3.1
圆(二)
1.有下列四个命题：①圆的对称轴是直径
( http: / / www.21cnjy.com )；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中真命题有(C)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
(第2题)
2.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)
A.
△ABE
B.
△ACF
C.
△ABD
D.
△ADE
3.如果直角三角形的两直角边长分别为和1，那么它的外接圆直径是(B)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
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(第4题)
4.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图
( http: / / www.21cnjy.com )所示(网格中的每个小正方形的边长均为1)的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是(B)
A.
2
B.
C.
2
D.
3
5.如果等边三角形的外接圆的直径为2，那么它的边长为 3
.
6.如果线段AB的长为8
cm，那么经过A，B两点的最小的圆的半径为 4 cm.
7.如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小
( http: / / www.21cnjy.com )正方形网格格点A，B，C，点A的坐标是(－3，5)，则该圆弧所在的圆的圆心坐标是(－1，0)
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
8.在平面直角坐标系中，以点P(1，1)为圆心，为半径作圆，求该圆与y轴的交点坐标.
【解】 设该圆与y轴的交点坐标为(0，a).
由题意，得(0－1)2＋(1－a)2＝()2，
解得a1＝3，a2＝－1.
∴该圆与y轴的交点坐标为(0，3)或(0，－1).
9.已知直线l：y＝x－2和点A(0，－2)，B(－1，－3)，试判断直线l上是否存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上？为什么？
【解】 不存在.理由：∵点A，B均在直线l上，
又∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，
∴不存在.
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(第10题)
10.如图，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？
【解】 当以AB为一腰时，有两个等腰
( http: / / www.21cnjy.com )三角形可以作：分别以A，B两点为圆心，AB长为半径画弧交圆于C，D两点(如图).△ABC和△ABD就是所求作的三角形.
当以AB为底边时，有两个等腰三角形可以作：作AB的垂直平分线交圆于E，F两点(如图).△ABE和△ABF就是所求作的三角形.
∴这样的三角形能作4个.
11.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，求△ABC的面积.
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(第11题解)
【解】 如解图所示，存在两种情况：
①当△ABC为△A1BC时，连结OB，OC，设OA1与BC相交于点D.
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2.
又∵A1B＝A1C，OA1⊥BC，
∴CD＝BC＝1，∴OD＝＝，
∴A1D＝2－，
∴S△A1BC＝＝＝2－.
②当△ABC为△A2BC时，同理可得S△A2BC＝＝＝2＋.
综上所述，△ABC的面积为2－或2＋.
12.如图①，已知⊙O的半径为1，PQ
( http: / / www.21cnjy.com )是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点……最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在圆上.
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(第12题)
(1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a1.
(2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a2.
(3)如图①，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示).
【解】 (1)易知△A1B1C1的高为，则边长为，
∴a1＝.
(2)设△A1B1C1的高为h，则A2O＝1－h，连结B2O，设B2C2与PQ交于点F，则有OF＝2h－1.
∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋.
∵h＝a2，∴1＝(a2－1)2＋a22，
解得a2＝.
(3)同(2)，连结BnO，设BnCn与PQ交于点F，则有BnO2＝OF2＋BnF2，
即1＝(nh－1)2＋.
∵h＝an，∴1＝an2＋，
解得an＝.第3章
圆的基本性质
3.1
圆（一）
1.已知⊙O的直径为4，点P到圆心O的长度OP为4，则点P与⊙O的位置关系为(C)
A.
点P在⊙O上
B.
点P在⊙O内
C.
点P在⊙O外
D.
不确定
2.有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆.其中正确的有(C)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3.到圆心的距离不大于半径的所有点必在(D)
A.
圆的外部
B.
圆的内部
C.
圆上
D.
圆的内部或圆上
4.在一个三角形中，已知AB＝AC＝6
( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC＝8
cm，D是BC的中点，以点D为圆心作一个半径为5
cm的圆，则下列说法中，正确的是(C)
A.
点A在⊙D外
B.
点B在⊙D上
C.
点C在⊙D内
D.
点A在⊙D上
(第5题)
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com )AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是AB上的高和中线.如果⊙A是以点A为圆心，半径为2的圆，那么下列判断中，正确的是(C)
A.
点P，M均在⊙A内
B.
点P，M均在⊙A外
C.
点P在⊙A内，点M在⊙A外
D.
以上选项都不正确
6.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD至点E，使DE＝CD，则点E的位置是在⊙O 上
.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题)
7.如图，已知OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：∠A＝∠B.
【解】 ∵OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，∴OD＝OC.
又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC.
∴∠A＝∠B.
8.在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3
( http: / / www.21cnjy.com )，
点P在边AB上，且BP＝3AP.如果⊙P是以点P
为圆心，PD长为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)
A.
点B，C均在⊙P外
B.
点B在⊙P外，点C在⊙P内
C.
点B在⊙P内，点C在⊙P外
D.
点B，C均在⊙P内
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(第8题解)
【解】 如解图，∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6.
∴CP＝＝＝9，DP＝＝＝7.
∵PB＝6＜7，PC＝9＞7，
∴点B在⊙P内，点C在⊙P外.
9.如图，在网格中(每个小
( http: / / www.21cnjy.com )正方形的边长均为1个单位)选取9个格点.如果以点A为圆心，r为半径作圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(B)
A.
2
＜r≤
B.
＜r≤3
C.
＜r≤5
D.
5＜r≤
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(第9题)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题解)
【解】 如解图.
∵AD＝2
，AE＝AF＝，AB＝3
，
∴AB＞AE＝AF＞AD，
∴当＜r≤3
时，以点A为圆心，r为半径作圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.
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(第10题)
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝4
( http: / / www.21cnjy.com )，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3.
【解】 连结BD.
在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5.
由图可知3＜r＜5.
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(第11题)
11.如图，已知⊙P的圆心为P(－2，0)，与x轴有公共点(－6，0)，(2，0).
(1)求⊙P的半径.
(2)求A，B两点的坐标.
【解】 (1)由题意，得⊙P的直径为2－(－6)＝8，
∴⊙P的半径为4.
(2)连结PA.在Rt△APO中，
AO＝＝＝2
.
同理，BO＝2
.∴点A(0，2
)，B(0，－2).
12.如图①，⊙O的半径为r(r>
( http: / / www.21cnjy.com )0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8.若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
（第12题）
【解】 设OA交⊙O于点C，连结A′B，BC.
∵OA′·OA＝42，OA＝8，∴OA′＝2.
∵OB′·OB＝42，OB＝4，
∴OB′＝4，∴点B和点B′重合.
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形.
又∵OA′＝A′C＝2，∴B′A′⊥OC，
∴A′B′＝＝2
.3.1
圆(二)
1.有下列四个命题：①圆的对称轴是直径；②
( http: / / www.21cnjy.com )经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中真命题有(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
(第2题)
2.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(
)
A.
△ABE
B.
△ACF
C.
△ABD
D.
△ADE
3.如果直角三角形的两直角边长分别为和1，那么它的外接圆直径是(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )(网格中的每个小正方形的边长均为1)的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
( http: / / www.21cnjy.com )(第7题)
A.
2
B.
C.
2
D.
3
5.如果等边三角形的外接圆的直径为2，那么它的边长为
.
6.如果线段AB的长为8
cm，那么经过A，B两点的最小的圆的半径为
cm.
7.如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小
( http: / / www.21cnjy.com )正方形网格格点A，B，C，点A的坐标是(－3，5)，则该圆弧所在的圆的圆心坐标是(
)
.
8.在平面直角坐标系中，以点P(1，1)为圆心，为半径作圆，求该圆与y轴的交点坐标.
9.已知直线l：y＝x－2和点A(0，－2)，B(－1，－3)，试判断直线l上是否存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上？为什么？
10.如图，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？
11.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，求△ABC的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
12.如图①，已知⊙O的半径
( http: / / www.21cnjy.com )为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点……最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在圆上.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第12题)
(1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a1.
(2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a2.
(3)如图①，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示).第3章
圆的基本性质
3.1
圆（一）
1.已知⊙O的直径为4，点P到圆心O的长度OP为4，则点P与⊙O的位置关系为(
)
A.
点P在⊙O上
B.
点P在⊙O内
C.
点P在⊙O外
D.
不确定
2.有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆.其中正确的有(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3.到圆心的距离不大于半径的所有点必在(
)
A.
圆的外部
B.
圆的内部
C.
圆上
D.
圆的内部或圆上
4.在一个三角形中，已知AB＝AC＝6
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cm，BC＝8
cm，D是BC的中点，以点D为圆心作一个半径为5
cm的圆，则下列说法中，正确的是(
)
A.
点A在⊙D外
B.
点B在⊙D上
C.
点C在⊙D内
D.
点A在⊙D上
(第5题)
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90
( http: / / www.21cnjy.com )°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是AB上的高和中线.如果⊙A是以点A为圆心，半径为2的圆，那么下列判断中，正确的是(
)
A.
点P，M均在⊙A内
B.
点P，M均在⊙A外
C.
点P在⊙A内，点M在⊙A外
D.
以上选项都不正确
6.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD至点E，使DE＝CD，则点E的位置是在⊙O
.
7.如图，已知OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：∠A＝∠B.
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8.在矩形ABCD中，AB＝8，B
( http: / / www.21cnjy.com )C＝3
，
点P在边AB上，且BP＝3AP.如果⊙P是以点P
为圆心，PD长为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)
A.
点B，C均在⊙P外
B.
点B在⊙P外，点C在⊙P内
C.
点B在⊙P内，点C在⊙P外
D.
点B，C均在⊙P内
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9.如图，在网格中(每个小正方形的边长均
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)
A.
2
＜r≤
B.
＜r≤3
C.
＜r≤5
D.
5＜r≤
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是
.
11.如图，已知⊙P的圆心为P(－2，0)，与x轴有公共点(－6，0)，(2，0).
(1)求⊙P的半径.
(2)求A，B两点的坐标.
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12.如图①，⊙O的半径为r(r>0)
( http: / / www.21cnjy.com )，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8.若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
