3.6
圆内接四边形
1.下列四边形中，一定有外接圆的是(D)
A.
对角线相等的四边形
B.
菱形
C.
直角梯形
D.
等腰梯形
2.圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是(D)
A.
1∶2∶3∶4
B.
1∶3∶4∶5
C.
2∶3∶4∶5
D.
2∶3∶5∶4
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，
四边形
ABCO
是
平行四边形，则∠ADC＝(C)
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
75°
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(第3题)
4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝110°，则∠BOD＝ 140°
.
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(第4题)
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD
.
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(第5题)
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D
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(第6题)
7.已知在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，AD＝DC，∠B＝40°，则∠A＝70°
.
8.如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH＝∠DCA，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BC，垂足为H.求证：
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(第8题)
(1)CH＝CP.
(2)AP＝BH.
【解】 (1)∵DH⊥BC，DP⊥AC，
∴∠DHC＝∠DPC＝90°.
又∵∠DCH＝∠DCA，DC＝DC，
∴△DHC≌△DPC(AAS).∴CH＝CP.
(2)连结DB.
由圆周角定理，得∠DAC＝∠DBH.
∵△DHC≌△DPC，∴DH＝DP.
在△DAP和△DBH中，
∵
∴△DAP≌△DBH(AAS).
∴AP＝BH.
9.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上.若∠ADB＝110°，则∠ACB的度数为(A)
A.
35°
B.
40°
C.
50°
D.
80°
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(第9题)
(第9题解)
【解】 如解图，连结OA，OB.
∵∠ADB＝110°，
∴∠AOB＝180°－∠ADB＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°.
10.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交
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(第10题)
A.
6
B.
5
C.
3
D.
3
【解】 ∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
∵点A的坐标为(0，3)，∴OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∴⊙C的半径＝＝3.
11.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝ 40°
.
(第11题)
【解】 ∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCF＝∠A＝55°.
∵∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，
∴∠F＝180°－∠BCF－∠CBF＝40°.
12.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(第12题)
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC.
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含α，β的代数式表示∠A的度数.
【解】 (1)∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，
∴∠E＋∠DCE＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)∵∠ADC＝∠ABC，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°－∠F＝48°.
(3)如解图，连结EF.
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(第12题解)
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠1＋∠2，
∴∠A＝∠1＋∠2.
∵∠A＋∠1＋∠2＋∠DEC＋∠BFC＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°，
∴∠A＝90°－.
13.如图，正方形ABCD的面积为5
cm2，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF交于点P，求AP的长.
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(第13题)
【解】 连结BF.
易证Rt△BAF≌Rt△BCE≌Rt△CDF，
∴∠ABF＝∠CBE＝∠DCF.
∵∠DCF＋∠PCB＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠BPF＝90°.
又∵∠BAF＝90°，
∴A，B，P，F四点在以BF为直径的同一个圆上，
∴∠APF＝∠ABF.∴∠APF＝∠CBE.
又∵∠ABP＋∠CBE＝90°＝∠APB＋∠APF，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝.3.6
圆内接四边形
1.下列四边形中，一定有外接圆的是(
)
A.
对角线相等的四边形
B.
菱形
C.
直角梯形
D.
等腰梯形
2.圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是(
)
A.
1∶2∶3∶4
B.
1∶3∶4∶5
C.
2∶3∶4∶5
D.
2∶3∶5∶4
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，
四边形
ABCO
是
平行四边形，则∠ADC＝(
)
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
75°
4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝110°，则∠BOD＝
.
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是
.
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(第3题)
(第4题)
(第5题)
(第6题)
6.如图，四边形ABCD内
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(写出一个即可).
7.已知在圆内接四边形ABCD中，AB为直径，AD＝DC，∠B＝40°，则∠A＝
.
8.如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH＝∠DCA，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BC，垂足为H.求证：
(1)CH＝CP.
(2)AP＝BH.
9.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上.若∠ADB＝110°，则∠ACB的度数为(
)
A.
35°
B.
40°
C.
50°
D.
80°
10.如图，⊙C过原点，
( http: / / www.21cnjy.com )且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为(C)
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(第9题)
(第10题)
(第11题)
A.
6
B.
5
C.
3
D.
3
11.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝
.
12.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC.
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含α，β的代数式表示∠A的度数.
13.如图，正方形ABCD的面积为5
cm2，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF交于点P，求AP的长.
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