在图2中， 边BC是∠A的对边， 我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。 思考 提出问题，引发学生积极思考
做一做 请用量角器和刻度尺画ΔABC，使BC=3， ∠B=400、 ∠C=600 将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，你发现了什么？两个三角形可以重合有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？全等 画图 通过学生动手操作来得出结论
讲授新课 两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简写成“角边角”或“ASA”）数学语言表示：在△ABC和△A B C 中 ∠B=∠B BC= B C ∠C=∠C ∴ΔABC≌ΔA B C （ASA）必须按照角边角的顺序书写 听课 讲解ASA定理以及书写规范
思考讨论 如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．不全等。因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。必须是两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形才全等 思考 使学生明确是两角及其夹边对应相等，两三角形才全等
例题讲解 例4 已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠E ，AC=AE， 求证： △ABC≌△ADE． 证明： ∵∠1＝∠2 ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADE 中，∠BAC＝∠DAEAC=AE∠C=∠E ∴ △ABC≌△ADE(ASA) 听课思考 讲解例题，明白题型
思考应用 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适 你能说明其中理由吗 利用“角边角定理”可知,带B 块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。 思考 解决实际问题
即时演练 如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状, A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A,B间的距离吗 要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，
做题 及时练习，巩固知识
例题讲解 例5 已知：如图，点B ， F ， E， C 在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD，∠A= ∠ D．求证：AE=DF．证明：∵ AB∥CD ∴ ∠B＝∠C 在△ABE与△DCF中 ∠A＝∠D （已知） AB=DC （已知） ∠B＝∠C ∴ △ABE≌△DCF（ASA） ∴ AE=DF（全等三角形的对应边相等） 听课 讲解课本例题
练一练 已知: 如图,点D,E分别在AC，AB上,∠B=∠C, AB=AC. 求证:AE=AD证明：在△ABE与△ACD中，
∵ ∠A＝∠A AB＝AC ∠B＝∠C
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）． 做题 实战演练。巩固所学
达标测评 1.如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（ ） A．BD⊥ACB．BC=DCC．∠ACB=∠ACDD．∠ABC=∠ADC添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项以后是ASA证明三角形全等．
故选B．2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店划一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（ ）A. ① B. ② C. ③ D. ④②块，因为它只是其中不规则的一块，如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃；
③、④块，它只保留了原来的一个角，那么这样去配也有很大的难度；
①块，因为它不但有两个角还有一个边，这正好符合全等三角形的判定中的ASA．
所以应该带第①块去．
故选A．3.如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。（1）AC∥BD，CE=DF， AC=BD (SAS) （2AC=BD， AC∥BD，∠A=∠B (ASA) ( 3 ) CE=DF，__∠AEC=∠BFD∠C=∠D (ASA) ( 4 )∠ C= ∠D， AC=BD,__∠A=∠B_ (ASA)4、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。证明：∵ BE=CF(已知)∴BC=EF(等式性质)∵ AB∥DE AC∥DF (已知)∴ ∠B=∠DEF , ∠ACB=∠F在△ABC和△DEF中∠B=∠EBC=EF∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）5.如图，已知在△ABC 中，F 为AC 中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A= ∠ACD ，
求证：CD 平行且等于AE ．证明：∵∠A= ∠ACD ，
∴AE ∥CD ．∵ ∠A= ∠ACD ， AF=CF ， ∠AFE= ∠CFD ，
∴△AFE ≌△CFD ，（ASA）
∴CD=AE ， ∴CD 平行且等于AE 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．解：（1）∵ AF⊥DC ∴∠AFC=900又∵ ∠AC·B=90°， ∴∠DCB+∠DCA=∠EAC+∠ACF=90° ∴∠EAC=∠DCB（同角的余角相等）∵DB⊥BC∴∠DBC=∠ACB=900在△ACB和△CBD中∠DBC=∠ACBAC=BC∠EAC=∠DCB∴△DCB≌△EAC（ASA） ∴AE=CD（2）由（1）得△DCB≌△EAC ∴CE=DB ∵E为BC的中点 ∴DB=BC=C=6cm 思考练习 通过猜想拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：三角形全等的判定定理（3）ASA 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P33页作业题第4、5 题 做练习 课下练习提升
板书 全等三角形的判定定理31.ASA：两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。注意：必须是两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形才全等 看黑板，做笔记 帮助学生对本课知识点有清晰的认识
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三角形全等的判定（3）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，下列四个条件中，不能使△ADB≌△CEB的条件是（ ）21世纪教育网版权所有
A．AD=CE B．AE=CD C．∠BAC=∠BCA D．∠ADB=∠CEB
2. 小明不慎将三角形模具打碎为四块，若他只带其中一块到商店去，就能还配一块与原来一模一样的三角形模具，应带（ ）块去合适．21教育网
A．A B．B C．C D．D
3. 如图所示，∠1=∠2，BC=EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB=DE B．∠ACE=∠DFB C．BF=EC D．∠ABC=∠DEF
4. 下面说法正确的是（ ）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
C．两个等边三角形一定全等
D．两个等腰直角三角形一定全等
5. 要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（ ）
A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边角
二、填空题
1、如图，若∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB，使△ABD≌△BAC，三角形全等的理由是______．
2. 如图，已知AD=BC．EC⊥AB．DF⊥AB，C．D为垂足，要使△AFD≌△BEC，还需添加一个条件．若以“ASA”为依据，则添加的条件是______．21cnjy.com
3. 填“一定”或“不一定”：
（1）两边对应相等的两个三角形______全等；
（2）一边一角对应相等的两个三角形______全等；
（3）两角对应相等的两个三角形______全等；
（4）三边对应相等的两个三角形______全等；
（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形______全等；
（6）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形______全等；
（7）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形______全等；
4. 初一（1）班的篮球拉拉队，为了在明天的比赛中给同学加油助威，每个人都提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗（如图所示）．于是小明挑选了其中的一块，准备用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形，你认为他作图的根据是______．（只要填写两个三角形全等的一个条件）21·cn·jy·com
三、证明题
1. 已知：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：AE=BF。2·1·c·n·j·y
2. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF。
四、探究题
已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；21·世纪*教育网
（3）在旋转的过程中，若直线BE与CD相交于点P，试探究∠APB与∠MAN的关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1、A
【解析】已知△ADB和△CEB隐含条件∠B=∠B，
A、根据AD=CE，BD=BE和∠B=∠B不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；
B、∵AE=CD，BE=BD，
∴AB=BC，
∵在△ADB和△CEB中
AB=BC ∠B=∠B BD=BE ，
∴△ADB≌△CEB（SAS），正确，故本选项错误；
C、∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵在△ADB和△CEB中
AB=BC ∠B=∠B BD=BE ，
∴△ADB≌△CEB（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵在△ADB和△CEB中
∠B=∠B BD=BE ∠ADB=∠CEB ，
∴△ADB≌△CEB（ASA），正确，故本选项错误；
故选A．
2、D
【解析】A只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
B，C则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
而D不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“D”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．www.21-cn-jy.com
故选D．
3、D
【解析】A、添加条件AB=DE，满足SSA无法判定两个三角形全等；
B、添加条件∠ACE=∠DFB，无法判定两个三角形全等；
C、添加条件BF=EC，无法判定两个三角形全等；
D、添加条件∠ABC=∠DEF后，符合ASA，能证明三角形全等．
故选D．
4.B
【解析】A、因为该角不一定是夹角，故错误；
B、符合全等三角形的判定方法ASA，故正确；
C、两个等边三角形的边不一定相等，故错误；
D、两个等腰直角三角形的边不一定相等，故错误．
故选B
5.B
【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA）
故选B．
二、填空题
1、ASA（或者角边角）
【解析】∵∠DAB=∠CBA，
AB为公共边
∠DBA=∠CAB
∴则△ABD≌△BAC (ASA)
2、∠A=∠B
【解析】添加的条件为∠A=∠B，理由为：
∵EC⊥AB，DF⊥AB，
∴∠ADF=∠BCE=90°，
在△AFD和△BEC中，
∠A=∠B AD=BC ∠ADF=∠BCE ，
∴△AFD≌△BEC（ASA）．
3、不一定 不一定 不一定 一定 一定 不一定 一定
【解析】（1）两边对应相等的两个三角形不一定全等；
（2）一边一角对应相等的两个三角形不一定全等；
（3）两角对应相等的两个三角形不一定全等；
（4）三边对应相等的两个三角形一定全等（根据SSS可判定全等）；
（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等（根据SAS可判定全等）；
（6）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
（7）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等（根据ASA可判定全等）；
4. ASA
【解析】
如图所示：
根据已知两角和它们的夹边相等得出全等三角形，
故答案为：ASA．
三、解答题
1.【解析】
证明 ：∵AE⊥BF ∠BAP=∠AED
∴∠ABF=∠DAE
∵AB=AD ∠FAB=∠EDA
∴△ABF≌△ADE
∴AE=BF
2. 【解析】
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵∠ACB=∠F，
∵∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F
∴△ABC≌△DEF。(ASA)
四、探究题
②∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，
即△AMN为等腰三角形．
（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．
（3）证明：在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，
∴△PBD∽△AMN．
∴∠APB=∠MAN．
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三角形全等的判定
浙教版 八年级上
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——第三课时
教学目标
回顾旧知
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
1. 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等
2.边边边公理（SSS）
3.边角边公理（SAS）
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
教学目标
思考讨论
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角
与这条边的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图1
图2
在图1中， 边AB是∠A与∠B的夹边， 我们称这种位置关系为两角夹边
在图2中， 边BC是∠A的对边， 我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。
教学目标
做一做
C
B
A
600
400
3cm
请用量角器和刻度尺画ΔABC，使BC=3， ∠B=400、 ∠C=600 将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，你发现了什么？
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？
两个三角形可以重合
全等
教学目标
新课讲解
∴ΔABC≌ΔA B C （ASA）
在△ABC和△A B C 中
∠B=∠B
BC= B C
∠C=∠C
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简写成“角边角”或“ASA”）
数学语言表示：
A
B
C
A’
B’
C’
必须按照角边角的顺序书写
如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD
判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。
教学目标
思考讨论
必须是两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形才全等
！
教学目标
例题讲解
例4 已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠E ，AC=AE， 求证： △ABC≌△ADE．
证明： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE 中，
∴ △ABC≌△ADE(ASA)
A
C
B
E
D
1
2
∠BAC＝∠DAE
AC=AE
∠C=∠E
教学目标
思考应用
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适
你能说明其中理由吗
A
B
利用“角边角定理”可知,带B 块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。
教学目标
即时演练
如图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状, A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A,B间的距离吗
教学目标
即时演练
我有办法了！
要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，
∵ ∠ACB=∠ECD，
CB=CD，
∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE=BA．
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
教学目标
例题讲解
例5 已知：如图，点B ， F ， E， C 在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD，∠A= ∠ D．求证：AE=DF．
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠B＝∠C
在△ABE与△DCF中
∠A＝∠D （已知）
AB=DC （已知）
∠B＝∠C
∴ △ABE≌△DCF（ASA）
∴ AE=DF（全等三角形的对应边相等）
A
C
B
E
D
F
教学目标
练一练
已知: 如图,点D,E分别在AC，AB上,∠B=∠C, AB=AC.
求证:AE=AD
A
B
D
E
C
证明：在△ABE与△ACD中，
∵ ∠A＝∠A
AB＝AC
∠B＝∠C
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）．
教学目标
达标测评
1.如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（ ）
A．BD⊥AC
B．BC=DC
C．∠ACB=∠ACD
D．∠ABC=∠ADC
添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项以后是ASA证明三角形全等．
故选B．
B
教学目标
达标测评
2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店划一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
②块，因为它只是其中不规则的一块，如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃；
③、④块，它只保留了原来的一个角，那么这样去配也有很大的难度；
①块，因为它不但有两个角还有一个边，这正好符合全等三角形的判定中的ASA．
所以应该带第①块去．
故选A．
A
教学目标
达标测评
3.如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。
（1）AC∥BD，CE=DF， (SAS)
（2） AC=BD， AC∥BD (ASA)
( 3 ) CE=DF，_______________ ,____________ (ASA)
( 4 )∠ C= ∠D，______________,_______________ (ASA)
C
B
A
E
F
D
∠AEC=∠BFD
AC=BD
∠A=∠B
∠C=∠D
AC=BD
∠A=∠B
教学目标
达标测评
4、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
A
B
C
D
E
F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∴ ∠B=∠DEF , ∠ACB=∠F
教学目标
达标测评
5.如图，已知在△ABC 中，F 为AC 中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A= ∠ACD ，
求证：CD 平行且等于AE ．
证明：∵∠A= ∠ACD ，
∴AE ∥CD ．
∵ ∠A= ∠ACD ，
AF=CF ，
∠AFE= ∠CFD ，
∴△AFE ≌△CFD ，（ASA）
∴CD=AE ， ∴CD 平行且等于AE
教学目标
拓展提升
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）试说明：AE=CD；
（2）AC=12cm，求BD的长．
教学目标
拓展提升
解：（1）∵ AF⊥DC ∴∠AFC=900
又∵ ∠AC·B=90°，
∴∠DCB+∠DCA=∠EAC+∠ACF=90°
∴∠EAC=∠DCB（同角的余角相等）
∵DB⊥BC
∴∠DBC=∠ACB=900
∴△DCB≌△EAC（ASA）
∴AE=CD
在△ACB和△CBD中
∠DBC=∠ACB
∠EAC=∠DCB
AC=BC
（2）由（1）得△DCB≌△EAC
∴CE=DB
∵E为BC的中点
∴DB=BC=C=6cm
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
三角形全等的判定定理（3）ASA
教学目标
课后作业
课本P33页作业题第4、5 题
谢 谢！
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