课题学习
有关正多边形的折纸
1.如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝35°，则∠2＝(
)
(第1题)
A.
65°
B.
55°
C.
45°
D.
35°
2.把一张正方形纸片按图①、图②对折两次后，再按图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是(
)
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(第2题)
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3.将正方形纸片ABCD按下图方式折叠两次，再沿MN剪开，则可得到(
)
(第3题)
A.
四个相同的正方形
B.
两个相同的正方形
C.
两个等腰直角三角形
D.
两个等腰直角三角形和两个正方形
4.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点D折叠到点D′的位置.若∠D′FC＝88°，则∠FED＝
.
(第4题)
5.动手折一折：将一张正
( http: / / www.21cnjy.com )方形纸片按下列图示对折3次得到图④，在AC边上取点D，使AD＝AB，沿虚线BD剪开，展开△ABD所在部分得到一个正多边形，则这个正多边形的一个内角的度数是
.
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(第5题)
6.一张正方形纸按如图所示的方式折叠后，构成的图形中的角x的度数是多少？
7.用折纸的方法可以直接剪出一个正五边形，折纸过程如图所示，则α等于(
)
(第7题)
A.
108°
B.
90°
C.
72°
D.
60°
8.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是
.
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(第8题)
9.如图，正方形ABCD沿EF折叠，点A与点H，点B与点G分别是对应点.求证：AK＋CG＝GK.
10.操作与探究：
(1)图①是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图所示的方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.求证：△CBE是等腰三角形.
(2)再将图①中的△CBE沿对称轴EF
( http: / / www.21cnjy.com )折叠(如图②).通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝隙无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”.你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕.
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(第10题)
(3)请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上.
(4)有一些特殊的四边形，如菱形，
( http: / / www.21cnjy.com )通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)，请你进一步探究：一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？课题学习
有关正多边形的折纸
1.如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1＝35°，则∠2＝(B)
(第1题)
A.
65°
B.
55°
C.
45°
D.
35°
2.把一张正方形纸片按图①、图②对折两次后，再按图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是(C)
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(第2题)
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3.将正方形纸片ABCD按下图方式折叠两次，再沿MN剪开，则可得到(A)
(第3题)
A.
四个相同的正方形
B.
两个相同的正方形
C.
两个等腰直角三角形
D.
两个等腰直角三角形和两个正方形
4.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点D折叠到点D′的位置.若∠D′FC＝88°，则∠FED＝44°
.
(第4题)
5.动手折一折：将一张正方形纸片按下列图
( http: / / www.21cnjy.com )示对折3次得到图④，在AC边上取点D，使AD＝AB，沿虚线BD剪开，展开△ABD所在部分得到一个正多边形，则这个正多边形的一个内角的度数是135°
.
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(第5题)
6.一张正方形纸按如图所示的方式折叠后，构成的图形中的角x的度数是多少？
(第6题)
【解】 ∵BO＝AB＝2BF，OF⊥BC，
∴∠BOF＝30°，
∴∠OBF＝60°，
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
∵∠ABE＝∠OBE，
∴∠OBE＝30°÷2＝15°，
∴x＝90°－15°＝75°.
7.用折纸的方法可以直接剪出一个正五边形，折纸过程如图所示，则α等于(B)
(第7题)
A.
108°
B.
90°
C.
72°
D.
60°
【解】 由折纸的步骤，得∠DOC＝180°÷5＝36°.
∵2∠ODC＝＝108°，∴∠ODC＝54°.
∴α＝36°＋54°＝90°.
8.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC
( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是50°
.
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(第8题)
【解】 连结BO.
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠ABO＝∠OAB＝25°.
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°.
∴∠OBC＝65°－25°＝40°.
在△ABO和△ACO中，
∵
∴△ABO≌△ACO(SAS).
∴BO＝CO.
∴∠OCB＝∠OBC＝40°.
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，
∴∠COE＝∠OCE＝40°，
∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°.
9.如图，正方形ABCD沿EF折叠，点A与点H，点B与点G分别是对应点.求证：AK＋CG＝GK.
(第9题)
【解】 如解图，在GK上截取GM＝GC，连结BG，BM，BK.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°.
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(第9题解)
由折叠的性质，得GF＝BF，∠KGF＝∠ABF＝90°，
∴∠FBG＝∠FGB(设为α).
∵∠BGC＝90°－α，∠BGM＝90°－α，
∴∠BGC＝∠BGM.
在△BMG与△BCG中，
∵
∴△BMG≌△BCG(SAS).
∴BM＝BC，∠BMG＝∠C＝90°.
∴AB＝BM.
又∵BK＝BK，
∴Rt△ABK≌Rt△MBK(HL).∴AK＝MK.
又∵CG＝MG，∴AK＋CG＝MK＋MG＝GK.
10.操作与探究：
(1)图①是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图所示的方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕.求证：△CBE是等腰三角形.
(2)再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠
( http: / / www.21cnjy.com )(如图②).通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝隙无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”.你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕.
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(第10题)
(3)请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上.
(4)有一些特殊的四边形，
( http: / / www.21cnjy.com )如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)，请你进一步探究：一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？
【解】 (1)∵△ABC是直角三角形，
∴∠ECB＝90°－∠DCE，∠B＝90°－∠A.
由折叠的性质，得∠DCE＝∠A，∴∠ECB＝∠B，
∴EC＝EB，即△CBE是等腰三角形.
(2)如解图①～③所示，可选择三种折法中的任意一种.
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(第10题解)
(3)画出的斜三角形必须有一条边与该边上的高相等，如解图④所示(答案不唯一).
(4)一个非特殊的四边形的两条对角线互相垂直时，一定能折成组合矩形.
