(共25张PPT)
1.4.2二次函数的应用
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
如何求下列函数的最值？
想一想
将函数配方化简：
根据函数的性质即可得出此函数的最值。
教学目标
新课讲解
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
教学目标
新课讲解
解：设经过t(h)后，A，B两船分别到达A’，B’处，则
(t>0)
当13t-10=0，即时，有最小值576
所以当时，(km).
答：经过h，两船之间的距离最近，最近距离为24km.
教学目标
新课讲解
归纳：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
教学目标
学以致用
如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，Q点从B点出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动．据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）求出S的最小值及t的对应值．
教学目标
学以致用
解：（1）运动开始第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）根据题意，得S=6×12-（6-t） 2t，
所以S=t2-6t+72，其中t大于0且小于6；
（3）由S=t2-6t+72，得S=（t-3）2+63．
因为t大于0，
所以当t=3秒时，S最小=63平方厘米．
教学目标
新课讲解
例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
教学目标
新课讲解
解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得y=(x-9)(1360-80x)
= (10≤x≤14)
，在10≤x≤14的范围内.
当x=13时，
(元)
答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。
某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
教学目标
学以致用
解：（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；
教学目标
学以致用
故答案为：1400﹣50x；
当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；
∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，
∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x；
（2）根据题意得出：y=x(﹣50x+1400)﹣4800，=﹣50x2+1400x﹣4800，=﹣50(x﹣14)2+5000．
当x=14时，在范围内，y有最大值5000．
∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．
（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．
即：50(x﹣14)2+5000=0，解得x1=24，xz=4，
∵x=24不合题意，舍去．
∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
教学目标
学以致用
1、已知：如图，抛物线y=a(x-1)2+c与x轴交于点A（1- ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处,则原抛物线的函数表达式为________ .
2、如图，抛物线的顶点P(-2，2)为 与y 轴交于点A(0，3) ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点 P’(2，-2)，点A 的对应点为 A’，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 。
教学目标
巩固提升
y=x2﹣2x-2
12
教学目标
巩固提升
3、某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
解：设售价定为 x元/件.
由题意得， ，
∵ a=-10<0，∴ 当x=14时， y有最大值360.
答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．
4、九(1)班数学兴 趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表 ：
已知 该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
教学目标
巩固提升
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果
教学目标
巩固提升
解：(1)当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000
当50≤x≤90时，y=-120x+12000
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，
教学目标
巩固提升
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
教学目标
巩固提升
5、已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
教学目标
巩固提升
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
教学目标
巩固提升
解：（1）∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得
解得：a=1，b=-2．
∴
配方得:，所以对称轴为x=1．
（2）设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点
教学目标
巩固提升
=
由
∴S=
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0∴当t=20秒时，面积S有最小值3
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
谢 谢！
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二次函数的应用教学设计
课题 二次函数的应用 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值
能力目标 会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题
知识目标 继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程
重点 利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点 将现实问题数学化，情景比较复杂。
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：如何求下列函数的最值？将函数配方化简： 根据函数的性质即可得出此函数的最值 学生回忆求函数最值问题 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处， ( http: / / www.21cnjy.com )现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )解：设经过t(h)后，A，B两船分别到达A’，B’处，则 (t>0)当13t-10=0，即时，有最小值576所以当时，(km).答：经过h，两船之间的距离最近，最近距离为24km.归纳：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。学以致用如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，Q点从B点出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动．据此解答下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）运动开始第几秒后，△ ( http: / / www.21cnjy.com )PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）求出S的最小值及t的对应值．解：（1）运动开始第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；（2）根据题意，得S=6×12-（6-t） 2t，
所以S=t2-6t+72，其中t大于0且小于6； （3）由S=t2-6t+72，得S=（t-3）2+63．
因为t大于0，
所以当t=3秒时，S最小=63平方厘米．例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9 ( http: / / www.21cnjy.com )元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得y=(x-9)(1360-80x) = (10≤x≤14)，在10≤x≤14的范围内.当x=13时，(元)答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。学以致用某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统 ( http: / / www.21cnjy.com )计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 解：（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x；故答案为：1400﹣50x；（2）根据题意得出：y=x(﹣50x+1400)﹣4800，=﹣50x2+1400x﹣4800，=﹣50(x﹣14)2+5000．当x=14时，在范围内，y有最大值5000．∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．即：50(x﹣14)2+5000=0，解得x1=24，xz=4，∵x=24不合题意，舍去．∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏． 学生观察，思考，根据题目要求得出函数解析式 并根据二次函数的性质得出最值。师生共同总结，运用二次函数的性质求实际问题中的最大值和最小值的一般步骤学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 出示现实生活中的例子，学生根据题意思考，解答此题。 引导学生独立思考，培养自主学习的能力培养学生归纳总结的能力。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。通过此题的解答，让学生真正掌握二次函数求实际问题中的最值问题，同时培养学生变相思考问题的能力。
巩固提升 1、已知：如图，抛物线y=a(x- ( http: / / www.21cnjy.com )1)2+c与x轴交于点A（1- ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处,则原抛物线的函数表达式为________ .答案： y=x2﹣2x-22、如图，抛物线的顶点P(-2，2)为 与y ( http: / / www.21cnjy.com ) 轴交于点A(0，3) ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点 P’(2，-2)，点A 的对应点为 A’，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 。 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：123、某商店进行促销活动，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．答案：解：设售价定为 x元/件.由题意得， ，∵ a=-10<0，∴ 当x=14时， y有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．4、九(1)班数学兴 趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表 ： ( http: / / www.21cnjy.com / )已知 该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元 (1) 求出y与x的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果答案：解：(1)当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000 当50≤x≤90时，y=-120x+12000（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.（3）当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．5、已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴； ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值． 答案：解：（1）∵二次函数的图象经过点C(0 ( http: / / www.21cnjy.com )，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得
解得：a=1，b=-2．
∴
配方得:，所以对称轴为x=1．（2）设对称轴与BC，x轴的交点分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 =由∴S=又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0∴当t=20秒时，面积S有最小值3 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生 ( http: / / www.21cnjy.com )认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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