(共26张PPT)
1.4.3二次函数的应用
数学浙教版 九年级上
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教学目标
导入新课
1.求方程
2.求二次函数与x轴的交点坐标A、B
解：
(3x-4)(x+1)=0
即： ，
解：另y=0，则
(3x-4)(x+1)=0
解得： ，
问题：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？
方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。
导入新课
教学目标
新课讲解
例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s ）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
分析：根据题意可以得出函数从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0,0)，(2,0).它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0.所以这两个时刻也就是一元二次方程的两个根.这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。
新课讲解
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
教学目标
新课讲解
地面
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t
取h=0，得一元二次方程
10t－5t =0
解方程得t1=0；t2=2
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t =3.75
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；
经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
教学目标
新课讲解
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。
教学目标
学以致用
对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式： ，其中（米）是上升高度， g（米/秒）是初速度， t（米/秒2）是重力加速度， （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h与t的函数关系图.
⑴求： ，g；
⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方.
解：(1)由图知，当t=6时，h=0 ；当t=3时，h=45.
∴ 解得
∴米/秒 g=10米/秒2
教学目标
学以致用
（2）由（1）得，函数关系式是h=30t-5 .
当h=25 时，25=30t-5t2 ，解得，
∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方.
教学目标
新课讲解
例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x +x-1=0的近似解。
1
2
0
-1
-2
x
1
2
3
4
5
6
y
y=x +x－1
教学目标
新课讲解
解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.
观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为，
教学目标
新课讲解
想一想将和代入，其值分别是多少？
我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
教学目标
新课讲解
教学目标
学以致用
已知二次函数(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是( )
A.， B.，
C. , D.，
C
教学目标
新课讲解
反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
二次函数y=ax +bx+c
y=0
一元二次方程ax +bx+c=0
两根为x1=m；x2=n
函数与x轴交点坐标为：
（m，0）；（n，0）
归纳
1. 若关于x的方程x2-mx+n=0没有实数解则抛物线y=x2-mx+n与x轴的交点个数为( )
A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 不能确定
2.根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是( )
A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12
教学目标
巩固提升
C
C
3、已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ）
x1=1，x2=﹣1 B. x1=1，x2=2
C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3
教学目标
巩固提升
B
教学目标
巩固提升
4.教练对小明推铅球的 录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知铅球推出的距离是______m．
5.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x﹣6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
10
y=﹣(x+6)2+4
教学目标
巩固提升
6、如图，一小球从斜坡O点处抛出 ，球的抛出路线可用二次函数y=4x-x2的图象表示，斜坡可以用一次函数y=x的图象表示．
(1) 求小球到达最高点的坐标；
(2)若小球的落点是A，求点A的坐标
解：(1) ∵- =8， =16，
∴顶点坐标为（8，16）；
（2）将y=4x- x2和y=x组成方程组，
解得x=0或x=14，
则点O坐标为（0，0），点A的坐标为（14，7）．
7.如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度 的一半．
教学目标
巩固提升
(1)求足球开始飞出第一次落地时，该抛物线的关系式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（=10 ）
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？
教学目标
巩固提升
解: (1)如图，
设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4.
由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4，a=
∴表达式为
(2)令y=0， =0 ．
∴， （舍去）．
∴足球第一次落地距守门员约13米．
教学目标
巩固提升
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD.
根据题意：CD= EF（即相于当抛物线AEMFC向下平移了2个单位）．
∴ 2=， 解得 ，
∴CD=
∴BD =13 -6+10 =17（米）．
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
二次函数的应用：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。
我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；
反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
谢 谢！
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浙教版数学九年级上册1.4.3课时教学设计
课题 二次函数的应用 单元 1 学科 数学 年级 九
学习目标 情感态度和价值观目标 进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换
能力目标 会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
知识目标 会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题
重点 问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换
难点 用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 提问：1.求方程2、求二次函数与x轴的交点坐标A、B问题：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？ 学生回忆以前内容 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考
讲授新课 例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s ）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m ( http: / / www.21cnjy.com / ) 分析：根据题意可以得出函数并画出函数的大致图象，从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0,0)，(2,0).它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0.所以这两个时刻也就是一元二次方程的两个根.这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t 取h=0，得一元二次方程 10t－5t =0解方程得t1=0；t2=2球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）取h=3.75，得一元二次方程10t－5t =3.75解方程得t1=0.5；t2=1.5答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 归纳从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如 ( http: / / www.21cnjy.com )下关系式： ，其中（米）是上升高度， g（米/秒）是初速度， t（米/秒2）是重力加速度， （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h与t的函数关系图.⑴求： ，g；⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 解：(1)由图知，当t=6时，h=0 ；当t=3时，h=45.∴ 解得∴米/秒 g=10米/秒2（2）由（1）得，函数关系式是h=30t-5 .当h=25 时，25=30t-5t2 ，解得， ∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方.例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x +x-1=0的近似解。 ( http: / / www.21cnjy.com / )解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为， ( http: / / www.21cnjy.com / )想一想将和代入，其值分别是多少？我们知道，二次函数y＝ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。学以致用已知二次函数(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是( )A.， B.， C. , D.，归纳： ( http: / / www.21cnjy.com / )反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。 学生思考，结合物理知识试着解答学生试着总结学生思考，按照例题的解法进行习题的解答。学生自主解答，教师提示解答的思路以及方法。 由此问题，引导学生得出根据图象求出的一元二次方程的解都是近似值。学生解答，教师更正师生共同归纳总结 引导学生独立思考，学科间联系的能力，培养自主学习的能力让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。培养学生分析问题以及联系知识的能力。拓展学生的思维，加深学生对二次函数与二次方程的联系培养学生读题，解决问题的能力
巩固提升 1. 若关于x的方程x2-mx+n=0没有实数解则抛物线y=x2-mx+n与x轴的交点个数为( ) A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 不能确定答案：C2.根据下列表格的对应值： ( http: / / www.21cnjy.com / )判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是( )A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12答案：C3、已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数 ( http: / / www.21cnjy.com )）的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ）x1=1，x2=﹣1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3答案：B4.教练对小明推铅球的 录 ( http: / / www.21cnjy.com )像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知铅球推出的距离是______m．答案：105.如图的一座拱桥，当水 ( http: / / www.21cnjy.com )面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x﹣6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：y=﹣(x+6)2+46、如图，一小球从斜坡O点处抛出 ，球 ( http: / / www.21cnjy.com )的抛出路线可用二次函数y=4x-x2的图象表示，斜坡可以用一次函数y=x的图象表示．
(1) 求小球到达最高点的坐标；
(2)若小球的落点是A，求点A的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：解：(1) ∵- =8， =16，
∴顶点坐标为（8，16）；（2）将y=4x-y=x组成方程组，
解得x=0或x=14，
则点O坐标为（0，0），点A的坐标为（14，7）．7.如图所示，足球场上守门员在O处 ( http: / / www.21cnjy.com )开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度 的一半． ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求足球开始飞出第一次落地时，该抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线的关系式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（=10 ）
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？答案：解: (1)如图，
设第一 ( http: / / www.21cnjy.com )次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4.
由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4，a=
∴表达式为 (3)如图，第二次足球弹出后的距离为C ( http: / / www.21cnjy.com )D.
根据题意：CD= EF（即相于当抛物线AEMFC向下平移了2个单位）．
∴ 2=， 解得 ，
∴CD= ∴BD =13 -6+10 =17（米）． 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 二次函数的应用：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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