3.5
圆周角（一）
1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为50°
.
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(第1题)
2.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连结AC，则∠BAC＝35°
.
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(第2题)
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为 2
.
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(第3题)
(第4题)
4.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(C)
A.
40°
B.
30°
C.
20°
D.
15°
5.如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C等于(A)
A.
25°
B.
30°
C.
45°
D.
50°
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(第5题)
6.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为(B)
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(第6题)
A.
140°
B.
70°
C.
60°
D.
40°
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(第7题)
7.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，E才一定是AC的中点(直接写出结论)？
【解】 (1)AB＝AC.证明如下：
连结AD.
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.
又∵D是BC的中点，∴AB＝AC.
(2)∠BAC＝60°或∠ABC＝60°或∠C＝60°或BC＝AB等.
8.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD.如果∠BAC＝20°，那么∠CDB的度数为(B)
(第8题)
A.
80°
B.
70°
C.
60°
D.
50°
【解】 连结BC.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠BAC＝20°，∴∠B＝70°.
根据翻折的性质得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC＋∠B＝180°.
又∵∠ADC＋∠CDB＝180°，
∴∠CDB＝∠B＝70°.
9.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(B)
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(第9题)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【解】 过点O作OD⊥BC于点D，
则BC＝2BD.
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC＝2∠A，∠BOC＋∠A＝180°，
∴∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.
∵OB＝4，∴OD＝2，
∴BD＝2
，∴BC＝4
.
10.如图，一块直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°
.
(第10题)
【解】 连结OD.
∵直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD＝58°，
∴∠BCD＝∠BOD＝29°，
∴∠ACD＝90°－∠BCD＝61°.
11.已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB＝2，AC＝，AD＝1，则∠CAD＝15°或105°
.
【解】 (1)当AC与AD在AB同侧时，如解图①所示，连结BC，BD.
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(第11题解①)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝∠D＝90°.
在Rt△ABC中，
∵AB＝2，AC＝，
∴BC＝＝＝AC，
∴∠CAB＝45°.
在Rt△ADB中，
∵AD＝1，AB＝2，∴∠ABD＝30°，
∴∠DAB＝60°.
∴∠CAD＝∠DAB－∠CAB＝15°.
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(第11题解②)
(2)当AC与AD在AB两侧时，如解图②所示.
同理于(1)，可知∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＋∠CAB＝105°.
综上所述，∠CAD的度数为15°或105°.
12.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)若P是上一点(不与点C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB.
(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C，D重合)时，∠CP′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.
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(第12题)
【解】 (1)如解图①，连结OD.
∵AB⊥CD，∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD＝∠COD.
又∵∠CPD＝∠COD，∴∠CPD＝∠COB.
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(第12题解)
(2)如解图②，2∠CP′D＋∠COD＝360°.证明如下：
∵∠CP′D＋∠CPD(＋)＝180°，
∴∠CP′D＝180°－∠CPD.
由(1)知∠CPD＝∠COD，
∴∠CP′D＝180°－∠COD，
即2∠CP′D＋∠COD＝360°.
13.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC
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.
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(第13题)
【解】 ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°.
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°.
∴点P在以AB为直径的⊙O上.
如解图，连结OC交⊙O于点P，此时PC最小.
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(第13题解)
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝AB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC－OP＝5－3＝2.3.5
圆周角（二）
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)
A.
40°，80°
B.
50°，100°
C.
50°，80°
D.
40°，100°
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(第1题)
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若⊙O的半径r＝5，AC＝5
，则∠B的度数是(D)
A.
30°
B.
45°
C.
50°
D.
60°
(第2题)
3.如图，⊙O的直径BD＝6，∠A＝60°，则BC的长为(C)
A.
B.
3
C.
3
D.
4
(第3题)
4.如图， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠E的度数为(A)
A.
36°
B.
46°
C.
27°
D.
63°
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(第4题)
5.如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，点B正好落在圆上的点E处.若∠C＝38°，则∠BAE＝ 104°
.
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(第5题)
6.如图，AB是⊙O
的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCO＝∠D.
(2)若CD＝4
，AE＝2，求⊙O的半径.
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(第6题)
【解】 (1)∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B.
又∵∠B＝∠D，
∴
∠BCO＝∠D.
(2)设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
CE＝CD＝2
.
在Rt△OCE中，∵OC2＝CE2＋OE2，
∴
r2＝(2
)2＋(r－2)2，解得r＝3.
∴⊙O的半径为3.
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(第7题)
7.如图，已知BC为半圆O的直径，＝，AC与BF交于点M.
(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用含α的代数式表示).
(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E.求证：BE＝EM.
【解】 (1)连结CF.
∵＝，∴∠ACB＝∠BCF.
∵BC是直径，∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠FBC＝90°－α.
∴∠ACB＝(90°－α).
(2)∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∴∠BAD＝∠ACB.
∵＝，∴∠ACB＝∠ABF.
∴∠ABF＝∠BAD.∴BE＝AE.
∵∠BAD＋∠EAM＝90°＝∠ABF＋∠BMA，
∴∠EAM＝∠EMA，∴AE＝EM.
∴BE＝EM.
8.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A
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.
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(第8题)
【解】 当点B与点O重合时，∠POF＝∠ABC＝30°；当点B点E重合时，∠POF＝2∠ABC＝60°.∴30≤x≤60.
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(第9题)
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10
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.
【解】 连结AD.
∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，∴∠OMB＝∠AEB＝90°，
∴BM＝EM＝BE.
∵OD＝OB＝AB＝5，DM＝2，
∴OM＝3，
∴BM＝＝4，
∴BE＝2BM＝8.
10.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点N，AE平分∠BAC，交⊙O于点E.求证：AE平分∠OAD.
(第10题)
【解】 延长AO交⊙O于点F，连结BF.
∵AF为直径，∴∠ABF＝90°，
∴∠BAF＋∠F＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°.
∵∠F＝∠C，∴∠BAF＝∠DAC.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
∴∠OAE＝∠EAN，
即AE平分∠OAD.
11.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC.
(1)求证：∠ACO＝∠BCD.
(2)若EB＝8
cm，CD＝24
cm，求⊙O的直径.
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(第11题)
【解】 (1)∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝ED，＝，
∴∠BCD＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.
∴∠ACO＝∠BCD.
(2)设⊙O的半径为R(cm)，则OE＝OB－EB＝(R－8)cm.
∵AB⊥CD，∴CE＝CD＝×24＝12(cm).
在Rt△CEO中，OC2＝OE2＋CE2，
即R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm)，
∴2R＝2×13＝26(cm)，
∴⊙O的直径为26
cm.
12.如图，C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.
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(第12题)
(1)求证：BD是该外接圆的直径.
(2)连结CD，求证：AC＝BC＋CD.
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连结DM，试探究AM，BM，DM三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
【解】 (1)∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∠ABD＝45°，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD是该外接圆的直径.
(2)如解图①，作AE⊥AC，交CB的延长线于点E.
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC＝AE.
由勾股定理，得CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，
∴CE＝AC.
由(1)可知AB＝AD，∠BAD＝90°，
又∵∠EAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAD.
在△ABE和△ADC中，
∵
∴△ABE≌△ADC(SAS).∴BE＝DC，
∴CE＝BC＋BE＝BC＋DC，
即AC＝BC＋CD.
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(第12题解)
(3)2AM
2＋BM
2＝DM
2.证明如下：
如解图②，延长MB交圆于点E，连结AE，DE.
∵∠AEB＝∠ACB＝∠AMB＝45°，
∴AM＝AE，∠MAE＝90°，
∴AM
2＋AE
2＝2AM
2＝EM
2.
∵AC＝AM＝AE，∴＝.
又∵＝，
∴－＋＝－＋，
即＝，∴DE＝BC＝BM.
∵BD为直径，∴∠BED＝90°，
∴在Rt△MED中，EM2＋DE2＝DM2，
∴2AM2＋BM2＝DM2.3.5
圆周角（一）
1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为
.
2.如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连结AC，则∠BAC＝
.
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(第1题)
(第2题)
(第3题)
(第4题)
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为
.
4.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(
)
A.
40°
B.
30°
C.
20°
D.
15°
5.如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C等于(
)
A.
25°
B.
30°
C.
45°
D.
50°
6.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为(B)
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(第5题)
(第6题)
A.
140°
B.
70°
C.
60°
D.
40°
7.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，E才一定是AC的中点(直接写出结论)？
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8.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆
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)
A.
80°
B.
70°
C.
60°
D.
50°
9.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(
)
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(第8题)
(第9题)
(第10题)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
10.如图，一块直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为
.
11.已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB＝2，AC＝，AD＝1，则∠CAD＝
.
12.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)若P是上一点(不与点C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB.
(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C，D重合)时，∠CP′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.
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13.如图，在Rt△ABC中，AB⊥B
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.
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(第13题)3.5
圆周角（二）
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(
)
A.
40°，80°
B.
50°，100°
C.
50°，80°
D.
40°，100°
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(第1题)
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若⊙O的半径r＝5，AC＝5
，则∠B的度数是(
)
A.
30°
B.
45°
C.
50°
D.
60°
(第2题)
3.如图，⊙O的直径BD＝6，∠A＝60°，则BC的长为(
)
A.
B.
3
C.
3
D.
4
(第3题)
4.如图， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠E的度数为(
)
A.
36°
B.
46°
C.
27°
D.
63°
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(第4题)
5.如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，点B正好落在圆上的点E处.若∠C＝38°，则∠BAE＝
.
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(第5题)
6.如图，AB是⊙O
的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCO＝∠D.
(2)若CD＝4
，AE＝2，求⊙O的半径.
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7.如图，已知BC为半圆O的直径，＝，AC与BF交于点M.
(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用含α的代数式表示).
(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E.求证：BE＝EM.
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8.如图，已知EF是⊙O的
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.
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(第8题)
(第9题)
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，
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.
10.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点N，AE平分∠BAC，交⊙O于点E.求证：AE平分∠OAD.
11.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC.
(1)求证：∠ACO＝∠BCD.
(2)若EB＝8
cm，CD＝24
cm，求⊙O的直径.
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12.如图，C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.
(1)求证：BD是该外接圆的直径.
(2)连结CD，求证：AC＝BC＋CD.
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连结DM，试探究AM，BM，DM三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.
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