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浙教版数学八年级上1.6尺规作图教学设计
课题 1.6尺规作图 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 情感态度和价值观目标 体验数学作图，动手实践的乐趣，能够利用数学作图解决实际问题。
能力目标 听课练习中培养自主探究和动手实践的能力
知识目标 1.了解尺规作图的含义及其历史背景； 2.会画一个角等于已知角；作角平分线； 3.给定边角条件下，求作三角形；作已知线段的垂直平分线； 4.要了解作法的理由。
重点 尺规作图给定边角条件下的三角形
难点 作一个角等于已知角、作角平分线与作线段的垂直平分线的作法分析过程。
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 我们以前学过作一条线段等于已知线段，作一个角的角平分线。还记得怎么画吗？一起回顾。 1.已知：线段a，求作一条线段等于a. （1）先画射线AC； （2）用圆规量出线段a的长； （3）在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段AB 就是所要画的线段 2.已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线. （1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C 点，交OB 于D 点； （2）分别以C、D 两点圆心，以大于 CD 长为半径画弧，两弧相交于P 点； （3）过O、P 作射线OP ，则OP即为所求作的角平分线. 听课，回忆 从学生熟悉的知识引入本课知识
导入新课 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 思考：怎么做一个角等于已知角？ 如图，已知∠AOB ，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 作法：1.以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA 于C ，交OB 于D ；（图1） 2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC 长为半径画弧l，交O′ A′于C′. （图2） 3.以点C′为圆心，以CD 长为半径画弧，交弧l于D′. 4.经过点O′,D’画射线O′ B′，则∠A′ O′ B′就是所求作的角. 你能证明上题作图的正确性吗 如图1和图2，连结CD，C’D’。 在△OCD与△O’C’D’中， ∵ OC=O’C’（作法） OD=O’D’（作法） CD=C’D’ （作法） ∴△OCD≌△O’C’D’（SSS） ∴∠A’O’B’=∠AOB 思考、听课 讲解尺规作图的含义和做一个角等于已知角的作图方法
即时演练 要求：用直尺和圆规作一个30°的角。（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法） 方法一：先作等边三角形得到60°，再作60°角的平分线，得到30°角； 方法二：6等份圆，作60°圆心角的平分线，得到30°角；（或作30°的圆周角） 方法三：作含有30°角的直角三角形． 做练习 及时练习，巩固概念
例题讲解 已知：线段AB ，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线. 分析 要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。 作法：（1） 分别以A、B 两点为圆心，以大于AB 线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点； （2）过点C、D 作直线CD，直线CD即为所求作线段AB 的垂直平分线. 你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？ 已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．
求证：CD⊥AB，CD平分AB． 证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC AD＝BD CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
∴∠1=∠2．
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即 CD⊥AB，CD平分AB． 听课思考 讲解例题，明白题型
即时演练 如图所示的尺规作图是作（ ） A．一条线段的垂直平分线 B．一个角的平分线 C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角 【解析】如图所示的尺规作图是作一条线段的垂直平分线,故选:A. 做练习 及时练习，巩固概念
讲解新知 已知:∠α,∠β,线段a，用直尺和圆规作△ABC,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a. 1.作一条线段AB=a 2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形 已知:三角形的两角及它们的夹边,求作三角形 已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝ a，AB＝ b， ∠ABC ＝∠α 作法： 1.作∠MBN＝ ∠α 2.在射线BM上截取BC＝ a,在射线B N上截取BA＝ b， 3.连接AC 则△ABC为所求作的三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 已知:线段a , b , c，求作:△ABC,使BC＝a, AC＝b , AB＝c 作法：(1)做线段BC＝a, (2)以C为圆心, b为半径画弧 (3)以B为圆心, C为半径画弧，两弧相交于点A (4)连接AB,AC 则△ABC为所求作的三角形 听课 讲解用尺规作图画三角形
小结归纳 一般情况下， 已知两角夹边，先画边,再画两角; 已知两边夹角，先画角,再在角的两边分别截取两边。 已知三条边，分别画三条边 听课 及时总结，归纳方法，理清思路
即时演练 给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【解析】①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故选A． 练习 及时做练习，巩固知识
归纳小结 常用的作图语言 （1）过点×、×作线段或射线、直线； （2）连结两点×、×； （3）在线段或射线×上截取××=××； （4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×； （5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×； （6）延长××到点×，使××=××． 注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。 听课，做笔记 归纳作图语言，规范做答习惯
达标测评 1.下列关于几何画图的语句正确的是（ ） A．延长射线AB到点C，使BC=2AB B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角 D．已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b 【解析】 A、延长射线AB到点C，使BC=2AB，说法错误，不能延长射线；
B、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；
C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；
D、已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b，说法错误，AC也可能为2a+b；
故选：C． 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=______． 【解析】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8． 3.如图有A、B两村合伙在河边MN建一座扬水站，要使所用管道最少，请你帮助确定扬水站的位置（画出图形不写作法，保留作图痕迹） 4.尺规作图：黎明花园O处有两条交叉公路OA、OB，∠AOB内有两栋居民楼C、D，小李准备开一家超市P，超市P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两栋居民楼C、D的距离相等； 求作：超市P的位置，（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 解：如图所示，点P即为所要找的超市的位置． 5.利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知：如图，∠1，∠2和线段a．
求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2． 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，△ABC中，AB=3.5cm，AC=2.4cm，BC=4.7cm，∠B=30°，∠C=45°．请你从中选择适当的数据，画与△ABC全等的三角形，要求至少用三种不同的方法画，不写画法，但要在画出的每一个图中标出方法所用到的数据． 思考练习 分多种情况，培养学生思维
课堂小结 这节课我们学习了： 1.了解尺规作图的含义 2.画一个角等于已知角； 3.作已知线段的垂直平分线； 4.给定边角条件下，求作三角形 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P39页第1 、2 、5 题 做练习 课下练习提升
板书 1.6 尺规作图 1.尺规作图：没有刻度的直尺 圆规作图 2.画一个角等于已知角 3.画线段的垂直平分线 4.作三角形 （根据确定三角形的方法：ASA、SSS、SAS） 5.作图常用语言 看黑板 帮助学生梳理本课知识点
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尺规作图
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C
B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC=AB
D．延长线段AB到点C，使AC=BC
2. 如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=h．张红的作法是：
（1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
（3）在直线MN上截取线段h；
（4）连接AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
3. 如图，点C落在∠AOB边上，用尺规作CN∥OA，其中弧FG的（ ）
A．圆心是C，半径是OD
B．圆心是C，半径是DM
C．圆心是E，半径是OD
D．圆心是E，半径是DM
4. 下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．画线段MN=3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
5. 如图，已知线段AB，以下作图不可能的是（ ）
A. 在AB上取一点C，使AC=BC
B. 在AB的延长线上取一点C，使BC=AB
C. 在BA的延长线上取一点C，使BC=AB
D. 在BA的延长线上取一点C，使BC=2AB
二、填空题
1、作线段的垂直平分线的理论根据是______________和两点确定一条直线。
2. 已知∠A和线段AB，要作一个唯一的△ABC，还需给出一个条件是______．
3. 已知底边a和底边上的高h，在用尺规作图方法作这个等腰△CDE，使DE=a，CB=h时，需用到的作法有：
①在MN上截取BC=h；②作线段DE=a；③作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；④连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形．
则正确作图步骤的序号是______．
4. 根据图形把下列画图语句补充完整。
（1）如图1所示，在__________上截取_______________=a ；
（2）如图2所示，以点___________为圆心，以_______为半径作弧，交__________于点________。
5. 画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD=______AB．
三、作图题
1. 读下面的语句，并画图形．
（1）P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；直线EF经过点P，且与AB垂直，垂足为点G；
（2）直线AB、CD是相交直线，点P是直线AB．CD外的一点，直线EF经过点P，且与直线AB平行，与直线CD相交于E．
2. 如图，铁路OA和公路OB在我市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货物站P，要求P到OA、OB的距离相等，且PC=PD，请确定出点P的位置．（用尺规作图，不写作法，但要保留痕迹）
四、探究题
如图：（1）已知：∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据上面你作出的图分析回答：PC与OB一定平行吗？
参考答案
一、选择题
2、C
【解析】（3）在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符．
3、D
【解析】图中要作CN∥OA，就是作∠NCB=∠AOD，
根据作一个角等于已知角的方法可得弧FG是以圆心是E，半径是DM所画的弧．
故选：D．
4.D
【解析】A、画线段MN=3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；
B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；
C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；
D、正确．
故选D．
5.C
【解析】A、可能，只要做AB的垂直平分线即可；
B、可能，在AB的延长线上取一点C，使BC=AB；
C、不可能，因为BC始终大于AB；
D、可能，在BA的延长线上取一点C，使BC=2AB．
故选C．
二、填空题
1、到线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
【解析】画垂直平分线的依据就是垂直平分线的性质，即到线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
2、AC（或∠B）
【解析】因为全等三角形的判定有SAS，ASA，所以还需给出的条件是：已知AC（或∠B）．
3、②③①④
【解析】首先作线段DE=a；
然后作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
再在MN上截取BC=h；
最后连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，
故答案为：②③①④．
4. （1）射线OM，OA；（2）A，R，射线AB，M
【解析】根据作图的步骤，可知应该填（1）射线OM，OA；（2）A，R，射线AB，M
5. 6
【解析】（1）画线段AB；
（2）延长线段AB到点C，使BC=2AB；
（3）反向延长AB到点D，使AD=AC；
由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB．
【】
三、作图题
1.【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：
2. 【解析】作∠AOB的平分线、线段CD的垂直平分线，两线的交点就是所求．
四、探究题
【解析】（1）以∠O的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，交∠O的两边于两点；以点P为圆心，刚才的半径为半径，交射线PA于一点，以这点为圆心，∠O两边上两点的距离为半径画弧，交前弧于一点，过这点作射线OC，∠APC，∠APC′就是所求的角；
（2）由（1）作出的图形可得PC与OB不一定平行．
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尺规作图
浙教版 八年级上
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教学目标
回顾旧知
（3）在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段
AB 就是所要画的线段.
（1）先画射线AC；
（2）用圆规量出线段a的长；
作法：
A
C
B
已知：线段a，求作一条线段等于a.
a
a
教学目标
回顾旧知
已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线.
O
B
A
P
C
D
（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
于C 点，交OB 于D 点；
（3）过O、P 作射线OP ，
则OP即为所求作的角平分线.
（2）分别以C、D 两点圆心，以大于 CD 长为半
径画弧，两弧相交于P 点；
作法：
教学目标
导入新课
在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
思考：
怎么做一个角等于已知角？
如图，已知∠AOB ，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
O
A
B
教学目标
新课讲解
2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC 长为半径画弧l，交O′ A′于C′. （图2）
1.以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA 于C ，交OB 于D ；（图1）
作法：
3.以点C′为圆心，以CD 长为半径画弧，交弧l于D′.
4.经过点O′,D’画射线O′ B′，则∠A′ O′ B′就是所求作的角.
B ′
D′
C
D
O
A
B
图1
O ′
A ′
图2
C ′
l
教学目标
思考探究
你能证明上题作图的正确性吗
C
D
O
A
B
图1
O ′
A ′
B ′
C ′
D′
图2
如图1和图2，连结CD，C’D’
在△OCD与△O’C’D’中，
∵ OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’ （作法）
∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）
∴∠A’O’B’=∠AOB
教学目标
即时演练
要求：用直尺和圆规作一个30°的角。（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
方法一：先作等边三角形得到60°，再作60°角的平分线，得到30°角；
方法二：6等份圆，作60°圆心角的平分线，得到30°角；（或作30°的圆周角）
方法三：作含有30°角的直角三角形．
教学目标
例题讲解
已知：线段AB ，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
（1） 分别以A、B 两点为圆心，以大于AB 线段一
半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点；
（2）过点C、D 作直线CD，直线CD即为所求作线段
AB 的垂直平分线.
A
B
C
D
分析 要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。
作法：
教学目标
想一想
你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．
求证：CD⊥AB，CD平分AB．
A
B
C
D
1
2
证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
∴∠1=∠2．
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即 CD⊥AB，CD平分AB．
教学目标
即时演练
如图所示的尺规作图是作（ ）
A．一条线段的垂直平分线
B．一个角的平分线
C．一条直线的平行线
D．一个角等于已知角
A
【解析】如图所示的尺规作图是作一条线段的垂直平分线,故选:A.
教学目标
例题讲解
已知:∠α,∠β,线段a，用直尺和圆规作△ABC,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.
2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形
作法：
1.作一条线段AB=a
β
a
α
A
B
D
E
C
已知:三角形的两角及它们的夹边,求作三角形
教学目标
画一画
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝ a，AB＝ b， ∠ABC ＝∠α
a
b
a
D
E
1.作∠MBN＝ ∠α
2.在射线BM上截取BC＝ a,在射线B N上截取BA＝ b，
3.连接AC
则△ABC为所求作的三角形
作法：
B
M
D′
E′
N
C
A
教学目标
画一画
已知:线段a , b , c，求作:△ABC,使BC＝a, AC＝b , AB＝c
a
b
c
(1)做线段BC＝a,
(2)以C为圆心, b为半径画弧
(3)以B为圆心, C为半径画弧，两弧相交于点A
(4)连接AB,AC
则△ABC为所求作的三角形
作法：
B
M
A
C
已知三角形的三条边，求作三角形
教学目标
小结归纳
画三角形的方法：
◆已知两角夹边，先画边,再画两角;
◆已知两边夹角，先画角,再在角的两边分别截取两边。
◆已知三条边，分别画三条边
教学目标
即时演练
给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【解析】①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故选A．
A
教学目标
归纳小结
常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。
教学目标
达标测评
1.下列关于几何画图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C，使BC=2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角
D．已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b
C
教学目标
达标测评
【解析】
A、延长射线AB到点C，使BC=2AB，说法错误，不能延长射线；
B、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；
C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；
D、已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b，说法错误，AC也可能为2a+b；
故选：C．
教学目标
达标测评
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=______．
【解析】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
8
教学目标
达标测评
3.如图有A、B两村合伙在河边MN建一座扬水站，要使所用管道最少，请你帮助确定扬水站的位置（画出图形不写作法，保留作图痕迹）
教学目标
达标测评
4.尺规作图：黎明花园O处有两条交叉公路OA、OB，∠AOB内有两栋居民楼C、D，小李准备开一家超市P，超市P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两栋居民楼C、D的距离相等；
求作：超市P的位置，（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．
解：如图所示，点P即为所要找的超市的位置．
教学目标
达标测评
5.利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知：如图，∠1，∠2和线段a．
求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2．
教学目标
拓展提升
如图，△ABC中，AB=3.5cm，AC=2.4cm，BC=4.7cm，∠B=30°，∠C=45°．请你从中选择适当的数据，画与△ABC全等的三角形，要求至少用三种不同的方法画，不写画法，但要在画出的每一个图中标出方法所用到的数据．
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.了解尺规作图的含义
2.画一个角等于已知角；
3.作已知线段的垂直平分线；
4.给定边角条件下，求作三角形
教学目标
课后作业
课本P39页第1 、2 、5 题
谢 谢！
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