3.4
圆心角（一）
1.如图，点O为圆心，∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数为(A)
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(第1题)
A.
20°
B.
40°
C.
60°
D.
80°
2.已知弦AB把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为(C)
A.
30°
B.
30°或150°
C.
60°
D.
60°或300°
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(第3题)
3.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，∠BAC＝20°，则∠BOC等于(C)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
4.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，若∠AOD＝140°，则的度数为(C)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
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(第4题)
(第5题)
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为50°
.
6.如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证：＝.
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(第6题)
【解】 连结OD，OE.
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
∵OA＝OD＝OE＝OB，
∴∠ODA＝∠A＝∠B＝∠OEB.
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
(第7题)
7.如图，已知AB是⊙O的直径，OE⊥AB，D是OE的中点，且CD∥AB.求证：＝.
【解】 连结OC，CE.
∵CD∥AB，OE⊥AB，
∴CD⊥OE.
又∵D是OE的中点，
∴CE＝CO＝OE，
∴△COE为正三角形，
∴∠COE＝60°，∴＝60°.
∵∠AOC＝∠AOE－∠COE＝30°，
∴＝30°.∴＝.
8.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(C)
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(第8题)
A.
120°
B.
135°
C.
150°
D.
165°
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(第8题解)
【解】 如解图，连结BO，过点O作OF⊥AB于点E，交于点F.
易得OF＝OB，EO＝EF＝OF，
∴EO＝OB.
∴∠EBO＝30°.
∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠EBO＝30°.
∴∠BOC＝150°，即的度数是150°.
9.如图，在⊙O中，C是的中点，点D，E分别在半径OA和OB上，且AD＝BE.求证：CD＝CE.
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(第9题)
(第9题解)
【解】 如解图，连结OC.
在⊙O中，∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE.
在△COD与△COE中，
∵
∴△COD≌△COE(SAS).∴CD＝CE.
10.如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝CD.
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(第10题)
(第10题解)
【解】 如解图，连结AC.
∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝30°，∴AC＝CD.
又∵OA＝OC，∴∠ACE＝＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝45°，
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，
∴AE＝CD.
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(第11题)
11.如图，P为⊙O的直径EF延长线上的一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，∠1＝∠2.求证：PB＝PD.
【解】 连结OB，OD，过点O作OM⊥AP于点M，ON⊥CP于点N，
则∠OMP＝∠ONP＝90°.
又∵∠1＝∠2，OP＝OP，
∴△OMP≌△ONP(AAS).
∴MP＝NP，OM＝ON.
∴MB＝＝＝ND.
∴MP－MB＝NP－ND，即PB＝PD.
12.如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，连结AB.
(1)求证：AB平分∠OAC.
(2)延长OA至点P，使得OA＝AP，连结PC.若⊙O的半径R＝1，求PC的长.
(第12题)
【解】 (1)连结OC.
∵∠AOB＝120°，C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC.
同理，OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形AOBC是菱形，
∴AB平分∠OAC.
(2)由(1)知OA＝AC，
又∵OA＝AP，∴AP＝AC＝OA，
∴∠PCO＝90°.
∴PC＝＝.3.4
圆心角（一）
1.如图，点O为圆心，∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数为(
)
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(第1题)
A.
20°
B.
40°
C.
60°
D.
80°
2.已知弦AB把圆周分成1∶5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为(
)
A.
30°
B.
30°或150°
C.
60°
D.
60°或300°
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(第3题)
3.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，∠BAC＝20°，则∠BOC等于(
)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
4.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，若∠AOD＝140°，则的度数为(
)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
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(第4题)
(第5题)
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，
( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝25°，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为
.
6.如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证：＝.
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7.如图，已知AB是⊙O的直径，OE⊥AB，D是OE的中点，且CD∥AB.求证：＝.
8.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(
)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题)
A.
120°
B.
135°
C.
150°
D.
165°
9.如图，在⊙O中，C是的中点，点D，E分别在半径OA和OB上，且AD＝BE.求证：CD＝CE.
( http: / / www.21cnjy.com )
10.如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝CD.
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11.如图，P为⊙O的直径EF延长线上的一点，PA交⊙O于点B，A，PC交⊙O于点D，C，∠1＝∠2.求证：PB＝PD.
( http: / / www.21cnjy.com )
12.如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，连结AB.
(1)求证：AB平分∠OAC.
(2)延长OA至点P，使得OA＝AP，连结PC.若⊙O的半径R＝1，求PC的长.3.4
圆心角（二）
1.已知下列命题：①若a＞b
( http: / / www.21cnjy.com )，则c－a＜c－b；②若a＞0，则＝a；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(
)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
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(第2题)
2.如图，点O是两个同心圆的圆心，大圆
( http: / / www.21cnjy.com )的半径OA，OB分别交小圆于点C，D.给出下列结论：①＝；②AB＝CD；③的度数＝的度数.其中正确的结论有(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3.已知内接于⊙O的等边三角形ABC的边长是2，则⊙O的半径为(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4.如图，AB是所对的弦，AB的中垂
( http: / / www.21cnjy.com )线CD交于点C，交AB于点D，AD的中垂线EF交于点E，交AB于点F，DB的中垂线GH交于点G，交AB于点H，则下列结论中，不正确的是(
)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
EF＝GH
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( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
(第5题)
5.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，
( http: / / www.21cnjy.com )OE⊥AB，OF⊥CD.若∠AOB＝∠COD，则AB＝
，OE＝
，＝
.
6.如图，在⊙O中，＝2，则线段AB
2AC(填“>”“<”或“＝”).
(第6题)
7.如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.求证：＝.
8.如图，AB，CD为⊙O的直径，＝.求证：BD＝CE.
9.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于点P，且OP＝PC，则与之间的关系为
.
(第9题)
10.如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任取一点作弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB.求证：PA＝PB.
( http: / / www.21cnjy.com )
11.如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若∠BED＝60°，EO＝2，求BE－AE的值.
12.如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若的度数为96°，的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值.
( http: / / www.21cnjy.com )3.4
圆心角（二）
1.已知下列命题：①若a
( http: / / www.21cnjy.com )＞b，则c－a＜c－b；②若a＞0，则＝a；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(D)
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
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(第2题)
2.如图，点O是两个同心圆的圆心，大圆
( http: / / www.21cnjy.com )的半径OA，OB分别交小圆于点C，D.给出下列结论：①＝；②AB＝CD；③的度数＝的度数.其中正确的结论有(B)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3.已知内接于⊙O的等边三角形ABC的边长是2，则⊙O的半径为(B)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4.如图，AB是所对的弦，AB的中垂
( http: / / www.21cnjy.com )线CD交于点C，交AB于点D，AD的中垂线EF交于点E，交AB于点F，DB的中垂线GH交于点G，交AB于点H，则下列结论中，不正确的是(C)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
EF＝GH
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( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题)
(第5题)
5.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD.若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，OE＝OF，＝
.
6.如图，在⊙O中，＝2，则线段AB < 2AC(填“>”“<”或“＝”).
(第6题)
7.如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.求证：＝.
(第7题)
【解】 连结AF.
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF.
∴∠GAE＝∠EAF.∴＝.
8.如图，AB，CD为⊙O的直径，＝.求证：BD＝CE.
(第8题)
【解】 连结AC.
∵＝，∴AC＝CE.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD.∴BD＝CE.
9.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于点P，且OP＝PC，则与之间的关系为＝3
.
(第9题)
【解】 如解图，连结OC，OD.
(第9题解)
∵OC＝OD，∴∠D＝∠C.
∵OP＝PC，∴∠C＝∠COP，
∴∠D＝∠C＝∠COP.
又∵∠AOD＝∠DPO＋∠D，∠DPO＝∠C＋∠COP，
∴∠AOD＝∠C＋∠COP＋∠D＝3∠COP，
∴＝3.
10.如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任取一点作弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB.求证：PA＝PB.
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(第10题)
【解】 连结OP.
∵CO＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC.
∵CP是∠DCO的平分线，
∴∠DCP＝∠OCP.
∴∠DCP＝∠OPC.∴OP∥CD.
∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，
∴＝，∴PA＝PB.
11.如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若∠BED＝60°，EO＝2，求BE－AE的值.
(第11题)
【解】 (1)过点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N.
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM＝ON，∴AB＝CD.
(2)∵OM⊥AB，∴AM＝BM.
∵∠BED＝60°，∴∠BEO＝∠BED＝30°.
∴OM＝OE＝1.∴EM＝.
∴BE－AE＝BM＋EM－AE＝AM＋EM－AE＝2EM＝2.
12.如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若的度数为96°，的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值.
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(第12题)
【解】 如解图，将半圆补成整圆，作点D关于直径AB的对称点D′，连结CD′，交AB于点P，则此时CP＋PD最小.
连结PD，OD，OD′，OC，过点O作ON⊥CD′于点N.
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(第12题解)
∵的度数为96°，的度数为36°，
∴∠AOC＝96°，∠DOB＝36°，
∴∠COD＝48°，∠BOD′＝36°，
∴∠COD′＝36°＋48°＋36°＝120°，
∴∠OCN＝30°.
∵半圆的直径AB长为2，
∴ON＝OC＝AB＝，
∴CN＝＝，
∴CD′＝2CN＝.
∵CD′＝PC＋PD′＝PC＋PD，
∴PC＋PD＝.
