第1章三角形的初步知识单元培优测试题（含解答）

浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元培优测试题
注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个

第1题图 第4题图 第6题图
2﹒下列各图中，正确画出AC边上高线的是（　　）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
3﹒下列四个命题中：①若实数a、b满足a2＝b2，则a＝b；②若a+b＝0，则|a|＝|b|；③两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等；④角平分线上的点到角两边的距离相等．其中是真命题的有（ ）21*cnjy*com
A﹒①② B﹒①③ C﹒②④ D﹒③④
4﹒如图，在△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A﹒15 B﹒30 C﹒45 D﹒60
5﹒已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（　　）
A﹒2a+2b-2c B﹒2a+2b C﹒2c D﹒0
6﹒如图，在△ABC中，∠BAD＝∠ADB．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（　　）
A﹒70° B﹒44° C﹒34° D﹒24°
7﹒如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（　　）
A﹒30° B﹒40° C﹒60° D﹒70°

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8﹒如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A﹒13 B﹒14 C﹒15 D﹒16
9﹒如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（　　）21教育名师原创作品
A﹒3 B﹒4 C﹒5 D﹒6
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.把命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：____________________
__________________________________________________________.
12.已知△ABC的三边长均为正整数，若AB＝3，BC＝2，且第三条边AC的长为奇数，则△ABC的周长是_________.21*cnjy*com
13.已知，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点D，若∠A＝100°，则∠BDC的度数为___________．
14.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1CD的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为_______．
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，已知D，A，E在一条直线上，△ADC≌△AEB，若∠BAC＝40°，∠D＝45°，则∠B的度数为_______.
16.如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝_________.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（6分）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝25°，求∠DFB和∠DGB的度数﹒
18.（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，AE与BF相交于点O，若∠CAB＝50°，∠C＝60°，试求∠DAE和∠BOA的度数．
19.（8分）如图，在△ABC和△ADE中，B，D，C三点在同一条直线上，有以下四个条件：AB＝AD，∠B＝∠ADE，BC＝DE，∠1＝∠2，请你从这四个条件中选出三个条件作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明﹒21·cn·jy·com
题设（已知）：____________________________________________﹒
结论（求证）：__________________﹒
证明：
20.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是△ABC的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D﹒若AC＝12cm，试求BD的长﹒
21.（10分）如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG，EF﹒21世纪教育网版权所有
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由﹒
22.（12分）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB﹒
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF﹒
23.（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连结CE﹒
（1）如图1，若∠BAC＝90°，
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：EC⊥BC﹒
（2）若设∠BAC＝，∠BCE＝，如图2，则，之间有怎样的关系？并请说明理由﹒
浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元培优测试题
参考答案
一、选择题
1﹒如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A﹒1个 B﹒2个
C﹒3个 D﹒4个
【解答】以BC为边的三角形有△ABC，△DBC，△EBC，
故选：C﹒
2﹒下列各图中，正确画出AC边上高线的是（　　）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
【解答】根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
3﹒下列四个命题中：①若实数a、b满足a2＝b2，则a＝b；②若a+b＝0，则|a|＝|b|；③两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等；④角平分线上的点到角两边的距离相等．其中是真命题的有（ ）www.21-cn-jy.com
A﹒①② B﹒①③ C﹒②④ D﹒③④
【解答】①若实数a、b满足a2＝b2，则a＝b或a＝－b，故此命题是假命题；
②若a+b＝0，则|a|＝|b|，故此命题是真命题；
③两边及其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，故此命题是假命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，故此命题是真命题，
故选：C﹒
4﹒如图，在△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A﹒15 B﹒30 C﹒45 D﹒60
【解答】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝4，
∴△ABD的面积＝AB?DE＝×15×4＝30．
故选：B．
5﹒已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（　　）
A﹒2a+2b-2c B﹒2a+2b C﹒2c D﹒0
【解答】∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c+（c﹣a﹣b）＝0．
故选：D．
6﹒如图，在△ABC中，∠BAD＝∠ADB．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（　　）
A﹒70° B﹒44° C﹒34° D﹒24°
【解答】∵∠BAD+∠ADB+∠B＝180°，且∠BAD＝∠ADB，
∴∠BAD＝∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：C．
7﹒如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（　　）
A﹒30° B﹒40° C﹒60° D﹒70°
【解答】如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
8﹒如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）【出处：21教育名师】
A﹒13 B﹒14 C﹒15 D﹒16
【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长＝8+5＝13，
故选：A﹒
9﹒如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
【解答】∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，故①正确；
∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；
EF＝BC，故③正确；
∠EAB＝∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（　　）
A﹒3 B﹒4 C﹒5 D﹒6
【解答】如图，作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABC+S△ABC，
∴×2×AC+×2×4＝7，
∴AC＝3，
故选：A﹒
二、填空题
11.把命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：____________________
__________________________________________________________.
【解答】如果两点确定，那么过这两点的直线有且只有一条，
故答案为：如果两点确定，那么过这两点的直线有且只有一条﹒
12.已知△ABC的三边长均为正整数，若AB＝3，BC＝2，且第三条边AC的长为奇数，则△ABC的周长是_________.21cnjy.com
【解答】由三角形三边关系定理得：3－2＜AC＜3+2，即1＜AC＜5，
而在此范围内的整数有2，3，4，
又∵AC的长为奇数，
∴AC＝3，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8．
故答案为：8．
13.已知，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点D，若∠A＝100°，则∠BDC的度数为___________．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】如图，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝(∠ABC+∠ACB)，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝80°，
∴∠1+∠2＝40°，
∵∠BDC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BDC＝140°．
故答案为：140°．
14.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1CD的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为_______．
【解答】由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝ ∠A+∠A1BC，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，
故答案为：15°．
15.如图，已知D，A，E在一条直线上，△ADC≌△AEB，若∠BAC＝40°，∠D＝45°，则∠B的度数为_______.www-2-1-cnjy-com
【解答】∵△ADC≌△AEB，
∴∠DAC＝∠EAB，∠B＝∠C，
∴∠DAC－∠BAC＝∠EAB－∠BAC，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，且∠BAC＝40°，
∴∠DAB＝∠EAC＝70°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝110°，
∵∠D+∠DAC+∠C＝180°，
∴∠C＝25°，则∠B＝25°，
故答案为：25°﹒
16.如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝_________.
【解答】∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，
∵AB＝10，CF＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
三、解答题
17.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝25°，求∠DFB和∠DGB的度数﹒21教育网
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝ACB＝105°，∠D＝∠B＝25°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠AFC，
∴∠AFC＝∠ACB－∠CAD＝105°－10°＝95°，
又∵∠DFB+∠AFC＝180°，
∴∠DFB＝180°－∠AFC＝180°－95°＝85°
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，
∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝85°－25°＝60°﹒
18.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，AE与BF相交于点O，若∠CAB＝50°，∠C＝60°，试求∠DAE和∠BOA的度数．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵∠ABC+∠CAB+∠C＝180°，且∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠EAF＝∠CAB ＝25°，∠CBF＝∠ABF＝∠ABC＝35°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
19.如图，在△ABC和△ADE中，B，D，C三点在同一条直线上，有以下四个条件：AB＝AD，∠B＝∠ADE，BC＝DE，∠1＝∠2，请你从这四个条件中选出三个条件作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明﹒
题设（已知）：____________________________________________﹒
结论（求证）：__________________﹒
证明：
【解答】解：本题答案不唯一，如：
题设（已知）：AB＝AD，∠B＝∠ADE，∠1＝∠2﹒
结论（求证）：BC＝DE﹒
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE﹒
20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是△ABC的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D﹒若AC＝12cm，试求BD的长﹒
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∵∠CAE+∠ACF+∠AFC＝180°，
∴∠CAE+∠ACF＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝∠ACE＝90°，
在△CBD和△ACE中，
，
∴△CBD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE，
又∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BC＝AC＝6cm，
∴BD＝6cm﹒
21.如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG，EF﹒2-1-c-n-j-y
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由﹒
【解答】解：（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BGD和△CFD中，
，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG＝CF；
（2）BE+CF＞EF，理由如下：
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，
又∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，又BG＝CF，
∴BE+CF＞EF·
22.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB﹒2·1·c·n·j·y
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF﹒
【解答】解：（1）还有两对全等三角形，如△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；
（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，即∠CAD＝∠EAB，
在△ADC和△ABE中，
∵，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ACD＝∠AEB，
∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，
即∠DCF＝∠BEF，
在△CDF和△EBF中，
∵，
∴△CDF≌△EBF（AAS），
∴CF＝EF﹒
23.在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连结CE﹒21·世纪*教育网
（1）如图1，若∠BAC＝90°，
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：EC⊥BC﹒
（2）若设∠BAC＝，∠BCE＝，如图2，则，之间有怎样的关系？并请说明理由.
【解答】解：（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②证明：由①知：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠B+∠ACB＝∠BCE，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，且∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC﹒
（2）+＝180°，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，即∠B+∠ACB＝∠BCE＝，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，且∠BAC＝，
∴∠B+∠ACB＝180°－，
∴180°－＝，即+＝180°，