1.2 二次函数y=ax2与a的系数关系（含解析答案）

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二次函数的图象与的关系
【考点分析】
二次函数可看成是二次函数一般形式中的特殊情况。
1.抛物线的定义：将符合二次函数的表达式的（x,y），用点表示在直角坐标系上所形成的图象，这样的图象通常为曲线，叫做抛物线。
2. 二次函数的图象与的关系：
二次函数
的值
大致图象
对称轴 轴
顶点坐标 原点（0,0）
开口方向 向上 向下
顶点的位置 最低点 最高点
图象的位置 在x轴的上方（除顶点外，y>0） 在x轴的下方（除顶点外，y<0）
开口大小 越大，开口越小；越小，开口越大
增减性 在对称轴的右侧y随x的增大而增大；在对称轴的左侧y随x的增大而减小 在对称轴的右侧y随x的增大而减小；在对称轴的左侧y随x的增大而增大
点的纵坐标的特点 越靠近对称轴，点的纵坐标越小 越靠近对称轴，点的纵坐标越大
3.二次函数的图象与的图象的关系：
与是一对相反数，它们的图象关于x轴对称。
4.求二次函数的解析式，只需要已知一个点的坐标（除原点外）；
5.学会判断在x轴上方的图象，即y>0时x的取值范围；在x轴下方的图象，即y<0时x的值取值范围。
6.抛物线的图象可拆分成开口与顶点的坐标（顶点坐标下个考点讲），而二次函数的图象中的决定了抛物线的开口形状，即开口方向和大小。
【同步练习】
一、选择题
1．正方形面积S m2与边长t m之间的函数关系可用下图中的哪个来表示（　　）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数y=ax2，下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0，x≠0时，y总取负值
B．当a＜0，x＜0时，y随x的增大而减小
C．当a＜0时，函数图象有最低点，y有最小值
D．当a＞0，x＞0时，图象在第一象限　
3．对于二次函数y=3x2，y=﹣3x2和y=x2，下列说法中正确的是（　　）
A．开口都向上，且都关于y轴对称
B．开口都向上，且都关于x轴对称
C．顶点都是原点，且都关于y轴对称
D．顶点都是原点，且都关于x轴对称
4．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
5．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．　
6．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）
A． B． C． D．
7．如图，函数y=﹣2x2 的图象是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（　　）
A． B． C． D．　
9．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．给出下列命题及函数y=x与y=x2和的图象：
①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a，那么a＞1或﹣1＜a＜0；
③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则（　　）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
二、填空题
11．二次函数y=ax2（a≠0）的图象必经过的一点的坐标为　 　．
12．若点A（﹣2，a）在抛物线y=﹣5x2上，则A关于y轴对称点的坐标是　 　　．
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式a+b+1=　 　．
14．二次函数y=﹣x2，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是　 　．
15．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为　 　．
16．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　 　．　
17．如图，P1、P2、P3…PK分别是抛物线y=x2上的点，其横坐标分别是1，2，3…K，记△OP1P2的面积为S1，△OP2P3的面积为S2，△OP3P4的面积为S3，则S10=　 　．
第17题图 第18题图
18．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2017B2016B2017的腰长=　 　．
三、解答题
19．在同一直角坐标系xOy内，作出二次函数y=x2和y=x2+1的草图，这两个函数的图象间有什么联系？
　
20．不画图象，说出抛物线y=﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．
21．已知y=（2﹣a）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求a的值；
（2）用描点法画出函数的图象（不要求作答）．
　
22．已知二次函数y=ax2的图象经过点A（，﹣）、B（3，m）．
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点C的坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小；
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）．
23．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x﹣3交于点（1，b）．
（1）求a和b的值．
（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（4）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．
【参考答案和解析】
一、选择题
1．正方形面积S m2与边长t m之间的函数关系可用下图中的哪个来表示（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知：S=t2，（t≥0）．
∴图象是抛物线且在第一象限．
故选：B．
2．已知二次函数y=ax2，下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0，x≠0时，y总取负值
B．当a＜0，x＜0时，y随x的增大而减小
C．当a＜0时，函数图象有最低点，y有最小值
D．当a＞0，x＞0时，图象在第一象限
【解答】解：
A、当a＞0时，抛物线开口向上，当x≠0时，y总有正值，故A不正确；
B、当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为y轴，在y轴左侧，y随x的增大而增大，故B不正确；
C、当a＜0时，抛物线开口向上，函数图象有最高点，y有最大值，故C不正确；
D、当a＞0时，抛物线开口向上，函数图象在第一、二象限，当x＞0时，图象在第一象限，故D正确．
故选D．
　
3．对于二次函数y=3x2，y=﹣3x2和y=x2，下列说法中正确的是（　　）
A．开口都向上，且都关于y轴对称
B．开口都向上，且都关于x轴对称
C．顶点都是原点，且都关于y轴对称
D．顶点都是原点，且都关于x轴对称
【解答】解：在函数y=3x2，y=﹣3x2和y=x2，中，a取值范围分别为：a=3＞0，a=﹣3＜0，a=＞0，
∴抛物线的开口方向分别为：向上、向下、向上；
由函数y=3x2，y=﹣3x2和y=x2，的解析式可知：顶点坐标都为（0，0），对称轴x=0；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故选C．
　
4．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
　
5．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选D．
　
6．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A，
∴∠AOD=∠OCD=45°，
∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD
=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；
故选D．
　
7．如图，函数y=﹣2x2 的图象是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：函数y=﹣2x2 的图象是③，
故选C
　
8．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．
故选C．
　
9．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：y=2※x=，
x＞0时，图象是y=2x2对称轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=﹣x2对称轴左侧的部分，
故选：C．
　
10．给出下列命题及函数y=x与y=x2和的图象：
①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a，那么a＞1或﹣1＜a＜0；
③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则（　　）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
【解答】解：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1，正确；
②如果a2＞a，那么a＞1或﹣1＜a＜0，正确；
③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0，错误；
④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1，正确，
故选：B．
　
二、填空题
11．二次函数y=ax2（a≠0）的图象必经过的一点的坐标为　 　．
【解答】解：当x=0时，y=ax2=0，
所以二次函数y=ax2的图象必经过点（0，0）．
故答案为（0，0）．
　
12．若点A（﹣2，a）在抛物线y=﹣5x2上，则A关于y轴对称点的坐标是　 　　．
【解答】解：点A的纵坐标为：a=﹣5×（﹣2）2=﹣20，
∵所求的点与点A关于y轴对称，
∴所求的点的横坐标为2，纵坐标为﹣20，
∴点A关于y轴对称点的坐标是（2，﹣20）．
故答案为：（2，20）．
　
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式a+b+1=　 　．
【解答】解：把（1，1）代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1．
故答案为1．
　
14．二次函数y=﹣x2，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是　 　．
【解答】解：∵函数y=﹣x2的对称轴为y轴，开口向下，
∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，
所以x1＞x2＞0时，y1与y2的大小为y1＜y2
故答案为：y1＜y2．
　
15．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为　 　．
【解答】解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
　
16．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　 　．
【解答】解：如图所示：当x=2时，y=2，
故直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
　
17．如图，P1、P2、P3…PK分别是抛物线y=x2上的点，其横坐标分别是1，2，3…K，记△OP1P2的面积为S1，△OP2P3的面积为S2，△OP3P4的面积为S3，则S10=　 　．
【解答】解：由题意得，点P11（11，121），点P10（10，100），
S10=×11×121﹣×10×100﹣×（100+121）×（11﹣10）
=
=
=55．
故答案为：55．
　
18．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2017B2016B2017的腰长=　 　．
【解答】解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．
∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E．
设A1（a，b），则a=b，将其代入解析式y=x2得：
∴a=a2，
解得：a=0（不符合题意）或a=1，
由勾股定理得：A1B0=，
∴B1B0=2，
过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），
可得A2N=y2﹣2，B1N=x2=y2﹣2，
又点A2在抛物线上，所以y2=x22，
（x2+2）=x22，
解得x2=2，x2=﹣1（不合题意舍去），
∴A2B1=2，
同理可得：
A3B2=3，
A4B3=4，
…
∴A2017B2016=2017，
∴△A2017B2016B2017的腰长为：2017．
故答案为2017．
　
三、解答题
19．在同一直角坐标系xOy内，作出二次函数y=x2和y=x2+1的草图，这两个函数的图象间有什么联系？
【解答】解：画出函数y=x2和y=x2+1的图象如图所示：
二次函数y=﹣x2的图象向上平移一个单位得到二次函数y=x2+1的图象．
20．不画图象，说出抛物线y=﹣x2的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高（低）点坐标．
【解答】解：抛物线y=﹣x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向下，最高点坐标（0，0）。
21．已知y=（2﹣a）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求a的值；
（2）用描点法画出函数的图象（不要求作答）．
【解答】解：（1）由已知，得：a2﹣7=2且2﹣a≠0
解得a=±3
又当x＞0时，y随x的增大而增大
∴2﹣a＞0，即a＜2
∴a=﹣3；
（2）函数图象如图所示．
　
22．已知二次函数y=ax2的图象经过点A（，﹣）、B（3，m）．
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点C的坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小；
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）．
【解答】解：（1）把点A（，﹣）坐标代入函数解析式得，a=﹣，
解得a=﹣，
把点B（3，m）代入函数解析式得，m=﹣×9=﹣；
（2）点C（﹣3，﹣）；
（3）x＞0时，y随x的增大而减小；
（4）当x=0时，y有最大值为0．
23．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x﹣3交于点（1，b）．
（1）求a和b的值．
（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？
（4）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．
【解答】解：（1）把点（1，b）代入y=2x﹣3得2﹣3=b，解得b=﹣1，
所以交点坐标为（1，﹣1），
把（1，﹣1）代入y=ax2得﹣1=a，即a=﹣1；
（2）当a=﹣1时，二次函数解析式为y=﹣x2，
所以抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）二次函数y=﹣x2，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）如图，解方程组或，
所以A点坐标为（﹣，﹣2），B点坐标为（，﹣2），
所以S△OAB=×2×2=2．
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