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浙教版数学八年级上1.5三角形全等的判定（4）教学设计
课题 1.5三角形全等的判定（4） 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级
学习目标 情感态度和价值观目标 能够体会数学独特的逻辑思维，感受数学的美妙，利用所学知识解决生活实际问题。
能力目标 在学习过程中培养自主探究能力和严谨的数学思维。
知识目标 1.掌握三角形全等的判定定理（AAS）2.理解角平分线的性质
重点 两个三角形全等的条件：AAS
难点 例7需要添加辅助线，证明思路较复杂，是本节教学难点
学法 探究法 教法 讲授法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾旧知 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？1. 全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形全等2.边边边公理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等3.边角边公理（SAS）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等4.角边角公理（ASA）两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。 回忆，思考 带领学生回忆旧知识，一方面可以快速进入课堂，另一方面减轻学生认知负担
思考探究 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和△DEF全等吗？为什么？证明：∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F(三角形内角和定理)在△ABC和△DEF中∠B=∠EBC=EF ∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）你能从上题中得到什么结论？两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 思考 通过思考探究得出AAS定理
讲授新课 判定三角形全等的定理4：两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 （简写成“角角边”或“AAS”）数学语言表示：在△ABC和△DEF中，∵ ∠C=∠F ∠A=∠D， AB=DE ,∴ △ABC≌△DEF（AAS）必须按照角角边的顺序书写角角边的情形包括： 听课 讲解AAS的具体内容以及书写规范
例题讲解 例6.点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB,PC⊥AC，求证：PB=PC 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC（已知）∴∠ABP=∠ACP=Rt∠（_垂线的定义）在△APB与△APC中，∵∠PAB=∠PAC（角平分线的定义） ∠ABP=∠ACP AP=AP(（公共边）∴△ APB ≌△APC（AAS）∴PB=PC（全等三角形对应边相等_） 听课思考 讲解例题，明白题型
随堂演练 如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE证明：∵ AB=AC，∴ ∠B= ∠C（等边对等角）在△ABD和△ACE中，∵ ∠B= ∠C ∠ADB= ∠AEC AB=AC∴ △ABD≌△ACE（AAS） 做题 及时练习，巩固知识
讲授新知 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。∵点P是∠BAC的平分线上的一点，且PB⊥AB,PC⊥AC，∴PB=PC（全等三角形对应边相等） 听课 讲解角平分线的性质
例题讲解 例7 如图，AB//CD,PB和PC平分∠ABC∠DCB，AD过点 P，且与 AB垂直。求证： PA=PD证明：如图，作PE⊥BC于点E∵ AB∥CD（已知）∴∠BAD+∠CDA=180°（_两直线平行，同旁内角互补_）∵AD⊥AB∴∠BAD=90°∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°∴AD⊥CD（角平分线上的点到角两边的距离相等）∵PB平分∠ABC∴PA=PE∴PA=PE=PD 听课 讲解课本例题
随堂演练 通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，
∴P到三边的距离相等，即到三边的距离都是1，
∴S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC=×1×AC+×1×BC+×1×AB
=×1×（AC+BC+AB）
=×1×10=5．
所以△ABC的面积是5．
故填空答案：5． 做题 及时练习，巩固知识
达标测评 1.已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D求证：AC = AD证明：在△ABC和△ABD中∠1 = ∠2∠C = ∠DAB = AB∴△ABC≌△ABD（A.A.S.）∴AC = AD（全等三角形对应边相等）2.如图，给出下列四个条件，不能判断△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
①∠B=∠B′②∠C=∠C′
③AC=A′C′④BC=B′C′． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④A项，根据全等三角形的判定定理“AAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
B项，根据全等三角形的判定定理“ASA”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
C项，“SSA”不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D项，根据全等三角形的判定定理“SAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误．3.如图，∠CAD=∠BAE，∠ACB=∠ADE，AB=AE，则可判定（ ） A．△AEF≌△ABDB．△ABC≌△AEDC．△ADC≌△AFDD．以上答案都不对
∠CAB=∠DAE ∠ACB=∠ADE AB=AE
∴△ABC≌△AED（AAS）．4.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有______个，最多有______个．【解析】如图所示，分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2．5.如图，已知矩形ABCD中， AC与BD交于点O， BE⊥AC,CF⊥BD，垂足分别是 E、F．求证：BE=CF证明：矩形对角线互相平分且相等，
∴OB=OC，在△BOE和△COF中
∵ ∠BEO=∠CFO ∠EOB=∠FOC BO=CO
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴BE=CF． 做题 通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展 如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上． 思考练习 开动脑筋，拓展思维
课堂小结 这节课我们学习了：1.全等三角形的判定定理：AAS2.角平分线的性质 回忆总结 带领学生回忆本课所学
布置作业 课本P36页第1、2、3、4 题 做练习 课下练习提升
板书 1.5三角形全等的判定（4）1.AAS：两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 看黑板，做笔记 帮助学生对本课知识点有清晰的认识
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三角形全等的判定
浙教版 八年级上
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——第四课时
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
1. 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等
2.边边边公理（SSS）
3.边角边公理（SAS）
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
教学目标
回顾旧知
4.角边角公理（ASA）
两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
教学目标
思考探究
在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和△DEF全等吗？为什么？
A
C
B
E
D
F
分析：能否转化为ASA
证明：∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F(三角形内角和定理)
∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能从上题中得到什么结论？
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
教学目标
新课讲解
有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 （简写成“角角边”或“AAS”）
判定三角形全等的定理4：
A
B
C
D
E
F
数学语言表示：
在△ABC和△DEF中，
∵ ∠C=∠F
∠A=∠D，
AB=DE ,
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
必须按照角角边的顺序书写
教学目标
新课讲解
（AAS）
A
B
C
D
E
F
角角边的情形包括：
两角和其中一角的对边对应相等
教学目标
例题讲解
∴△ APB ≌△APC（AAS）
∴PB=PC（___________________________）
证明：
P
∵PB⊥AB，PC⊥AC（已知）
∴∠ABP=∠ACP=Rt∠（__________________）
在△APB与△APC中，
A
B
C
例6.点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB,PC⊥AC，求证：PB=PC
∠PAB=∠PAC（__________________）
∠ABP=∠ACP
AP=AP(（公共边）
∵
全等三角形对应边相等
垂线的定义
角平分线的定义
教学目标
随堂演练
如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：
△ABD≌△ACE
A
B
C
D
E
证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B= ∠C（等边对等角）
在△ABD和△ACE中，
∵ ∠B= ∠C
∠ADB= ∠AEC
AB=AC
∴ △ABD≌△ACE（AAS）
教学目标
讲授新知
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质定理：
A
B
C
P
∵点P是∠BAC的平分线上的一点，
且PB⊥AB,PC⊥AC，
∴PB=PC（全等三角形对应边相等）
几何语言
教学目标
例题讲解
例7 如图，AB//CD,PB和PC平分∠ABC∠DCB，AD过点 P，且与 AB垂直。求证： PA=PD
证明：如图，作PE⊥BC于点E
∵ AB∥CD（已知）
∴∠BAD+∠CDA=180°（_____________________________）
∵AD⊥AB
∴∠BAD=90°
∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°
∴AD⊥CD（_____________________________________）
∵PB平分∠ABC
∴PA=PE
∴PA=PE=PD
两直线平行，同旁内角互补
角平分线上的点到角两边的距离相等
D
B
C
P
A
E
教学目标
随堂演练
通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．
5
教学目标
随堂演练
【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，
∴P到三边的距离相等，即到三边的距离都是1，
∴S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC
=×1×AC+×1×BC+×1×AB
=×1×（AC+BC+AB）
=×1×10=5．
所以△ABC的面积是5．
故填空答案：5．
教学目标
达标测评
1.已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D
求证：AC = AD
A
B
D
C
2
1
证明：在△ABC和△ABD中
∠1 = ∠2
∠C = ∠D
AB = AB
∴△ABC≌△ABD（AAS）
∴AC = AD（全等三角形对应边相等）
教学目标
达标测评
2.如图，给出下列四个条件，不能判断△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
①∠B=∠B′②∠C=∠C′
③AC=A′C′④BC=B′C′．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
A项，根据全等三角形的判定定理“AAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
B项，根据全等三角形的判定定理“ASA”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
C项，“SSA”不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D项，根据全等三角形的判定定理“SAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误．
C
教学目标
达标检测
3.如图，∠CAD=∠BAE，∠ACB=∠ADE，AB=AE，
则可判定（ ）
A．△AEF≌△ABD
B．△ABC≌△AED
C．△ADC≌△AFD
D．以上答案都不对
【解析】∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
∠CAB=∠DAE
∠ACB=∠ADE
AB=AE
∴△ABC≌△AED（AAS）．
B
教学目标
达标测评
4.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有______个，最多有______个．
2
1
教学目标
达标测评
【解析】如图所示，分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2．
教学目标
达标测评
5.如图，已知矩形ABCD中， AC与BD交于点O， BE⊥AC,CF⊥BD，垂足分别是 E、F．求证：BE=CF
证明：矩形对角线互相平分且相等，
∴OB=OC，
在△BOE和△COF中
∵ ∠BEO=∠CFO
∠EOB=∠FOC
BO=CO
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴BE=CF．
教学目标
拓展提升
如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．
教学目标
拓展提升
证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
教学目标
归纳小结
SSS
SAS
ASA
AAS
两个三角形全等
的判定定理
教学目标
课堂小结
这节课我们学习了：
1.全等三角形的判定定理：AAS
2.角平分线的性质
教学目标
课后作业
课本P36页第1、2、3、4 题
谢 谢！
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三角形全等的判定（4）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1、如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．OB=OC B．OD=OF C．BD=DC D．OA=OB=OC
2. 下面说法中错误的是（ ）
A. 有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等
B. 有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C. 两个等边三角形全等
D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
3. 如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（ ）种．www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5. 一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了。（ ）21*cnjy*com
A．带其中的任意两块
B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了
D．带1，4或2，4或3，4均可
二、填空题
1. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=______．
2. 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加条件______．
3. 如图中的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠到的．则图中（包括虚，实线）共有______对全等三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
4. 1、下列能判断两个三个角形全等的条件是______
①已知两角及一边对应相等
②已知两边及一角对应相等
③已知三条边对应相等
④已知直角三角形一锐角及一边对应相等
⑤已知三个角对应相等．
5. 下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是______．（填写序号）【出处：21教育名师】
三、证明题
1. 已知：如图，E、F是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，∠C=∠D；求证：CF=DE。
2. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF。
求证：AD平分∠BAC。
四、探究题
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分别为D、E，猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系，并说明理由．21·cn·jy·com
参考答案
一、选择题
2、C
【解析】A、有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等，符合AAS，故正确；
B、有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合AAS或ASA，故正确；
C、这两个等边三角形的边不一定相等，故错误；
D、符合SSS，故正确．
故选C．
3、C
【解析】添加的条件可以为：
∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．
若添加∠B=∠B′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
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∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；
若添加∠C=∠C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
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∠A=∠A′∠C=∠C′AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；
若添加AC=A′C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
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AC=A′C′∠A=∠A′AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故选C
4.D
【解析】满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选D．
5.D
【解析】由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边（AAS），同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选D．
二、填空题
1.2
【解析】
作EG⊥OA于G，
∵EF∥OB，
∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∵EG=CE=1，
∴EF=2×1=2．
故答案为2．
2、∠B=∠C
【解析】添加条件：∠B=∠C；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C ∠BAD=∠CAD AD=AD ，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
故答案为：∠B=∠C．
3、4
【解析】
如图，设BC′与AD的交点为P
①△ABD≌△CBD
∵ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD；
②△BDC′≌△BDC
∵BC=BC′，∠CBD=∠C′BD，BD=BD
∴△BDC′≌△BDC；
③△BDC′≌△DBA
∵△ABD≌△CBD，△BDC′≌△BDC
∴△BDC′≌△DBA；
④△APB≌△C′PD
∵AB=C′D，∠A=∠C′，∠APB=∠C′PD
∴△APB≌△C′PD．
∴图中（包括虚，实线）共有4对全等三角形．
故填4．
4、①③④
【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
已知两角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能判断两三角形全等，∴①正确；
根据已知两边及一角对应相等不能推出两三角形全等，∴②错误；
已知三条边对应相等，符合SSS，能判断两三角形全等，∴③正确；
已知直角三角形一锐角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能推出两直角三角形全等，∴④正确；
根据已知三个角对应相等不能推出两三角形全等，如大、小三角板，∴⑤错误；
故答案为：①③④．
5. ②③
【解析】∵如：在△ABC中，AB=2，AB边上的高是3，则△ABC的面积是3，在△DEF中，DE=3，AB边上的高是2，则△DEF的面积是3，21教育网
但是△ABC和△DEF不全等，∴①错误；
∵根据全等三角形的判定定理SSS可以推出两三角形全等，∴②正确；
∵根据全等三角形的判定定理AAS可以推出两三角形全等，∴③正确；
如图，
已知AD=AC，AB=AB，∠B=∠B，
但是△ABD和△ABC不全等，∴④错误；
∵如图
等腰三角形ACB和等腰三角形DEF，AB=AC=DE=DF，
但是两三角形不全等，∴⑤错误；
故答案为：②③．
【】
三、解答题
1.【解析】证明：∵AC∥BD ∴∠A=∠B
∵AE=BF ∴AE+EF=BF+EF，即 AF=BE
在△ACF和△BDE中
∴△ACF≌△BDE(AAS)
∴CE=CF2·1·c·n·j·y
2. 【解析】
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC。
四、探究题
【解析】解：DE+AE=DB
∵∠ACB=90°，BD⊥CE
∴∠ACE+∠ECB=90°，
∠ECB+∠CBD=90°
∴∠ACE=∠CBD
又∵AE⊥CE
∴∠AEC=90°
在Rt△AEC和Rt△CDB中
AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°，∠ACE=∠CBD
∴Rt△AEC≌Rt△CDB
∴AE=CD，EC=DB
又∵DE+DC=EC
∴DE+AE=DB． 21·世纪*教育网
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