3.3
垂径定理（二）
1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点M，有下列结论：①CM
＝DM；②AC＝AD；③＝；④∠C＝∠D.其中成立的有(
)
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(第1题)
(第4题)
(第5题)
A.
1个 B.
2个
C.
3个 D.
4个
2.给出下列命题：
①垂直于弦的直径平分这条弦.
②平分弦的直径也平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线必平分弦所对的弧.
④平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦.
其中正确的命题有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.一条弦把一条直径分成2
cm和6
cm长的两条线段，如果弦和直径相交成30°角，那么圆心到这条弦的距离是(
)
A.
1
cm
B.
cm
C.
4
cm
D.
6
cm
4.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是
.
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径R.
6.如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点分别为M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM.
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7.如图，有两条公路OM，
( http: / / www.21cnjy.com )ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80
m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50
m为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18
km/h.
(1)求噪声对学校A的影响最大时卡车P与学校A的距离.
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶时给学校A带来噪声影响的时间.
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8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16
cm2，则该半圆的半径为(
)
(第8题)
A.
(4＋)cm
B.
9
cm
C.
4
cm
D.
6cm
9.如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C.已知⊙O的半径为4
cm，MN＝4
cm.则∠ACM的度数为
.
(第9题)
10.已知⊙O的半径为2，弦BC＝2
，A是⊙O上一点，且＝，直线AO与BC交于点D，则AD的长为
.
11.一拱形桥所在弧的水上部分如图所示，∠
( http: / / www.21cnjy.com )AOB＝120°，半径OA＝OB＝5
m.一艘6
m宽的船装载着一集装箱，已知箱顶宽3.2
m，且高出水面AB2
m，问：此船能过桥洞吗？请说明理由.
12.如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条
( http: / / www.21cnjy.com )弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧.若点P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值.
( http: / / www.21cnjy.com )3.3
垂径定理（二）
1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点M，有下列结论：①CM
＝DM；②AC＝AD；③＝；④∠C＝∠D.其中成立的有(D)
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(第1题)
A.
1个 B.
2个
C.
3个 D.
4个
2.给出下列命题：
①垂直于弦的直径平分这条弦.
②平分弦的直径也平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线必平分弦所对的弧.
④平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦.
其中正确的命题有(B)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.一条弦把一条直径分成2
cm和6
cm长的两条线段，如果弦和直径相交成30°角，那么圆心到这条弦的距离是(A)
A.
1
cm
B.
cm
C.
4
cm
D.
6
cm
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(第4题)
4.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是
.
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径R.
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(第5题)
(第5题解)
【解】 如解图，连结OA，OB，OC，OA交BC于点D.
∵OA＝OB＝OC，AB＝AC，
∴△OAB≌△OAC(SSS).∴∠OAB＝∠OAC.
∴OA⊥BC.∴BD＝CD＝BC＝12.
在Rt△ABD中，AD＝＝5.
在Rt△BOD中，OB2＝BD2＋OD2，
即R2＝122＋(R－5)2，解得R＝16.9.
6.如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点分别为M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM.
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(第6题)
(第6题解)
【解】 如解图，连结OM，ON.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°.
∵AB＝CD，∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM.
∴∠AMO－∠OMN＝∠CNO－∠ONM，
即∠AMN＝∠CNM.
7.如图，有两条公路OM，ON相交成3
( http: / / www.21cnjy.com )0°角，沿公路OM方向离O点80
m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50
m为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18
km/h.
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(第7题)
(1)求噪声对学校A的影响最大时卡车P与学校A的距离.
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶时给学校A带来噪声影响的时间.
【解】 (1)如解图，过点A作AD⊥ON于点D.
∵∠NOM＝30°，AO＝80
m，
∴AD＝40
m，
即噪声对学校A的影响最大时卡车P与学校A的距离为40
m.
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(第7题解)
(2)如解图，以50
m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，连结AB，则AB＝50
m.
∵AD⊥ON，AD＝40
m，
∴BC＝2BD＝2×＝60(m).
∵18
km/h＝5
m/s，
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为60÷5＝12(s).
8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16
cm2，则该半圆的半径为(C)
(第8题)
A.
(4＋)cm
B.
9
cm
C.
4
cm
D.
6cm
【解】 设OD＝x(cm)，则CD＝2x(cm).
连结OC，OF.
∵小正方形的面积为16
cm2，
∴DE＝EF＝4
cm.
在Rt△COD和Rt△OEF中，
OC2＝OD2＋CD2＝5x2，
OF2＝OE2＋EF2＝(x＋4)2＋42，
∴5x2＝(x＋4)2＋42，
解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去).
∴OC＝＝4(cm).
9.如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C.已知⊙O的半径为4
cm，MN＝4
cm.则∠ACM的度数为 60°
.
(第9题)
【解】 连结OM，过点O作OD⊥MN于点D.
∵OD⊥MN，
∴MD＝MN＝2
cm.
在Rt△ODM中，∵OM＝4
cm，MD＝2
cm，
∴OD＝＝2
cm，
∴∠OMD＝30°.
∵M是的中点，∴OM⊥AB.
∴∠ACM＝90°－∠OMD＝60°.
10.已知⊙O的半径为2，弦BC＝2
，A是⊙O上一点，且＝，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3
.
【解】 ∵⊙O的半径为2，弦BC＝2
，A是⊙O上一点，且＝，
∴AD⊥BC，∴BD＝BC＝.
分两种情况讨论：
①如解图①所示，连结OB.
在Rt△OBD中，BD2＋OD2＝OB2，
即()2＋OD2＝22，解得OD＝1.
∴AD＝OA－OD＝2－1＝1.
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(第10题解)
②如解图②所示，连结OB.
同理于①，得AD＝OA＋OD＝2＋1＝3.
(第11题)
11.一拱形桥所在弧的水上部分如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )，∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝5
m.一艘6
m宽的船装载着一集装箱，已知箱顶宽3.2
m，且高出水面AB2
m，问：此船能过桥洞吗？请说明理由.
(第11题解)
【解】 能.理由如下：
如解图，设点C为拱顶，点E，F在圆弧上，
( http: / / www.21cnjy.com )EF＝3.2
m，且EF∥AB，连结OC交AB于点D，交EF于点G，连结OA，OB，OF，则OC⊥AB，OC⊥EF，＝.
∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，
∴DO＝BO＝2.5
m，BD＝＝
m.
∴AB＝2BD＝5
m>6
m.
∵FG＝1.6
m，OF＝5
m，
∴OG＝≈4.7
m.
∴DG＝OG－OD≈2.2
m>2
m.
∴箱顶在EF下方，∴此船能过桥洞.
12.如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条
( http: / / www.21cnjy.com )弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧.若点P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值.
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(第12题)
【解】 如解图，连结AD，过点D作DH⊥AB于点H.
∵MN是直径，CD⊥MN，
∴点C，D关于MN对称，
∴PC＝PD.
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(第12题解)
∴当P为AD与MN的交点时，PA＋PC的值最小.
连结AO，CO.
∵AB⊥MN于点E，
∴AE＝AB＝4.
又∵AO＝5，
∴EO＝＝3.
同理，CF＝DF＝3，可求得OF＝4.∴EF＝7.
由DH⊥AB，易知DH＝EF＝7，EH＝DF＝3，
∴AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.
在Rt△AHD中，∵AH＝DH＝7，
∴AD＝＝7
.
∴PA＋PC的最小值为7
.3.3
垂径定理（一）
1.如图，AB是半圆的直
( http: / / www.21cnjy.com )径，点O是圆心，C是半圆上的一点，连结AC，过点O作OE⊥AC交于点E，交弦AC于点D.若AC＝8
cm，DE＝2
cm，则OD的长为
cm.
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(第1题)
(第2题)
2.如图，该桥可近似地看成是圆弧形，若桥跨度AB约为40
m，主拱高CD约为10
m，则桥弧AB所在圆的半径约为
.
3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为(
)
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
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(第3题)
(第4题)
4.如图，在半径为5
cm的⊙O中，弦AB＝6
cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(
)
A.
3
cm
B.
4
cm
C.
5
cm
D.
6
cm
5.在⊙O中，弦AB垂直平分一条半径，则该弦的长是半径的(
)
A.
倍
B.
倍
C.
2倍
D.
倍
6.如图，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE＝6
cm，EB＝2
cm，∠CEA＝30°，求CD的长.
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7.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论.
(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径r.
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8.如图，在平面直角坐标系中，以点O为
( http: / / www.21cnjy.com )圆心，5个单位长为半径画圆，AB是⊙O的弦，点A刚好在x轴的正半轴上，点B在第一象限，过点O作OM⊥AB于点M.若AB＝6，则点M的坐标为(
)
A.
(3.2，2)
B.
(4.8，2)
C.
(4.8，2.4)
D.
(3.2，2.4)
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(第8题)
(第9题)
(第10题)
9.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y＝(x<0)的图象过点P，则k的值为
.
10.如图，⊙O的半径是，△ABC是
( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，连结EF.若OG＝1，求EF的长.
11.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求BD的长.
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12.某施工工地安放了一个圆柱形饮
( http: / / www.21cnjy.com )水桶的木制支架，示意图如图①所示，若不计木条的厚度，则该木制支架从上往下看到的图形如图②所示，已知AD垂直平分BC，AD＝BC＝48
cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是多少？3.3
垂径定理（一）
1.如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，
( http: / / www.21cnjy.com )C是半圆上的一点，连结AC，过点O作OE⊥AC交于点E，交弦AC于点D.若AC＝8
cm，DE＝2
cm，则OD的长为 3 cm.
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(第1题)
(第2题)
2.如图，该桥可近似地看成是圆弧形，若桥跨度AB约为40
m，主拱高CD约为10
m，则桥弧AB所在圆的半径约为 25
m.
3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为(C)
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
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(第3题)
(第4题)
4.如图，在半径为5
cm的⊙O中，弦AB＝6
cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B)
A.
3
cm
B.
4
cm
C.
5
cm
D.
6
cm
5.在⊙O中，弦AB垂直平分一条半径，则该弦的长是半径的(B)
A.
倍
B.
倍
C.
2倍
D.
倍
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(第6题)
6.如图，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE＝6
cm，EB＝2
cm，∠CEA＝30°，求CD的长.
【解】 过点O作OF⊥CD于点F，连结OC.
∵AE＝6
cm，EB＝2
cm，
∴AB＝8
cm，
∴OA＝AB＝4
cm，OE＝AE－OA＝2
cm.
在Rt△OEF中，∵∠CEA＝30°，
∴OF＝OE＝1
cm.
在Rt△CFO中，∵OF＝1
cm，OC＝OA＝4
cm，
∴CF＝＝
cm.
∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴CD＝2CF＝2
cm.
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(第7题)
7.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论.
(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径r.
【解】 (1)如BE＝CE，＝，∠BED＝90°，△BOD是等腰三角形等.
(2)∵OD⊥BC，BC＝8，∴BE＝4.
在Rt△OBE中，由勾股定理，得
OB2＝BE2＋OE2，
∴r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5.
8.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心
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(第8题)
A.
(3.2，2)
B.
(4.8，2)
C.
(4.8，2.4)
D.
(3.2，2.4)
【解】 ∵OM⊥AB，AB＝6，∴AM＝AB＝3.
∵OA＝5，∴OM＝＝4.
过点M作MC⊥x轴于点C.
由三角形面积公式，得
MC＝＝2.4，
∴OC＝＝3.2，
∴点M(3.2，2.4).
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(第9题)
9.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，函数y＝(x<0)的图象过点P，则k的值为28
.
【解】 过点P作PA⊥MN于点A，连结PM，PN.
∵点M(0，－4)，N(0，－10)，∴MN＝6.
∵PA⊥MN，
∴MA＝MN＝3，∴OA＝|－4|＋3＝7.
在Rt△MPA中，PA＝＝4，
∴点P(－4，－7).
将点P(－4，－7)的坐标代入y＝，得k＝28.
10.如图，⊙O的半径是，△ABC是⊙O
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(第10题)
(第10题解)
【解】 如解图，连结OA.
∵OG⊥AC，OA＝，
OG＝1，
∴AG＝＝2，
∴AC＝2AG＝4.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE＝EB，BF＝FC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝2.
11.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求BD的长.
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(第11题)
(第11题解)
【解】 如解图，过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝30°.
在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴CE＝BC＝1，∴BE＝CE＝.
∵CE⊥BD，∴BD＝2BE＝2
.
12.某施工工地安放了一个
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cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是多少？
(第12题)
【解】 过A，B，C三点作△ABC的外接圆⊙O，连结OB，如解图所示.
(第12题解)
当⊙O为△ABC的外接圆时，圆柱形饮水桶的底面半径最大.
∵AD垂直平分BC，AD＝BC＝48
cm，
∴点O在AD上，BD＝BC＝24
cm.
在Rt△OBD中，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝48－r.
由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，
∴r2＝(48－r)2＋242，解得r＝30，
即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是30
cm.
