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二次函数的应用教学设计
课题 二次函数的应用 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．
能力目标 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
知识目标 经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值
重点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值。
难点 运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值。。
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 提问：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？2、如何求二次函数的最值？ 学生回忆上节内容 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 想一想：用长为8米的铝合金制成如图窗框， ( http: / / www.21cnjy.com )问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )例1、如图①中窗户边框的上部分是由4个全 ( http: / / www.21cnjy.com )等扇形组成的半圆，下部分是矩形（如图②）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 解:如图②,设半圆的半径为x(m),窗框矩形部分的另一边长y(m), 根据题意,有5x+πx+2x+2y=6,即y=3- (π+7)x. ∵y>0，∴3- (π+7)x>0，解得0∴BE=GC=6-x，BF=DH=10-x，
∴四边形EFGH的面积为：S=6×10-x2-x2-6-x)(10-x)-(6-x)(10-x)
=-2x2+16x，
=-2(x2-8x)，
=-2(x-4)2+32，
故当x=4时，S最大为32． 学生思考 学生观察，思考，根据题目要求得出函数解析式 并根据二次函数的性质得出最大值。师生共同总结，二次函数求实际问题中的最值问题的解答步骤学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 出示现实生活中的例子，学生自己动手画图，解答此题。 引导学生独立思考，培养自主学习的能力让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生分析问题以及总结归纳的能力。通过此题的解答，让学生真正掌握二次函数求实际问题中的最值问题，同时培养学生变相思考问题的能力。培养学生读题，解决问题以及动手画图的能力
巩固提升 1. 用一条长为40 cm的绳子围成一 个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（ ）A．20 B．40 C．100 D．120答案：D2.如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A． 2 B．4 C．8 D．16答案：B3、如图，点A，B的坐标分别为（1，4 ( http: / / www.21cnjy.com )）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点 （C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为________． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：84、如图，以扇形OAB的顶点O为原 ( http: / / www.21cnjy.com )点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：﹣2＜k＜ 5.某工厂的大门是一抛物线形水泥建 ( http: / / www.21cnjy.com )筑物，如图，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一 辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高 度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？ ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2 ( http: / / www.21cnjy.com )，-4.4），设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=- 1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2 和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．6．6.现有一块矩形场地， ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．
(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式；求出此函数与x轴的交点坐标，并写出自变量的取值范围；
(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大，最大面积是多少？请在格点图中画出此函数图象的草图(提示：找三点描出图象即可)． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解: （1）由题意知，B ( http: / / www.21cnjy.com )场地宽为（30-x）m
∴y=x（30-x）=-x2+30x．
当y=0时，即-x2+30x=0，
解得x1=0，x2=30．
∴函数与x轴的交点坐标为（0，0），（30，0）．
自变量x的取值范围为：0＜x＜30．（2）y=-x2+30x
=-（x-15）2+225，
当x=15m时，种植菊花的面积最大，
最大面积为225m2．草图（如图所示） ( http: / / www.21cnjy.com / )7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部 ( http: / / www.21cnjy.com )是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：由4y+7x+πx=15.得窗户面积S= =当x=1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积是 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学 ( http: / / www.21cnjy.com )生认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；求出函数表达式和自变量的取值范围③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围内）；④答。
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1.4.1二次函数的应用
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？
2、如何求二次函数的最值？
当a>0，x=时，二次函数有最小值
当a<0，x=时，二次函数有最大值
配方法
公式法
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
想一想
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
例1、如图①中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形（如图②）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)
单位:m
图①
图②
教学目标
新课讲解
解:如图②,设半圆的半径为x(m),窗框矩形部分的另一边长y(m),
根据题意,有5x+πx+2x+2y=6,即y=3- (π+7)x.
∵y>0，∴3- (π+7)x>0，解得0∴S
∵
教学目标
新课讲解
又∵，且在0∴当时，S最大值=
此时，y≈1.23
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2.
教学目标
新课讲解
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围
2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
教学目标
新课讲解
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
=
= (0∴当窗框的宽，窗框的长为时，窗框的透光面积最大。
最大面积为
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
解：如图所示：∵AE=AH=CF=CG=x，
∴BE=GC=6-x，BF=DH=10-x，
∴四边形EFGH的面积为：
S=6×10-x2-x2-6-x)(10-x)-(6-x)(10-x)
=-2x2+16x，
=-2(x2-8x)，
=-2(x-4)2+32，
故当x=4时，S最大为32．
教学目标
学以致用
1. 用一条长为40 cm的绳子围成一 个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A． 2 B．4 C．8 D．16
教学目标
巩固提升
D
B
3、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点 （C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为________．
教学目标
巩固提升
8
教学目标
巩固提升
4.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ．
﹣2＜k＜
教学目标
巩固提升
5、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一 辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高 度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），
设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=- 1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2 和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
6.现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．
(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式；求出此函数与x轴的交点坐标，并写出自变量的取值范围；
(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大，最大面积是多少？请在格点图中画出此函数图象的草图(提示：找三点描出图象即可)．
教学目标
巩固提升
解: （1）由题意知，B场地宽为（30-x）m
∴y=x（30-x）=-x2+30x．
当y=0时，即-x2+30x=0，
解得x1=0，x2=30．
∴函数与x轴的交点坐标为（0，0），（30，0）．
自变量x的取值范围为：0＜x＜30．
教学目标
巩固提升
（2）y=-x2+30x
=-（x-15）2+225，
当x=15m时，种植菊花的面积最大，
最大面积为225m2．
草图（如图所示）．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
解：由4y+7x+πx=15.得
窗户面积S=
=
当x=1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积是
教学目标
课堂小结
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围内）；
（或利用函数图象找最值）
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
④答。
谢 谢！
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