3.2
图形的旋转
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
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2.对下列生活现象的解释，其数学原理运用错误的是(
)
A.
把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B.
木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C.
将自行车的车架设计为三角形是运用了“三角形的稳定性”的原理
D.
将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
3.如图，将一把含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角尺ABC旋转的角度是(
)
A.
60°
B.
90°
C.
120°
D.
150°
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(第3题)
(第4题)
(第5题)
4.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为(
)
A.
45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
5.如图，将等边三角形ABC绕点C顺时针旋
( http: / / www.21cnjy.com )转120°得到△EDC，连结AD，BD.有下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
6.如图，△ABC的顶点坐标
( http: / / www.21cnjy.com )为A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点.
(1)求过点B′的反比例函数的表达式.
(2)求线段CC′的长.
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7.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB
( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB∥x轴，OB＝2，反比例函数y＝经过点B.将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
(1)求点B的坐标和反比例函数的表达式.
(2)判断点C是否在反比例函数的图象上，并说明理由.
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8.如图，已知菱形OABC的顶点O(0
( http: / / www.21cnjy.com )，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60
s时，菱形的对角线交点D的坐标为(
)
A.
(1，－1)
B.
(－1，－1)
C.
(，0)
D.
(0，－)
9.在如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是(B)
A.
点A
B.
点B
C.
点C
D.
点D
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( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
(第9题)
(第10题)
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°.若AE＝10，求CE的长.
11.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC
( http: / / www.21cnjy.com )＝5，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连结BD，BE.
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(第11题)
(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.
①求证：△ABD是等边三角形.
②求证：BF⊥AD，AF＝DF.
(2)在旋转过程中，过点D作DG⊥AB，垂足
( http: / / www.21cnjy.com )为G，连结CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值.
12.如图，P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为
.3.2
图形的旋转
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
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2.对下列生活现象的解释，其数学原理运用错误的是(B)
A.
把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B.
木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C.
将自行车的车架设计为三角形是运用了“三角形的稳定性”的原理
D.
将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
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(第3题)
3.如图，将一把含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角尺ABC旋转的角度是(D)
A.
60°
B.
90°
C.
120°
D.
150°
4.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为(B)
A.
45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
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(第4题)
(第5题)
5.如图，将等边三角形ABC绕点C顺时针
( http: / / www.21cnjy.com )旋转120°得到△EDC，连结AD，BD.有下列结论：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是(D)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
6.如图，△ABC的顶点坐标为A(－2，3
( http: / / www.21cnjy.com ))，B(－3，1)，C(－1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题)
(1)求过点B′的反比例函数的表达式.
(2)求线段CC′的长.
【解】 (1)根据旋转的性质得，
点B的对应点B′的坐标为(1，3).
设过点B′的反比例函数的表达式为y＝，
则k＝3×1＝3，
∴过点B′的反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵点C(－1，2)，∴OC＝＝.
∵△ABC以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，
∴OC′＝OC＝，∠COC′＝90°，
∴CC′＝＝.
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(第7题)
7.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝9
( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB∥x轴，OB＝2，反比例函数y＝经过点B.将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
(1)求点B的坐标和反比例函数的表达式.
(2)判断点C是否在反比例函数的图象上，并说明理由.
【解】 (1)∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOD.
∵∠ABO＝∠CBD，
∴∠BOD＝∠OBD，∴BD＝OD.
又∵OB＝BD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°.
设AB与y轴相交于点E，则∠BOE＝30°.
∵OB＝2，∴BE＝1，∴OE＝，
∴点B(1，).
∵反比例函数y＝经过点B，
∴k＝1×＝.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)点C在反比例函数的图象上.理由如下：
∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠A＝30°，∴AB＝2OB.
∵AB＝BC，∴BC＝2OB.
∴OC＝OB.
∴点C(－1，－).
∵－1×(－)＝，
∴点C在反比例函数的图象上.
8.如图，已知菱形OABC
( http: / / www.21cnjy.com )的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60
s时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)
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(第8题)
A.
(1，－1)
B.
(－1，－1)
C.
(，0)
D.
(0，－)
【解】 ∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，
∴点D的坐标为(1，1).
∵每秒旋转45°，∴第60
s时，共旋转45×60＝2700(度)，2700÷360＝7.5(周)，
∴OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1).
9.在如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是(B)
A.
点A
B.
点B
C.
点C
D.
点D
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(第9题)
(第9题解)
【解】 如解图，连结PP1，MM1，作PP1，MM1的垂直平分线，两条垂直平分线刚好交于点B，即旋转中心就是点B.
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(第10题)
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°.若AE＝10，求CE的长.
【解】 过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于点F.
∵AD∥BC，∠D＝90°，且BC＝CD，
∴四边形BCDF为正方形.
将△BAF绕点B逆时针旋转90°至△BMC.
∵∠ABE＝45°，∴∠ABF＋∠CBE＝45°.
∴∠CBE＋∠MBC＝45°，即∠MBE＝45°.
在△ABE与△MBE中，
∵
∴△ABE≌△MBE(SAS).
∴AE＝ME＝EC＋MC＝EC＋AF.
设EC＝x，则AF＝10－x，AD＝12－(10－x)＝x＋2，DE＝12－x.
在Rt△ADE中，∵AD2＋DE2＝AE2，
∴(x＋2)2＋(12－x)2＝102，
∴x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.
∴CE的长为4或6.
11.在△ABC中，AB＝6，AC＝B
( http: / / www.21cnjy.com )C＝5，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连结BD，BE.
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(第11题)
(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.
①求证：△ABD是等边三角形.
②求证：BF⊥AD，AF＝DF.
(2)在旋转过程中，过点D作DG⊥
( http: / / www.21cnjy.com )AB，垂足为G，连结CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值.
【解】 (1)①∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形.
②由①得△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD.
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴AC＝AE，BC＝DE.
又∵AC＝BC，∴EA＝ED，
∴点B，E在AD的中垂线上，
∴BE是AD的中垂线.
∵点F在BE的延长线上，
∴BF⊥AD，AF＝DF.
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(第11题解)
(2)如解图.
∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°.
又∵∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴BC∥AE.
又∵AE＝AC＝BC，
∴四边形AEBC是菱形，∴CE⊥AB，BH＝AB
＝3，BE＝BC＝5，
∴CE＝2CH＝2×＝8，
∴BE＋CE＝13.
12.如图，P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为
.
(第12题)
【解】 把△ABP绕点B顺时针旋转90°，到△CBQ的位置，连结PQ.
∵△CBQ由△ABP旋转90°得到，
∴PB＝QB，∠PBQ＝90°.
∴△PBQ是等腰直角三角形.
∵PB＝，
∴PQ＝＝2.
易得∠BPQ＝45°，
∴∠CPQ＝135°－45°＝90°，
即△PCQ是直角三角形.
∴AP＝CQ＝＝＝.
