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浙教版数学八年级上1.5三角形全等的判定(2)教学设计
课题 三角形全等的判定(2) 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、严谨的思维习惯。
能力目标 经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力
知识目标 1.全等三角形判定定理（2）（SAS）2.垂直平分线的定义3.垂直平分线的性质
重点 应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等
难点 中垂线性质
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？1. 全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形全等2.边边边公理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等3.边角边公理（SAS） 回忆，思考 带领学生回忆旧知识，一方面可以快速进入课堂，另一方面减轻学生认知负担
思考探究 1.把两根木条的一端用螺栓固定在一起,连结另两端所组成的三角形是否唯一确定 这说明了什么？不能唯一确定，如图1△ABC与△AB’C不是全等三角形说明如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等2.如果将两木条之间的夹角大小固定呢 如果夹角固定，那么三角形的形状和大小也随之被确定。 思考，回答 通过提问题的方式，激发学生思考，进而讲授新知
做一做 用量角器和刻度尺画出△ABC,使AB=4,BC=6, ∠ABC=60°.将你画出的三角形与同桌同学的三角形进行比较,你能得到什么结论 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 动手操作，思考 亲身体验之后得出的结论更深刻
讲授新课 在△ABC和△A’B’C’中， ∠B=∠B’ AB=A’B’ BC=B’C’∴ △ABC≌△A’B’C’ 听课 讲解SAS判断三角形全等
做一做 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40o，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等必须是两边及其夹角对应相等 思考 提出新的问题，引发学生思考进一步论证SAS
例题讲解 例 已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD求证：△AOB≌△COD证明：在△AOB和△COD中，OA=OC ( 已知 )∠AOB= ∠ COD ( 对顶角相等 )OB=OD ( 已知 )∴ △AOB≌△COD ( SAS ) 听课 讲解例题，规范做答
做一做 如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。说明卡钳的工作原理。此工具是根据三角形全等制作而成的．
∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
∴∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等）
在△AOB和△A′OB′中，
∵AO=A′O，
∠AOB=∠A′OB′, BO=B′O，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′=AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以测量工件内槽宽的卡钳 思考 将实际问题转化为数学模型
即时演练 如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。∵在△ACB和△DCE中，AC=DC ∠ACB=∠DCEBC=EC ∴△ACB≌△DCE(SAS)∴AB=DE 做题 及时练习，巩固知识
讲授新知 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l 就是线段AB的垂直平分线。几何语言表述：∵ l⊥AB AD=BD∴ l是线段AB的垂直平分线在直线l上任意取一点C，用圆规比较点C到点A,B的距离，你发现了什么？（与同伴交流）中垂线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等∵ C是线段AB中垂线上一点∴ CA=CB证明“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB。C是直线l上的任意一点。求证：CA=CB证明 已知OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB.当点C与点O不重合时，∵直线l⊥AB（已知）∴∠COA=∠COB=90°（垂直的定义）在△CAO与△CBO中， OA=OB（已知） ∠COA=∠COB， OC=OC（公共边）∴ △CAO≌△CBO（SAS）∴ CA=CB（全等三角形的对应边相等） 听课思考 讲解中垂线
即时演练 关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有（ B ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 做题 通过练习对中垂线有更进一步的认识
达标测评 1.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ C ） A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD。 求证：∠BEC=∠CFB。证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC
∴∠ABC=∠DCB
∵BE=2EA，CF=2FD∴BE= AB,CF= DC∴BE=CF
在△EBC和△FCB中 BE=CF ∠EBC=∠FCB BC=CB∴△EBC≌△FCB （SAS）
∴∠BEC=∠CFB3.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件___________，就得△ABC≌△DEF．【解析】∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
EF=BC ∠EFC=∠BCF AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：BC=EF4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（ ）
A．大于100m
B．等于100m
C．小于100m
D．无法确定【解析】∵AC=DB，AO=DO，
∴OB=OC，在△ABO和△DCO中，AO=DO∠AOB=∠DOC，OB=OC
∴△AOB≌△DOC，（SAS）∴AB=CD=100m．
故选B．5.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
（1）求证：PA=PB=PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？解：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PB=PC；
（2）是，由（1）得PA=PB=PC，所以点P在边AC的垂直平分线上。
可得结论：在三角形中，两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
拓展提升 阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中，EB=EC∠ABE=∠ACEAE=AE∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。 思考练习 拓展学生思维
课堂小结 这节课我们学习了：1.全等三角形判定定理（2）（SAS）2.垂直平分线的定义3.垂直平分线的性质 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P30页课内练习第1题，作业题第3题 做练习 课下练习提升
板书 1.5 三角形全等的判定（SAS）1.SAS：三角形两边及夹角对应相等，则三角形全等2.中垂线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，简称中垂线3.中垂线性质：中垂线上的点到角两边距离相等 看黑板，做笔记 帮助学生对本课知识点有清晰的认识
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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三角形全等的判定(2)
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，点E为垂足，FG垂直平分AC，点G为垂足，BC=5cm，则△ADF的周长等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（ ）的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
3. 在△ABC和△DEF中，已知AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，DE=6cm，DF=4cm，∠E+∠F=120°，则△ABC和△DEF的关系是（ ）21教育网
A．△ABC和△DEF不全等 B．△ABC≌△DEF
C．△ABC≌△FDE D．无法确定
4. 如图所示，梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，OA=OD，AC=BD，则图中全等的三角形有（ ）21cnjy.com
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5. 如图，已知AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（ ）
A．∠B=∠C B．∠D=∠E C．∠1=∠2 D．∠CAD=∠DAC
二、填空题
1、如图，△ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若△EBC的周长为21cm，则BC=___________．21·cn·jy·com
2. 如图，已知AB=DE， AC=DF，要使△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，你补充的条件是：______（写出一个符合要求的条件即可）．www.21-cn-jy.com
3. 如图，已知AC=BD，∠1=∠2 ,那么△ABC≌___________，其判定根据是______________。
4. 在△ABC中，∠C=90 °，AB边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=5，AC=4，BC=3，则△BCD的周长为______________2·1·c·n·j·y
5. 实验回答：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，如图所示，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆起来，这说明__________。
三、解答题
1. 如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线． 求证：
（1）∠EAD=∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC=∠B．
2. 已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．【来源：21·世纪·教育·网】
四、探究题
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分别为D、E，猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系，并说明理由．21·世纪*教育网
参考答案
一、选择题
2、B
【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD
∴AD=CD
∴点D在AC的垂直平分线上．
故选B．
3、C
【解析】∵∠E+∠F=120°，
∴∠D=60°，
在△BAC和△DFE中，
BA=DF ∠B=∠D BC=DE ，
∴△BAC≌△DFE（SAS）．
故选C．
4.C
【解析】∵OA=OD，AC=BD，
∴OC=OB，∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO（SAS），∠OBC=∠OCB，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
△ABD≌△DCA（SAS）；
∴图中全等的三角形有3对．
故选C．
5.C
【解析】∵AB=AC，AD=AE，
∠B=∠C不是已知两边的夹角，A不可以；
∠D=∠E不是已知两边的夹角，B不可以；
由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE，符合SAS，可以为补充的条件；
∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角，D不可以；
故选C．
二、填空题
1、8cm
【解析】∵AB的垂直平分线交AB于D，
∴AE=BE
又△EBC的周长为21cm，
即BE+CE+BC=21
∴AE+CE+BC=21
又AE+CE=AC=13cm
所以BC=21-13=8cm．
2、∠A=∠D
【解析】∠A=∠D，
理由是：∵在△ABC和△DEF中，
AB=DE ∠A=∠D AC=DF ，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：∠A=∠D．
3、△BAD，SAS
【解析】在△ABC和△BAD中，
AC=BD
∠1=∠2
AB=BA(公共边)
所以，△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：△BAD，SAS．
4.7
【解析】解：如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴BD+CD=AD+CD=AC，
又∵C△BDC=BC+BD+CD=BC+AC，
∵BC=3，AC=4，
∴C△BDC=3+4=7．
故答案为：7．
5. 两边及其一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等
【解析】由题意可知，两边及其一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等
三、解答题
1.【解析】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD=∠EDA，即∠ADE=∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE=∠BAD+∠B，∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B．
2. 【解析】证明：∵AB∥ED，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，
AB=CE,∠B=∠E，BC=ED
∴△ABC≌△CED．
∴AC=CD．
四、应用题
【解析】解：DE+AE=DB
∵∠ACB=90°，BD⊥CE
∴∠ACE+∠ECB=90°，
∠ECB+∠CBD=90°
∴∠ACE=∠CBD
又∵AE⊥CE
∴∠AEC=90°
在Rt△AEC和Rt△CDB中
AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°，∠ACE=∠CBD
∴Rt△AEC≌Rt△CDB
∴AE=CD，EC=DB
又∵DE+DC=EC
∴DE+AE=DB．
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三角形全等的判定
浙教版 八年级上
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——第二课时
教学目标
回顾旧知
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
2.边边边公理（SSS）
1. 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等
教学目标
思考探究
1.把两根木条的一端用螺栓固定在一起,连结另两端所组成的三角形是否唯一确定 这说明了什么？
2.如果将两木条之间的夹角大小固定呢
不能唯一确定，如图1△ABC与△AB’C不是全等三角形
图1
B
A
B’
C
说明如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等。
如果夹角固定，那么三角形的形状和大小也随之被确定。
教学目标
做一做
用量角器和刻度尺画出△ABC,使AB=4,BC=6, ∠ABC=60°.将你画出的三角形与同桌同学的三角形进行比较,你能得到什么结论
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
4
6
A
C
B
4
6
B
A
C
教学目标
讲授新知
A
B
C
〃
\
A’
B’
C’
〃
\
我们可以得到如下基本事实：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS”）
在△ABC和△A’B’C’中，
AB=A’B’
∠B=∠B’
BC=B’C’
∴ △ABC≌△A’B’C’（SAS）
必须按边、角、边的顺序书写
教学目标
做一做
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40o，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
2.5cm
3.5cm
40°
D
E
F
40°
3.5cm
2.5cm
两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
！
必须是两边及其夹角对应相等
教学目标
例题讲解
例 已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD
求证：△AOB≌△COD
A
B
O
D
C
证明：
在△AOB和△COD中，
OA=OC( )
∠AOB= ∠ COD ( )
OB=OD ( )
∴ △AOB≌△COD ( )
已知
已知
对顶角相等
SAS
∵
教学目标
做一做
如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。说明卡钳的工作原理。
A
B
A′
B′
O
此工具是根据三角形全等制作而成的．
∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
∴∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等）
在△AOB和△A′OB′中，
∵ AO=A′O，
∠AOB=∠A′OB′,
BO=B′O，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′=AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以测量工件内槽宽的卡钳
如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。
B
A
做一做
教学目标
即时演练
设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。
AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
∴△ACB≌△DCE(SAS)
∴AB=DE
E
C
B
A
D
做一做
教学目标
即时演练
∵在△ACB和△DCE中，
教学目标
讲解新知
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
A
B
D
l
∵ l⊥AB
AD=BD
∴ l是线段AB的垂直平分线
几何语言表述：
如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l 就是线段AB的垂直平分线。
教学目标
讲解新知
在直线l上任意取一点C，用圆规比较点C到点A,B的距离，你发现了什么？（与同伴交流）
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
中垂线的性质：
∵ C是线段AB中垂线上一点
∴ CA=CB
A
B
O
l
C
教学目标
讲解新知
证明“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”
已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB。C是直线l上的任意一点。
求证：CA=CB
证明 已知OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB.
当点C与点O不重合时，
∵直线l⊥AB（已知）
∴∠COA=∠COB=90°（垂直的定义）
A
B
O
l
C
教学目标
例题讲解
在△CAO与△CBO中，
OA=OB（已知）
∠COA=∠COB，
OC=OC（公共边）
∴ △CAO≌△CBO（SAS）
∴ CA=CB（全等三角形的对应边相等）
∵
教学目标
即时演练
关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
【解析】③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有本身．
教学目标
达标测评
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
1.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
C
教学目标
达标测评
2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD。 求证：∠BEC=∠CFB。
证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC
∴∠ABC=∠DCB
∵BE=2EA，CF=2FD
∴BE= AB,CF= DC
∴BE=CF
在△EBC和△FCB中
BE=CF
∠EBC=∠FCB
BC=CB
∴△EBC≌△FCB（SAS）
∴∠BEC=∠CFB
教学目标
达标测评
3.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件___________，就得△ABC≌△DEF．
．
BC=EF
【解析】∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
EF=BC
∠EFC=∠BCF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：BC=EF
教学目标
达标测评
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（ ）
A．大于100m
B．等于100m
C．小于100m
D．无法确定
【解析】∵AC=DB，AO=DO，
∴OB=OC，
在△ABO和△DCO中，
AO=DO
∠AOB=∠DOC，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS）
∴AB=CD=100m．
故选B．
B
教学目标
达标测评
解：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PB=PC；
（2）是，由（1）得PA=PB=PC，所以点P在边AC的垂直平分线上。
可得结论：在三角形中，两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。
5.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
（1）求证：PA=PB=PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
教学目标
拓展提升
阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
EB=EC
∠ABE=∠ACE
AE=AE
教学目标
拓展提升
解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.全等三角形判定定理（2）（SAS）
2.垂直平分线的定义
3.垂直平分线的性质
教学目标
课后作业
课本P30页课内练习第1题，作业题第3题
谢 谢！
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