2.3
用频率估计概率
1.下列说法中，正确的个数是(C)
①不可能事件发生的概率为0.
②在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值.
③收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率.
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.在一个不透明的盒子中装有
( http: / / www.21cnjy.com )a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为(B)
A.
12
B.
15
C.
18
D.
21
3.抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(A)
A.
0.56
B.
0.50
C.
0.44
D.
0.22
4.在一个不透明的口袋中，装有12个黄
( http: / / www.21cnjy.com )球和若干个红球，这些球除颜色外没有其他区别.小李通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在25%，则该口袋中红球的个数可能是 4
.
5.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
384
571
948
1902
2848
发芽的频率
0.960
0.947
0.960
0.952
0.948
0.951
0.949
那么这种油菜籽发芽的概率约为0.95(结果精确到0.01).
6.某地区林业局要考察一种树苗移植的成
( http: / / www.21cnjy.com )活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
(1)这种树苗成活的频率稳定在 0.9 ，成活的概率估计值为 0.9
.
(2)已知该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活 4.5 万棵.
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
【解】 ②18÷0.9＝20(万棵)，
20－5＝15(万棵).
∴还需移植这种树苗约15万棵.
7.某位篮球运动员在同样的条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数n
8
10
15
20
30
40
50
进球次数m
6
8
12
17
25
32
40
进球频率
(1)计算并填写进球频率.
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少(精确到0.1)？
(3)这位运动员投篮十次，必定会投进八球吗？为什么？
【解】 (1)从左往右依次填：0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.8.
(2)进球的概率约为0.8.
(3)不一定.投十次篮相当于做10次试验，试验的结果是不确定的，因此投10次篮的结果也是不确定的.
8.一个盒中装有大小、外形一模一样的x颗
( http: / / www.21cnjy.com )白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率为.若再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠 4 颗.
【解】 ∵＝，∴x＋y＝3x，∴y＝2x.
∵＝，∴2x＋2y＋24＝3x＋36，
∴x＝2y－12.
又∵y＝2x，∴x＝4x－12，
∴－3x＝－12，∴x＝4.
9.一个口袋里有30个球，其中红球、黑球、黄
( http: / / www.21cnjy.com )球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验2000次，其中有1200次摸到黄球，600次摸到红球，由此估计袋中的红球比黑球多 6 个.
【解】 ∵试验2000次，其中有1200次摸到黄球，600次摸到红球，
∴摸到黄球的频率为＝，摸到红球的频率为＝，
∴估计袋中的黄球有30×＝18(个)，红球有30×＝9(个)，黑球有30－18－9＝3(个)，
∴红球比黑球多9－3＝6(个).
10.小强与小刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子(均匀立方体形状)试验，他们共抛了54次，出现不同向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率.
(2)小强说：“根据试验，一次试验中
( http: / / www.21cnjy.com )出现向上点数为5的概率最大.”小刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断小强和小刚说法的对错.
(3)如果小强与小刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
【解】 (1)向上点数为3的频率＝.
向上点数为5的频率＝＝.
(2)小强的说法不对；小刚的说法也不对.
向上点数为5的概率为；
如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数大约是540×＝90(次).
(3)列表如下：
小刚和小强
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表可知共有36种等可能的结果，其中和为3的倍数的有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)＝＝.
11.问题情景：某校数学学习小组在讨论
( http: / / www.21cnjy.com )“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷二枚均匀的硬币，可以有‘二正、一正一反、二反’三种情况，所以，P(一正一反)＝”.小颖反驳道：“这里的‘一正一反’实际上含有‘一正一反，一反一正’二种情况，所以P(一正一反)＝”.
(1)小颖的说法是正确的.
(2)为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正
一正一反
二反
小聪
24
50
26
小颖
24
47
29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？
(3)对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
【解】 (2)小聪得到的频率是0.50，
小颖得到的频率是0.47.
我得到“一正一反”的概率为.
(3)对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率.
12.一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正
( http: / / www.21cnjy.com )面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“車”字面朝上的频数
14
28
38
47
52
66
78
88
相应的频率
0.7
0.7
0.63
0.59
0.52
0.55
0.56
0.55
(第12题)
(1)请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中的剩余部分.
(2)如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的概率，请估计这个概率是多少？
【解】 (1)120×0.55＝66，88÷160＝0.55.
画折线统计图如解图：
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题解)
(2)根据表中数据，试验频率最后稳定在0.55左右，故估计这个概率是0.55.2.3
用频率估计概率
1.下列说法中，正确的个数是(C)
①不可能事件发生的概率为0.
②在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值.
③收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率.
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外
( http: / / www.21cnjy.com )完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为(B)
A.
12
B.
15
C.
18
D.
21
3.抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(A)
A.
0.56
B.
0.50
C.
0.44
D.
0.22
4.在一个不透明的口袋中，装有12个黄球和
( http: / / www.21cnjy.com )若干个红球，这些球除颜色外没有其他区别.小李通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在25%，则该口袋中红球的个数可能是 4
.
5.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
384
571
948
1902
2848
发芽的频率
0.960
0.947
0.960
0.952
0.948
0.951
0.949
那么这种油菜籽发芽的概率约为0.95(结果精确到0.01).
6.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率
( http: / / www.21cnjy.com )，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
(1)这种树苗成活的频率稳定在 0.9 ，成活的概率估计值为 0.9
.
(2)已知该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活 4.5 万棵.
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
【解】 ②18÷0.9＝20(万棵)，
20－5＝15(万棵).
∴还需移植这种树苗约15万棵.
7.某位篮球运动员在同样的条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数n
8
10
15
20
30
40
50
进球次数m
6
8
12
17
25
32
40
进球频率
(1)计算并填写进球频率.
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少(精确到0.1)？
(3)这位运动员投篮十次，必定会投进八球吗？为什么？
【解】 (1)从左往右依次填：0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.8.
(2)进球的概率约为0.8.
(3)不一定.投十次篮相当于做10次试验，试验的结果是不确定的，因此投10次篮的结果也是不确定的.
8.一个盒中装有大小、外形
( http: / / www.21cnjy.com )一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率为.若再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠 4 颗.
【解】 ∵＝，∴x＋y＝3x，∴y＝2x.
∵＝，∴2x＋2y＋24＝3x＋36，
∴x＝2y－12.
又∵y＝2x，∴x＝4x－12，
∴－3x＝－12，∴x＝4.
9.一个口袋里有30个球，其中红球、黑
( http: / / www.21cnjy.com )球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验2000次，其中有1200次摸到黄球，600次摸到红球，由此估计袋中的红球比黑球多 6 个.
【解】 ∵试验2000次，其中有1200次摸到黄球，600次摸到红球，
∴摸到黄球的频率为＝，摸到红球的频率为＝，
∴估计袋中的黄球有30×＝18(个)，红球有30×＝9(个)，黑球有30－18－9＝3(个)，
∴红球比黑球多9－3＝6(个).
10.小强与小刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子(均匀立方体形状)试验，他们共抛了54次，出现不同向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率.
(2)小强说：“根据试验，一次试验
( http: / / www.21cnjy.com )中出现向上点数为5的概率最大.”小刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断小强和小刚说法的对错.
(3)如果小强与小刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
【解】 (1)向上点数为3的频率＝.
向上点数为5的频率＝＝.
(2)小强的说法不对；小刚的说法也不对.
向上点数为5的概率为；
如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数大约是540×＝90(次).
(3)列表如下：
小刚和小强
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表可知共有36种等可能的结果，其中和为3的倍数的有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)＝＝.
11.问题情景：某校数学学习小组在
( http: / / www.21cnjy.com )讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷二枚均匀的硬币，可以有‘二正、一正一反、二反’三种情况，所以，P(一正一反)＝”.小颖反驳道：“这里的‘一正一反’实际上含有‘一正一反，一反一正’二种情况，所以P(一正一反)＝”.
(1)小颖的说法是正确的.
(2)为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正
一正一反
二反
小聪
24
50
26
小颖
24
47
29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？
(3)对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
【解】 (2)小聪得到的频率是0.50，
小颖得到的频率是0.47.
我得到“一正一反”的概率为.
(3)对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率.
12.一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕
( http: / / www.21cnjy.com )刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“車”字面朝上的频数
14
28
38
47
52
66
78
88
相应的频率
0.7
0.7
0.63
0.59
0.52
0.55
0.56
0.55
(第12题)
(1)请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中的剩余部分.
(2)如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的概率，请估计这个概率是多少？
【解】 (1)120×0.55＝66，88÷160＝0.55.
画折线统计图如解图：
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题解)
(2)根据表中数据，试验频率最后稳定在0.55左右，故估计这个概率是0.55.
